Контурная линия (также изолиния , изоплета , изокванта или изарифм ) функции двух переменных — это кривая , вдоль которой функция имеет постоянное значение, так что кривая соединяет точки с одинаковым значением. [1] [2] Это плоское сечение трехмерного графика функции, параллельное плоскости . В более общем смысле контурная линия для функции двух переменных — это кривая, соединяющая точки, где функция имеет одинаковое частное значение. [2]
В картографии контурная линия (часто называемая просто «контуром») соединяет точки одинаковой высоты над заданным уровнем, например, средним уровнем моря . [3] Контурная карта — это карта, проиллюстрированная контурными линиями, например, топографическая карта , которая таким образом показывает долины и холмы, а также крутизну или пологость склонов. [4] Интервал контура контурной карты — это разница в высоте между последовательными контурными линиями. [5]
Градиент функции всегда перпендикулярен контурным линиям. Когда линии расположены близко друг к другу, величина градиента велика: изменение крутое. Множество уровня является обобщением контурной линии для функций любого числа переменных.
Контурные линии — это кривые, прямые или смесь обеих линий на карте, описывающих пересечение реальной или гипотетической поверхности с одной или несколькими горизонтальными плоскостями. Конфигурация этих контуров позволяет читателям карты выводить относительный градиент параметра и оценивать этот параметр в определенных местах. Контурные линии могут быть либо прочерчены на видимой трехмерной модели поверхности , как когда фотограмметрист, просматривающий стереомодель, вычерчивает контуры высот, либо интерполированы из предполагаемых высот поверхности , как когда компьютерная программа протягивает контуры через сеть точек наблюдения центроидов области. В последнем случае метод интерполяции влияет на надежность отдельных изолиний и их изображение уклона , ям и пиков. [6]
Идея линий, соединяющих точки равной ценности, была переоткрыта несколько раз. Самая старая известная изобата (контурная линия постоянной глубины) найдена на карте реки Спарне близ Харлема , датированной 1584 годом , голландцем Питером Бруинсом. [7] В 1701 году Эдмунд Галлей использовал такие линии (изогоны) на карте магнитного склонения. [8] Голландский инженер Николас Крукиус начертил русло реки Мерведе линиями равной глубины (изобатами) с интервалом в 1 сажень в 1727 году, а Филипп Буаш использовал их с интервалом в 10 саженей на карте Ла-Манша , которая была подготовлена в 1737 году и опубликована в 1752 году. Такие линии использовались для описания поверхности суши (контурные линии) на карте герцогства Модена и Реджо Доменико Ванделли в 1746 году, и они были теоретически изучены Дюкарлой в 1771 году, а Чарльз Хаттон использовал их в эксперименте Шихаллиона . В 1791 году карта Франции Ж. Л. Дюпена-Триеля использовала контурные линии с интервалом в 20 метров, штрихи, высотные отметки и вертикальное сечение. В 1801 году начальник французского инженерного корпуса Хаксо использовал контурные линии в более крупном масштабе 1:500 на плане своих проектов для Рокка д'Анфо , ныне находящейся на севере Италии, при Наполеоне . [9] [10] [11]
Около 1843 года, когда Ordnance Survey начал регулярно регистрировать контурные линии в Великобритании и Ирландии , они уже были в общем употреблении в европейских странах. Изобаты не использовались на морских картах регулярно до тех пор, пока в России с 1834 года и в Британии с 1838 года . [9] [12] [13]
Поскольку различные способы использования этой техники были изобретены независимо, картографы начали осознавать общую тему и спорить о том, как вообще называть эти «линии равной ценности». Слово изограмма (от древнегреческого ἴσος (isos) «равный» и γράμμα (gramma) «писать, рисовать») было предложено Фрэнсисом Гальтоном в 1889 году для линий, указывающих на равенство некоторого физического состояния или количества, [14] хотя изограмма может также относиться к слову без повторяющейся буквы . Еще в 1944 году Джон К. Райт все еще предпочитал изограмму , но она так и не получила широкого распространения. В начале 20-го века изоплета ( πλῆθος , plethos , «количество») использовалась в 1911 году в Соединенных Штатах, в то время как изарифмия ( ἀριθμός , arithmos , «число») стала распространенной в Европе. Также появились дополнительные альтернативы, включая греко-английский гибрид изолинии и изометрической линии ( μέτρον , metron , «мера»). Несмотря на попытки выбрать единый стандарт, все эти альтернативы сохранились до настоящего времени. [15] [16]
Когда карты с контурными линиями стали обычным явлением, эта идея распространилась и на другие приложения. Возможно, последними из них стали контурные карты качества воздуха и шумового загрязнения , которые впервые появились в Соединенных Штатах примерно в 1970 году, в основном в результате национального законодательства, требующего пространственного разграничения этих параметров.
Контурным линиям часто дают особые названия, начинающиеся с « iso- » в соответствии с природой отображаемой переменной, хотя во многих случаях чаще всего используется фраза «контурная линия». Особые названия наиболее распространены в метеорологии, где одновременно можно просматривать несколько карт с различными переменными. Префикс «' iso- » можно заменить на « isallo- », чтобы указать контурную линию, соединяющую точки, где переменная изменяется с одинаковой скоростью в течение заданного периода времени.
Изогона (от древнегреческого γωνία (gonia) «угол») — это контурная линия для переменной, которая измеряет направление. В метеорологии и геомагнетизме термин «изогон» имеет определенные значения, которые описаны ниже. Изоклина ( κλίνειν , klinein , «наклоняться или наклоняться») — это линия, соединяющая точки с одинаковым наклоном. В динамике населения и геомагнетизме термины « изоклина» и «изоклинная линия» имеют определенные значения, которые описаны ниже.
Кривая равноудаленных точек — это набор точек, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки , линии или полилинии . В этом случае функция, значение которой сохраняется постоянным вдоль контурной линии, является функцией расстояния .
В 1944 году Джон К. Райт предложил использовать термин «изоплет» для контурных линий, которые изображают переменную, которую нельзя измерить в точке, но которая вместо этого должна быть рассчитана на основе данных, собранных по площади, в отличие от изометрических линий для переменных, которые можно измерить в точке; с тех пор это различие в целом соблюдается. [16] [17] Примером изоплеты является плотность населения , которая может быть рассчитана путем деления населения переписного района на площадь поверхности этого района. Каждое вычисленное значение предполагается как значение переменной в центре области, и затем изоплеты могут быть нарисованы с помощью процесса интерполяции . Идею карты изоплет можно сравнить с идеей карты хороплет . [18] [19]
В метеорологии слово «изоплет» используется для обозначения любого типа контурной линии. [20]
Метеорологические контурные линии основаны на интерполяции точечных данных, полученных от метеостанций и метеорологических спутников . Метеостанции редко точно располагаются на контурной линии (когда это так, это указывает на измерение, точно равное значению контура). Вместо этого линии рисуются так, чтобы наилучшим образом аппроксимировать местоположения точных значений, основываясь на имеющихся разбросанных информационных точках.
Метеорологические контурные карты могут отображать собранные данные, такие как фактическое давление воздуха в определенный момент времени, или обобщенные данные, такие как среднее давление за определенный период времени, или прогнозируемые данные, такие как прогнозируемое давление воздуха в определенный момент в будущем.
Термодинамические диаграммы используют несколько перекрывающихся наборов контуров (включая изобары и изотермы) для представления картины основных термодинамических факторов в погодной системе.
Изобара (от древнегреческого βάρος (baros) «вес») — линия равного или постоянного давления на графике, участке или карте; изоплета или контурная линия давления. Точнее, изобары — это линии, нарисованные на карте, соединяющие места с равным средним атмосферным давлением, приведенным к уровню моря за определенный период времени. В метеорологии показанное барометрическое давление приводится к уровню моря , а не к поверхностному давлению в местах на карте. [21] Распределение изобар тесно связано с величиной и направлением поля ветра и может использоваться для прогнозирования будущих погодных условий. Изобары обычно используются в телевизионных прогнозах погоды.
Изаллобары — это линии, соединяющие точки одинакового изменения давления в течение определенного интервала времени. [22] Их можно разделить на аналлобары — линии, соединяющие точки одинакового увеличения давления в течение определенного интервала времени, [23] и каталлобары — линии, соединяющие точки одинакового уменьшения давления. [24] В целом, погодные системы движутся вдоль оси, соединяющей высокие и низкие изаллобарные центры. [25] Изаллобарные градиенты являются важными компонентами ветра, поскольку они увеличивают или уменьшают геострофический ветер .
Изопикна — это линия постоянной плотности. Изовысота или изогипса — это линия постоянной высоты геопотенциала на карте поверхности постоянного давления. Изогипса и изовысота — это просто линии, показывающие одинаковое давление на карте.
Изотерма (от древнегреческого θέρμη (thermē) «тепло») — это линия, соединяющая точки на карте, имеющие одинаковую температуру . Таким образом, все точки , через которые проходит изотерма, имеют одинаковую или равную температуру в указанное время. [26] [2] Изотерма при 0 °C называется уровнем замерзания . Термин lignes isothermes (или lignes d'égale chaleur) был придуман прусским географом и натуралистом Александром фон Гумбольдтом , который в рамках своих исследований географического распространения растений опубликовал первую карту изотерм в Париже в 1817 году. [27] [28] По словам Томаса Хэнкинса, графические разработки шотландского инженера Уильяма Плейфэра оказали большое влияние на изобретение Александром фон Гумбольтом изотермы. [29] Позднее Гумбольдт использовал свои визуализации и анализы, чтобы опровергнуть теории Канта и других мыслителей эпохи Просвещения о том, что неевропейцы были неполноценными из-за своего климата. [30]
Изохейма — это линия равной средней зимней температуры, а изотера — линия равной средней летней температуры.
Изогель ( ἥλιος , гелиос , «Солнце») — линия равного или постоянного солнечного излучения .
Изогеотерма — это линия одинаковой температуры под поверхностью Земли.
Изогиета или изогиетальная линия (от древнегреческого ὑετός (huetos) 'дождь') — это линия на карте, соединяющая точки с одинаковым количеством осадков в заданный период. Карта с изогиетами называется изогиетальной картой .
Изогумма — это линия постоянной относительной влажности , в то время как изодрозотерма (от др.-греч. δρόσος (drosos) «роса» и θέρμη (therme) «тепло») — это линия одинаковой или постоянной точки росы .
Изонефа — это линия, обозначающая равномерную облачность .
Изохалазой называется линия постоянной частоты градовых гроз, а изобронтой — линия, проходящая через географические точки , в которых одновременно наблюдалась определенная фаза грозовой активности.
Снежный покров часто изображается в виде контурной карты.
Изотаха (от др.-греч. ταχύς (tachus) 'быстрый') — линия, соединяющая точки с постоянной скоростью ветра . В метеорологии термин изогон относится к линии постоянного направления ветра.
Изопектическая линия обозначает равные даты образования льда каждую зиму, а изотакальная — равные даты таяния.
Контуры являются одним из нескольких распространенных методов, используемых для обозначения высоты или высоты и глубины на картах . По этим контурам можно определить общее представление о рельефе местности . Они используются в различных масштабах, от крупномасштабных инженерных чертежей и архитектурных планов, топографических карт и батиметрических карт , до карт континентального масштаба.
«Контурная линия» является наиболее распространённым термином в картографии , однако на батиметрических картах также используются изобаты для обозначения подводных глубин и изогипсы для обозначения высот.
В картографии интервал контура — это разница высот между соседними контурными линиями. Интервал контура должен быть одинаковым на одной карте. При расчете в виде отношения к масштабу карты можно получить представление о холмистости местности.
При интерпретации контурных линий рельефа следует учитывать несколько правил:
Конечно, чтобы определить разницу в высоте между двумя точками, необходимо знать интервал контура или расстояние по высоте между двумя соседними контурными линиями, и это обычно указывается в ключе карты. Обычно интервалы контуров одинаковы по всей карте, но есть исключения. Иногда промежуточные контуры присутствуют на более плоских участках; они могут быть штриховыми или пунктирными линиями с половиной отмеченного интервала контура. Когда контуры используются с гипсометрическими оттенками на мелкомасштабной карте, которая включает горы и более плоские низменные участки, обычно используются меньшие интервалы на более низких высотах, чтобы детали были показаны во всех областях. И наоборот, для острова, который состоит из плато, окруженного крутыми скалами, можно использовать меньшие интервалы по мере увеличения высоты. [32]
Изопотенциальная карта — это мера электростатического потенциала в пространстве, часто изображаемая в двух измерениях с электростатическими зарядами, индуцирующими этот электрический потенциал . Термин эквипотенциальная линия или изопотенциальная линия относится к кривой постоянного электрического потенциала . То, представляет ли пересечение эквипотенциальной линии восходящий или нисходящий потенциал, выводится из меток на зарядах. В трех измерениях эквипотенциальные поверхности могут быть изображены с помощью двумерного поперечного сечения, показывающего эквипотенциальные линии на пересечении поверхностей и поперечного сечения.
Общий математический термин « множество уровней» часто используется для описания полного набора точек, имеющих определенный потенциал, особенно в многомерном пространстве.
В изучении магнитного поля Земли термин изогон или изогонная линия относится к линии постоянного магнитного склонения , изменению магнитного севера от географического севера. Агонная линия проводится через точки нулевого магнитного склонения. Изопоровая линия относится к линии постоянного годового изменения магнитного склонения. [33]
Изоклинная линия соединяет точки одинакового магнитного наклонения , а аклинная линия — это изоклинная линия нулевого магнитного наклонения.
Изодинамическая линия (от δύναμις или dynamis , что означает «сила») соединяет точки с одинаковой интенсивностью магнитной силы.
Помимо глубины океана, океанографы используют контур для описания диффузных переменных явлений, как метеорологи используют его для описания атмосферных явлений. В частности, изобатитермы — это линии, показывающие глубины воды с одинаковой температурой, изохалины — это линии одинаковой солености океана, а изопикны — это поверхности одинаковой плотности воды.
Различные геологические данные отображаются в виде контурных карт в структурной геологии , седиментологии , стратиграфии и экономической геологии . Контурные карты используются для отображения подземной поверхности геологических слоев , поверхностей разломов (особенно пологих надвигов ) и несогласий . Карты изопахит используют изопахиты (линии одинаковой толщины) для иллюстрации изменений толщины геологических единиц.
При обсуждении загрязнения карты плотности могут быть очень полезны для указания источников и областей наибольшего загрязнения. Контурные карты особенно полезны для диффузных форм или масштабов загрязнения. Кислотные осадки обозначены на картах изоплатами . Некоторые из наиболее распространенных применений контурных карт экологической науки включают картирование шума окружающей среды (где линии одинакового уровня звукового давления обозначены изобелами [34] ), загрязнения воздуха , загрязнения почвы , теплового загрязнения и загрязнения грунтовых вод . С помощью контурной посадки и контурной вспашки можно существенно снизить скорость стока воды и, следовательно, эрозию почвы ; это особенно важно в прибрежных зонах.
Изофлора — это изоплетный контур , соединяющий области сопоставимого биологического разнообразия. Обычно переменная — это количество видов данного рода или семейства, встречающихся в регионе. Карты изофлоры, таким образом, используются для отображения закономерностей и тенденций распространения, таких как центры разнообразия. [35]
В экономике контурные линии могут использоваться для описания характеристик, которые количественно изменяются в пространстве. Изохрона показывает линии эквивалентного времени езды или времени в пути до заданного места и используется при создании изохронных карт . Изотима показывает эквивалентные транспортные расходы от источника сырья, а изодапана показывает эквивалентную стоимость времени в пути.
Контурные линии также используются для отображения негеографической информации в экономике. Кривые безразличия (как показано слева) используются для отображения наборов товаров, которым человек присвоил бы одинаковую полезность. Изокванта ( на изображении справа) — это кривая равного количества производства для альтернативных комбинаций использования ресурсов , а кривая изокосты (также на изображении справа) показывает альтернативные использования с равными издержками производства.
В политической науке аналогичный метод используется для понимания коалиций (например, диаграмма в работе Лэйвера и Шепсла [36] ).
В популяционной динамике изоклина показывает набор размеров популяции , при которых скорость изменения, или частная производная, для одной популяции в паре взаимодействующих популяций равна нулю.
В статистике линии изоденсации [37] или изоденсаны — это линии, которые соединяют точки с одинаковым значением плотности вероятности . Изоденсаны используются для отображения двумерных распределений . Например, для двумерного эллиптического распределения линии изоденсации представляют собой эллипсы .
Различные типы графиков в термодинамике , инженерии и других науках используют изобары (постоянное давление), изотермы (постоянная температура), изохоры (постоянный удельный объем) или другие типы изолиний, хотя эти графики обычно не связаны с картами. Такие изолинии полезны для представления более двух измерений (или величин) на двумерных графиках. Обычными примерами в термодинамике являются некоторые типы фазовых диаграмм .
Изоклины используются для решения обыкновенных дифференциальных уравнений .
При интерпретации радиолокационных изображений изодопа — это линия равной доплеровской скорости, а изоэхо — это линия равной радиолокационной отражательной способности.
В случае гибридных контуров строят графики энергий гибридных орбиталей и энергий чистых атомных орбиталей. Полученный график называется гибридным контуром.
Чтобы максимально повысить читаемость контурных карт, создателю карты доступны несколько вариантов дизайна, в первую очередь толщина линии, цвет линии , тип линии и метод числовой маркировки.
Толщина линии — это просто темнота или толщина используемой линии. Этот выбор делается на основе наименее навязчивой формы контуров, которая позволяет читателю расшифровать фоновую информацию на самой карте. Если на базовой карте мало или совсем нет контента, контурные линии могут быть нарисованы с относительно большой толщиной. Кроме того, для многих форм контуров, таких как топографические карты, обычно варьируют толщину линии и/или цвет, так что для определенных числовых значений возникает другая характеристика линии. Например, на топографической карте выше четные высоты в сто футов показаны с другим весом, чем интервалы в двадцать футов.
Цвет линии — это выбор любого количества пигментов , которые подходят для отображения. Иногда используется блеск или глянец , а также цвет, чтобы отделить контурные линии от базовой карты . Цвет линии может быть изменен для отображения другой информации.
Тип линии относится к тому, является ли базовая контурная линия сплошной, штриховой, точечно-пунктирной или прерывистой в каком-либо другом шаблоне для создания желаемого эффекта. Пунктирные или штриховые линии часто используются, когда лежащая в основе базовая карта передает очень важную (или трудную для чтения) информацию. Прерывистые типы линий используются, когда местоположение контурной линии выведено.
Числовая маркировка — это способ обозначения арифметических значений контурных линий. Это можно сделать, разместив числа вдоль некоторых контурных линий, обычно используя интерполяцию для промежуточных линий. В качестве альтернативы можно создать ключ карты, связав контуры с их значениями.
Если контурные линии не имеют числовых обозначений, а соседние линии имеют одинаковый стиль (одинаковый вес, цвет и тип), то направление градиента нельзя определить только по контурным линиям. Однако если контурные линии циклически проходят через три или более стилей, то направление градиента можно определить по линиям. Ориентация числовых текстовых обозначений часто используется для указания направления наклона.
Чаще всего контурные линии рисуются в плане или так, как наблюдатель в космосе будет видеть поверхность Земли: обычная форма карты. Однако некоторые параметры часто могут быть отображены в виде профиля, показывая вертикальный профиль отображенного параметра. Некоторые из наиболее распространенных параметров, отображенных в профиле, — это концентрации загрязняющих веществ в воздухе и уровни звука . В каждом из этих случаев может быть важно проанализировать (концентрации загрязняющих веществ в воздухе или уровни звука) на разных высотах, чтобы определить качество воздуха или влияние шума на здоровье людей на разных высотах, например, живущих на разных уровнях этажей городской квартиры. В действительности, как карты плана, так и карты профиля используются в исследованиях загрязнения воздуха и шумового загрязнения .
Метки являются важнейшим компонентом карт высот. Правильно маркированная контурная карта помогает читателю быстро интерпретировать форму рельефа. Если числа расположены близко друг к другу, это означает, что рельеф крутой. Метки следует размещать вдоль слегка изогнутой линии, «указывающей» на вершину или надир, по возможности с нескольких направлений, что упрощает визуальную идентификацию вершины или надира. [38] [39] Контурные метки можно ориентировать так, чтобы читатель смотрел вверх по склону при чтении метки.
Ручная маркировка контурных карт — трудоемкий процесс, однако существует несколько программных систем, которые могут выполнять эту работу автоматически и в соответствии с картографическими соглашениями, что называется автоматическим размещением меток .
