Порядковый изоморфизм

Эквивалентность частично упорядоченных множеств

В математической области теории порядка изоморфизм порядка — это особый вид монотонной функции , которая составляет подходящее понятие изоморфизма для частично упорядоченных множеств (Чуст-множеств). Всякий раз, когда два частично упорядоченных множества изоморфны по порядку, их можно считать «по существу одинаковыми» в том смысле, что любой из порядков можно получить из другого просто путем переименования элементов. Двумя строго более слабыми понятиями, относящимися к порядковым изоморфизмам, являются порядковые вложения и связности Галуа . ^[1]

Определение

Формально, учитывая два ЧУМ и , изоморфизм порядка от до является биективной функцией от до со свойством, что для каждого и в тогда и только тогда, когда . То есть это биективное вложение порядка . ^[2] ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\leq _{S}y}$ ${\displaystyle f(x)\leq _{T}f(y)}$

Также возможно определить изоморфизм порядка как сюръективное вложение порядка. Двух предположений, которые охватывают все элементы и сохраняют порядок, достаточно, чтобы гарантировать, что это также является взаимно однозначным, поскольку если тогда (по предположению, которое сохраняет порядок), из этого будет следовать, что и , подразумевая по определению частичного порядка, который . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y\leq x}$ ${\displaystyle x=y}$

Еще одна характеристика порядковых изоморфизмов состоит в том, что они представляют собой в точности монотонные биекции , имеющие монотонную обратную. ^[3]

Порядковый изоморфизм частично упорядоченного множества в себя называется порядковым автоморфизмом . ^[4]

Когда дополнительная алгебраическая структура налагается на частично упорядоченные множества и , функция от до должна удовлетворять дополнительным свойствам, чтобы ее можно было рассматривать как изоморфизм. Например, для данных двух частично упорядоченных групп (ч.о.-групп) и изоморфизм ч.у.-групп от до является изоморфизмом порядка, который также является изоморфизмом группы , а не просто биекцией, которая является вложением порядка . ^[5] ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ ${\displaystyle (G,\leq _{G})}$ ${\displaystyle (H,\leq _{H})}$ ${\displaystyle (G,\leq _{G})}$ ${\displaystyle (H,\leq _{H})}$

Примеры

• Тождественная функция на любом частично упорядоченном множестве всегда является автоморфизмом порядка.
• Отрицание — это изоморфизм порядка от до (где — множество действительных чисел и обозначает обычное числовое сравнение), поскольку — x ≥ — y тогда и только тогда, когда x ⩽ y . ^[6] ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \leq }$
• Открытый интервал (опять же, упорядоченный численно) не имеет изоморфизма порядка в замкнутый интервал или из него : в замкнутом интервале есть наименьший элемент, а в открытом интервале - нет, и изоморфизмы порядка должны сохранять существование наименьших элементов. ^[7] ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle [0,1]}$
• По теореме Кантора об изоморфизме каждый неограниченный счётный плотный линейный порядок изоморфен порядку рациональных чисел . ^[8] Явный изоморфизм порядка между квадратичными алгебраическими числами, рациональными числами и двоично-рациональными числами обеспечивается функцией вопросительного знака Минковского . ^[9]

Типы ордеров

Если — изоморфизм порядка, то такова же и его обратная функция . Кроме того, если является изоморфизмом порядка от до и является изоморфизмом порядка от до , то композиция функций и сама является изоморфизмом порядка от до . ^[10] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ ${\displaystyle (U,\leq _{U})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ ${\displaystyle (U,\leq _{U})}$

Два частично упорядоченных множества называются порядково изоморфными, если существует порядковый изоморфизм одного в другое. ^[11] Функции тождества, обратные функции и композиции функций соответствуют, соответственно, трем определяющим характеристикам отношения эквивалентности : рефлексивности , симметрии и транзитивности . Следовательно, порядковый изоморфизм является отношением эквивалентности. Класс частично упорядоченных множеств может быть разделен с его помощью на классы эквивалентности , семейства частично упорядоченных множеств, которые все изоморфны друг другу. Эти классы эквивалентности называются типами порядка .

Смотрите также

• Шаблон перестановки — перестановка, которая по порядку изоморфна подпоследовательности другой перестановки.

Примечания

1. Блох (2011); Чесельский (1997).
2. Это определение использовал Цесельский (1997). Для Блоха (2011) и Шредера (2003) это следствие другого определения.
3. Это определение использовали Блох (2011) и Шредер (2003).
4. Шредер (2003), с. 13.
5. Это определение эквивалентно определению, изложенному Фуксом (1963).
6. См. пример 4 Ciesielski (1997), с. 39., аналогичный пример с целыми числами вместо действительных чисел.
7. Ciesielski (1997), пример 1, с. 39.
8. Бхаттачарджи, Минакси; Макферсон, Дугалд; Мёллер, Рёнвальдур Г.; Нойманн, Питер М. (1997), «Рациональные числа», Заметки о бесконечных группах перестановок , Тексты и материалы для чтения по математике, том. 12, Берлин: Springer-Verlag, стр. 77–86, номер документа : 10.1007/978-93-80250-91-5_9, ISBN. 81-85931-13-5, МР  1632579
9. Гиргенсон, Роланд (1996), «Построение сингулярных функций с помощью дробей Фарея», Журнал математического анализа и приложений , 203 (1): 127–141, doi : 10.1006/jmaa.1996.0370 , MR  1412484
10. Чесельский (1997); Шредер (2003).
11. Чесельский (1997).

Рекомендации

• Блох, Итан Д. (2011), Доказательства и основы: первый курс абстрактной математики, Тексты для студентов по математике (2-е изд.), Springer, стр. 276–277, ISBN 9781441971265.
• Цесельский, Кшиштоф (1997), Теория множеств для работающего математика, Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 39, Издательство Кембриджского университета, стр. 38–39, ISBN. 9780521594653.
• Шредер, Бернд Зигфрид Вальтер (2003), Упорядоченные множества: Введение, Springer, стр. 11, ISBN 9780817641283.
• Фукс, Ласло (1963), Частично упорядоченные алгебраические системы, Dover Publications; Репринтное издание (5 марта 2014 г.), стр. 2–3, ISBN. 0486483878.