Изометрическая проекция — это метод визуального представления трехмерных объектов в двух измерениях на технических и инженерных чертежах . Это аксонометрическая проекция , в которой три оси координат отображаются в одинаковом ракурсе, а угол между любыми двумя из них составляет 120 градусов.
Термин «изометрический» происходит от греческого слова , означающего «равная мера», что отражает тот факт, что масштаб вдоль каждой оси проекции одинаков (в отличие от некоторых других форм графической проекции ).
Изометрический вид объекта можно получить, выбрав направление взгляда таким образом, чтобы углы между проекциями осей x , y и z были одинаковыми или 120°. Например, в случае куба это делается путем взгляда прямо на одну грань. Затем куб поворачивается на ±45° вокруг вертикальной оси, а затем поворачивается примерно на 35,264° (точно arcsin 1 ⁄ √ 3 или arctan 1 ⁄ √ 2 , что связано с Магическим углом ) вокруг горизонтальной оси. Обратите внимание, что в случае куба (см. изображение) периметр полученного 2D-чертежа представляет собой идеальный правильный шестиугольник: все черные линии имеют одинаковую длину, а все грани куба имеют одинаковую площадь. Изометрическую миллиметровую бумагу можно поместить под обычный лист чертежной бумаги, чтобы добиться эффекта без вычислений.
Аналогичным образом можно получить изометрический вид в 3D-сцене. Начиная с камеры, выровненной параллельно полу и выровненной по осям координат, она сначала поворачивается горизонтально (вокруг вертикальной оси) на ±45°, затем на 35,264° вокруг горизонтальной оси.
Другой способ визуализации изометрической проекции — рассмотрение вида в кубической комнате, начинающегося в верхнем углу и смотрящего в противоположный, нижний угол. Ось x проходит по диагонали вниз и вправо, ось y проходит по диагонали вниз и влево, а ось z идет прямо вверх. Глубина также показана высотой на изображении. Линии, проведенные вдоль осей, находятся под углом 120° друг к другу.
Во всех этих случаях, как и во всех аксонометрических и ортогональных проекциях , такой камере потребуется телецентрический объектив объектного пространства , чтобы проецируемая длина не менялась с расстоянием от камеры.
Термин «изометрический» часто ошибочно используется для обозначения аксонометрических проекций, в целом. Однако на самом деле существует три типа аксонометрических проекций: изометрическая , диметрическая и косая .
Из двух углов, необходимых для изометрической проекции, значение второго может показаться нелогичным и заслуживает дальнейшего объяснения. Давайте сначала представим себе куб со сторонами длиной 2 и его центр в начале осей, что означает, что все его грани пересекают оси на расстоянии 1 от начала координат. Мы можем вычислить длину линии от его центра до середины любого ребра как √ 2 , используя теорему Пифагора . При повороте куба на 45° по оси x точка (1, 1, 1) станет (1, 0, √ 2 ), как показано на диаграмме. Второе вращение направлено на то, чтобы перенести ту же точку на положительную ось z , и поэтому необходимо выполнить вращение на значение, равное арктангенсу 1 ⁄ √ 2 , что приблизительно равно 35,264°.
Существует восемь различных ориентаций для получения изометрического вида, в зависимости от того, в какой октант смотрит зритель. Изометрическое преобразование из точки a x , y , z в трехмерном пространстве в точку b x , y в двухмерном пространстве, смотрящую в первый октант, можно математически записать с помощью матриц вращения как:
где α = arcsin(tan 30°) ≈ 35,264° и β = 45°. Как объяснялось выше, это поворот вокруг вертикальной (здесь y ) оси на β , за которым следует поворот вокруг горизонтальной (здесь x ) оси на α . Затем следует ортогональная проекция на плоскость xy :
Остальные 7 возможностей получаются либо вращением в противоположные стороны, либо нет, а затем изменением направления взгляда на противоположное или нет. [1]
Впервые формализованная профессором Уильямом Фаришем (1759–1837), концепция изометрии существовала в грубой эмпирической форме на протяжении столетий. [3] [4] С середины 19-го века изометрия стала «бесценным инструментом для инженеров, и вскоре после этого аксонометрия и изометрия были включены в учебную программу архитектурных учебных курсов в Европе и США» [5] По словам Яна Крикке (2000) [6] однако, «аксонометрия возникла в Китае. Ее функция в китайском искусстве была аналогична линейной перспективе в европейском искусстве. Аксонометрия и сопутствующая ей изобразительная грамматика приобрели новое значение с появлением визуальных вычислений». [6]
Как и во всех типах параллельной проекции , объекты, нарисованные с помощью изометрической проекции, не кажутся больше или меньше по мере приближения к зрителю или удаления от него. Хотя это и выгодно для архитектурных чертежей , где измерения необходимо проводить напрямую, результатом является воспринимаемое искажение, поскольку в отличие от перспективной проекции , это не то, как обычно работает человеческое зрение или фотография. Это также может легко привести к ситуациям, когда глубину и высоту трудно измерить, как показано на иллюстрации справа или выше. Это может создавать парадоксальные или невозможные формы , такие как лестница Пенроуза .
Изометрическая графика видеоигр — это графика, используемая в видеоиграх и пиксельной графике , которая использует параллельную проекцию , но которая наклоняет точку обзора , чтобы показать грани окружающей среды, которые в противном случае не были бы видны сверху вниз или сбоку , тем самым создавая трехмерный эффект . Несмотря на название, изометрическая компьютерная графика не обязательно является истинно изометрической, то есть оси x , y и z не обязательно ориентированы на 120° друг к другу. Вместо этого используются различные углы, при этом наиболее распространенными являются диметрическая проекция и соотношение пикселей 2:1. Термины « перспектива 3 ⁄ 4 », « вид 3 ⁄ 4 », « 2.5D » и «псевдо 3D» также иногда используются, хотя эти термины могут иметь немного иные значения в других контекстах.
Когда-то изометрическая проекция была распространена, но с появлением более мощных систем 3D-графики она стала менее популярной , а видеоигры стали больше фокусироваться на действии и отдельных персонажах. [7] Однако видеоигры, использующие изометрическую проекцию, особенно компьютерные ролевые игры , в последние годы переживают возрождение на сцене инди-игр . [7] [8]
