Изофота

Кривая на освещенной поверхности через точки одинаковой яркости

эллипсоид с изофотами (красный)

В геометрии изофота — это кривая на освещенной поверхности, которая соединяет точки одинаковой яркости . Предполагается, что освещение осуществляется параллельным светом, а яркость b измеряется следующим скалярным произведением :

${\displaystyle b(P)={\vec {n}}(P)\cdot {\vec {v}}=\cos \varphi }$

где ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\vec {n}}(P)}$ — единичный вектор нормали поверхности в точке P , а ⁠ ⁠ — ${\displaystyle {\vec {v}}}$ единичный вектор направления света. Если b ( P ) = 0 , т. е. свет перпендикулярен нормали поверхности, то точка P является точкой силуэта поверхности, наблюдаемой в направлении ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\vec {v}}.}$ Яркость 1 означает, что вектор света перпендикулярен поверхности. Плоскость не имеет изофот, потому что каждая точка имеет одинаковую яркость.

В астрономии изофота — это кривая на фотографии, соединяющая точки одинаковой яркости. ^[1]

Применение и пример

В автоматизированном проектировании изофоты используются для оптической проверки гладкости соединений поверхностей. Для поверхности (неявной или параметрической), которая достаточно дифференцируема, нормальный вектор зависит от первых производных. Следовательно, дифференцируемость изофот и их геометрическая непрерывность на 1 меньше, чем у поверхности. Если в точке поверхности непрерывны только касательные плоскости (т. е. непрерывны по G1), то изофоты имеют там излом (т. е. непрерывны только по G0).

В следующем примере (см. диаграмму) две пересекающиеся поверхности Безье смешиваются третьим поверхностным фрагментом. Для левой картинки поверхность смешивания имеет только G1-контакт с поверхностями Безье, а для правой картинки поверхности имеют G2-контакт. Это различие не может быть распознано по картинке. Но геометрическая непрерывность изофот показывает: с левой стороны они имеют изломы (т. е. непрерывность G0), а с правой стороны они гладкие (т. е. непрерывность G1).

• 
  Изофоты на двух поверхностях Безье и G1-непрерывной (слева) и G2-непрерывной (справа) поверхности смешивания: слева изофоты имеют изломы, а справа — гладкие

Определение точек изофоты

На неявной поверхности

Для неявной поверхности с уравнением условие изофоты следующее : Это означает: точки изофоты с заданным параметром c являются решениями нелинейной системы , которую можно рассматривать как кривую пересечения двух неявных поверхностей. Используя алгоритм трассировки Баджаджа и др. (см. ссылки), можно вычислить многоугольник точек . ${\displaystyle f(x,y,z)=0,}$ $${\displaystyle {\frac {\nabla f\cdot {\vec {v}}}{|\nabla f|}}=c\ .}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y,z)&=0,\\[4pt]\nabla f(x,y,z)\cdot {\vec {v}}-c\;|\nabla f(x,y,z)|&=0,\end{aligned}}}$$

На параметрической поверхности

В случае параметрической поверхности условие изофоты имеет вид ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {S}}(s,t)}$

$${\displaystyle {\frac {({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t}|}}=c\ .}$$

что эквивалентно Это уравнение описывает неявную кривую в плоскости st, которую можно проследить с помощью подходящего алгоритма (см. неявная кривая ) и преобразовать в точки поверхности. $${\displaystyle \ ({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}-c\;|{\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t}|=0\ .}$$ ${\displaystyle {\vec {S}}(s,t)}$

Смотрите также

• Контурная линия

Ссылки

• Дж. Хошек, Д. Лассер: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung , Teubner-Verlag, Штутгарт, 1989, ISBN  3-519-02962-6 , стр. 31.
• Z. Sun, S. Shan, H. Sang и др.: Биометрическое распознавание , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-12483-4 , стр. 158. 
• CL Bajaj, CM Hoffmann, RE Lynch, JEH Hopcroft: Отслеживание пересечений поверхностей , (1988) Comp. Aided Geom. Design 5, стр. 285–307.
• CT Leondes: Автоматизированные и интегрированные производственные системы: методы оптимизации , т. 3, World Scientific, 2003, ISBN 981-238-981-4 , стр. 209. 

1. Дж. Бинни, М. Меррифилд: Галактическая астрономия , Princeton University Press, 1998, ISBN 0-691-00402-1 , стр. 178. 

Внешние ссылки

• Патрикалакис-Маэкава-Чо: Изофоты (англ.)
• А. Диатта, П. Гиблин: Геометрия изофотных кривых
• Джин Ким: Вычисление изофот поверхности вращения и поверхности канала