В геометрии изотомически сопряженной точкой P относительно треугольника △ ABC является другая точка, определяемая определенным образом из P и △ ABC : если базовые точки прямых PA, PB, PC на сторонах, противоположных A , B, C, отражены относительно середин их соответствующих сторон, то полученные прямые пересекаются в изотомически сопряженной точке P.
Предположим, что P не коллинеарен ни с одной из двух вершин треугольника △ ABC . Пусть A', B', C' — точки, в которых прямые AP, BP, CP пересекают стороны BC, CA, AB ( при необходимости продолженные ). Отражение A', B', C' относительно середин сторон BC , CA , AB даст точки A", B", C" соответственно. Изотомические прямые AA", BB", CC", соединяющие эти новые точки с вершинами , пересекаются в точке (что можно доказать с помощью теоремы Чевы ), изотомически сопряженной точке P.
Если трилинейные функции для P имеют вид p : q : r , то трилинейные функции для изотомически сопряженного элемента P имеют вид
где a, b, c — длины сторон, противоположных вершинам A, B, C соответственно.
Изотомически сопряженным центром тяжести треугольника △ ABC является сам центр тяжести.
Изотомически сопряженной точкой симедианы является третья точка Брокара , а изотомически сопряженной точкой Жергонна является точка Нагеля .
Изотомически сопряженные прямые являются окружными коническими сечениями, и наоборот, изотомически сопряженные окружные конические сечения являются прямыми. (Это свойство справедливо и для изогонально сопряженных прямых .)
В мае 2021 года Дао Тхань Оай дал обобщение изотомического сопряжения следующим образом: [1]
Пусть △ ABC — треугольник, P — точка на его плоскости, а Ω — произвольная описанная коника △ ABC . Прямые AP, BP, CP снова пересекают Ω в точках A', B', C' соответственно, а параллельные прямые, проходящие через эти точки к BC, CA, AB, снова пересекают Ω в точках A", B", C" соответственно. Тогда прямые AA", BB", CC" пересекаются в одной точке .
Если барицентрические координаты центра X точки Ω равны и , то D , точка пересечения AA", BB", CC", равна:
Точку D выше называют сопряжением X -Дао точки P , это сопряжение является обобщением всех известных видов сопряжений: [1]
