Гидростатическое напряжение

Составляющая механического напряжения без сдвига

В механике сплошной среды гидростатическое напряжение , также известное как изотропное напряжение или объемное напряжение , ^[1] является компонентом напряжения , которое содержит одноосные напряжения , но не напряжения сдвига . ^[2] Особый случай гидростатического напряжения содержит изотропное сжимающее напряжение, которое изменяется только по объему, но не по форме. ^[1] Чистое гидростатическое напряжение может испытываться точкой в ​​жидкости , такой как вода. Его часто используют взаимозаменяемо с «механическим давлением » и также называют ограничивающим напряжением, особенно в области геомеханики . ^{[ требуется ссылка ]}

Гидростатическое напряжение эквивалентно среднему значению одноосных напряжений вдоль трех ортогональных осей, поэтому оно составляет одну треть первого инварианта тензора напряжений (т.е. следа тензора напряжений): ^[2]

Диаграмма, показывающая сжимающие гидростатические напряжения

${\displaystyle \sigma _{h}={\frac {I_{i}}{3}}={\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})}$

Например, в декартовых координатах (x,y,z) гидростатическое напряжение определяется просто: ${\displaystyle \sigma _{h}={\frac {\sigma _{xx}+\sigma _{yy}+\sigma _{zz}}{3}}}$

Гидростатическое напряжение и термодинамическое давление

В частном случае несжимаемой жидкости термодинамическое давление совпадает с механическим давлением (т.е. противоположно гидростатическому напряжению): ${\displaystyle p=-\sigma _{h}=-{\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})}$

В общем случае сжимаемой жидкости термодинамическое давление p больше не пропорционально члену изотропного напряжения (механическому давлению), поскольку имеется дополнительный член, зависящий от следа тензора скорости деформации :

${\displaystyle p=-{\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+\zeta \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\epsilon }})}$

где коэффициент - объемная вязкость > След тензора скорости деформации соответствует сжатию потока (дивергенции скорости потока ) : ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\epsilon }})=\operatorname {tr} \left({\frac {1}{2}}(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{T})\right)=\nabla \cdot \mathbf {u} }$

Таким образом, выражение для термодинамического давления обычно выражается как:

${\displaystyle p=-\sigma _{h}+\zeta \nabla \cdot \mathbf {u} ={\bar {p}}+\zeta \nabla \cdot \mathbf {u} }$

где механическое давление обозначено как . В некоторых случаях вторую вязкость можно считать постоянной, и в этом случае эффект объемной вязкости заключается в том, что механическое давление не эквивалентно термодинамическому давлению ^[3], как указано выше. Однако этой разницей обычно пренебрегают большую часть времени (то есть всякий раз, когда мы не имеем дело с такими процессами, как поглощение звука и затухание ударных волн, ^[4] где второй коэффициент вязкости становится важным), явно предполагая . Предположение об установке называется гипотезой Стокса . ^[5] Справедливость гипотезы Стокса может быть продемонстрирована для одноатомного газа как экспериментально, так и с помощью кинетической теории; ^[6] для других газов и жидкостей гипотеза Стокса, как правило, неверна. ${\textstyle {\bar {p}}}$ ${\textstyle \zeta }$ ${\textstyle \zeta }$ $${\displaystyle {\bar {p}}\equiv p-\zeta \,\nabla \cdot \mathbf {u} ,}$$ ${\textstyle \zeta =0}$ ${\textstyle \zeta =0}$

Потенциальное внешнее поле в жидкости

Его величина в жидкости может быть определена законом Стевина : ${\displaystyle \sigma _{h}}$

${\displaystyle \sigma _{h}=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\rho _{i}gh_{i}}$

где

• i — индекс, обозначающий каждый отдельный слой материала над интересующей точкой;
• ${\displaystyle \rho _{i}}$плотность каждого слоя ;
• ${\displaystyle g}$— ускорение свободного падения (здесь предполагается постоянным; его можно заменить любым ускорением , которое имеет значение при определении веса );
• ${\displaystyle h_{i}}$— это высота (или толщина) каждого данного слоя материала.

Например, величина гидростатического напряжения, ощущаемого на глубине десяти метров под пресной водой, будет равна

${\displaystyle \sigma _{h}=\rho _{w}gh_{w}=1000\,{\text{kg m}}^{-3}\cdot 9.8\,{\text{m s}}^{-2}\cdot 10\,{\text{m}}=9.8\cdot {10^{4}}{\text{ kg m}}^{-1}{\text{s}}^{-2}=9.8\cdot 10^{4}{\text{ N m}}^{-2}}$

где индекс w указывает на «воду».

Поскольку гидростатическое напряжение изотропно, оно действует одинаково во всех направлениях. В тензорной форме гидростатическое напряжение равно

${\displaystyle \sigma _{h}\cdot I_{3}=\sigma _{h}\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}\sigma _{h}&0&0\\0&\sigma _{h}&0\\0&0&\sigma _{h}\end{array}}\right]}$

где — единичная матрица размером 3 на 3 . ${\displaystyle I_{3}}$

Гидростатическое напряжение сжатия используется для определения модуля объемной упругости материалов.

Примечания

1. Megson, THG (Thomas Henry Gordon) (2005). Структурный и напряженный анализ (2-е изд.). Амстердам: Elsevier Butterworth-Heineman. С. 400. ISBN 0-08-045534-4. OCLC  76822373.
2. Soboyejo, Winston (2003). "3.6 Гидростатическое и девиаторное напряжение". Механические свойства конструкционных материалов . Марсель Деккер. стр. 88–89. ISBN 0-8247-8900-8. OCLC  300921090.
3. Ландау и Лифшиц (1987) стр. 44–45, 196
4. Уайт (2006) стр. 67.
5. Стокс, Г. Г. (2007). О теориях внутреннего трения движущихся жидкостей и равновесия и движения упругих твердых тел.
6. Винченти, WG, Кругер-младший, CH (1975). Введение в физическую газовую динамику. Введение в физическую газовую динамику/Хантингтон.

Ссылки

• Тензор напряжений
• Объемная деформация
• Девиаторный тензор напряжений
• Скорость потока
• Давление
• Объемная вязкость
• Изотропия