Изофота

Кривая на освещенной поверхности через точки одинаковой яркости

эллипсоид с изофотами (красный)

В геометрии изофота — это кривая на освещенной поверхности , соединяющая точки одинаковой яркости . Предполагается, что освещение осуществляется параллельным светом, а яркость b измеряется следующим скалярным произведением :

${\displaystyle b(P)={\vec {n}}(P)\cdot {\vec {v}}=\cos \varphi }$

где - единичный вектор нормали к поверхности в точке P и единичный вектор направления света. Если b ( P ) = 0 , т.е. свет перпендикулярен нормали к поверхности, то точка P является точкой силуэта поверхности, наблюдаемой в направлении. Яркость 1 означает, что вектор света перпендикулярен поверхности. У плоскости нет изофот, потому что все точки имеют одинаковую яркость. ${\displaystyle {\vec {n}}(P)}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}.}$

В астрономии изофота — это кривая на фотографии, соединяющая точки одинаковой яркости. ^[1]

Применение и пример

В автоматизированном проектировании изофоты используются для оптической проверки гладкости соединений поверхностей. Для поверхности (неявной или параметрической), которая достаточно дифференцируема, вектор нормали зависит от первых производных. Следовательно, дифференцируемость изофот и их геометрическая непрерывность на 1 меньше, чем у поверхности. Если в точке поверхности только касательные плоскости непрерывны (т.е. G1-непрерывны), то изофоты имеют там излом (т.е. являются только G0-непрерывными).

В следующем примере (см. диаграмму) две пересекающиеся поверхности Безье смешиваются с помощью третьего участка поверхности. На левом изображении поверхность сглаживания имеет только G1-контакт с поверхностями Безье, а на правом изображении поверхности имеют G2-контакт. Эту разницу невозможно распознать по картинке. Но геометрическая непрерывность изофот показывает: с левой стороны они имеют изломы (т.е. G0-непрерывность), а с правой стороны они гладкие (т.е. G1-непрерывность).

• 
  Изофоты на двух поверхностях Безье и G1-непрерывной (слева) и G2-непрерывной (справа) поверхности сглаживания: слева изофоты имеют изломы, справа гладкие.

Определение точек изофоты

На неявной поверхности

Для неявной поверхности с уравнением условие изофоты имеет вид ${\displaystyle f(x,y,z)=0,}$

$${\displaystyle {\frac {\nabla f\cdot {\vec {v}}}{|\nabla f|}}=c\ .}$$

cсистемы.

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y,z)&=0,\\[4pt]\nabla f(x,y,z)\cdot {\vec {v}}-c\;|\nabla f(x,y,z)|&=0,\end{aligned}}}$$

кривую пересечениямногоугольник

На параметрической поверхности

В случае параметрической поверхности условие изофоты имеет вид ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {S}}(s,t)}$

$${\displaystyle {\frac {({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t}|}}=c\ .}$$

что эквивалентно

$${\displaystyle \ ({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}-c\;|{\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t}|=0\ .}$$

неявную кривую ${\displaystyle {\vec {S}}(s,t)}$

Смотрите также

• Контурная линия

Рекомендации

• Дж. Хошек, Д. Лассер: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung , Teubner-Verlag, Штутгарт, 1989, ISBN  3-519-02962-6 , стр. 31.
• З. Сан, С. Шан, Х. Санг и др.: Биометрическое распознавание , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-12483-4 , с. 158. 
• К. Л. Баджадж, К. М. Хоффманн, Р. Э. Линч, Дж. Э. Хопкрофт: Отслеживание пересечений поверхностей , (1988) Comp. Помощник Геом. Дизайн 5, стр. 285–307.
• CT Leondes: Компьютерные и интегрированные производственные системы: методы оптимизации , Vol. 3, World Scientific, 2003, ISBN 981-238-981-4 , с. 209. 

1. Дж. Бинни, М. Меррифилд: Галактическая астрономия , Princeton University Press, 1998, ISBN 0-691-00402-1 , стр. 178. 

Внешние ссылки

• Патрикалакис-Маэкава-Чо: Изофоты (англ.)
• А. Диатта, П. Гиблин: Геометрия изофотных кривых
• Джин Ким: расчет изофот поверхности вращения и поверхности канала