Геометрическое стандартное отклонение

В теории вероятностей и статистике геометрическое стандартное отклонение ( GSD ) описывает, как распределен набор чисел, предпочтительным средним значением которых является среднее геометрическое . Для таких данных его можно предпочесть более обычному стандартному отклонению . Обратите внимание, что в отличие от обычного арифметического стандартного отклонения, геометрическое стандартное отклонение является мультипликативным коэффициентом и, следовательно, является безразмерным , а не имеет ту же размерность , что и входные значения. Таким образом, геометрическое стандартное отклонение правильнее называть геометрическим коэффициентом SD . ^{[1] [2]} При использовании коэффициента геометрического стандартного отклонения в сочетании со средним геометрическим его следует описывать как «диапазон от (среднего геометрического, деленного на коэффициент геометрического отклонения) до (среднего геометрического, умноженного на коэффициент геометрического отклонения), и нельзя прибавлять/вычитать «геометрический коэффициент стандартного отклонения» к/из среднего геометрического ^{[3] .}

Определение

Если среднее геометрическое набора чисел обозначается как , то геометрическое стандартное отклонение равно ${\textstyle {A_{1},A_{2},...,A_{n}}}$ ${\textstyle \mu _{\mathrm {g} }}$

$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {g} }=\exp {\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\left(\ln {A_{i} \over \mu _{\mathrm {g} }}\right)^{2}}}\,.}$$

Вывод

Если среднее геометрическое

$${\displaystyle \mu _{\mathrm {g} }={\sqrt[{n}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{n}}}}$$

тогда взятие натурального логарифма обеих частей приводит к

$${\displaystyle \ln \mu _{\mathrm {g} }={1 \over n}\ln(A_{1}A_{2}\cdots A_{n}).}$$

Логарифм произведения представляет собой сумму логарифмов (при условии, что он положителен для всех ), поэтому ${\textstyle A_{i}}$ ${\textstyle i}$

$${\displaystyle \ln \mu _{\mathrm {g} }={1 \over n}\left[\ln A_{1}+\ln A_{2}+\cdots +\ln A_{n}\right].}$$

Теперь можно видеть, что это среднее арифметическое набора , поэтому стандартное арифметическое отклонение этого же набора должно быть равно ${\displaystyle \ln \mu _{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle \{\ln A_{1},\ln A_{2},\dots ,\ln A_{n}\}}$

$${\displaystyle \ln \sigma _{\mathrm {g} }={\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}(\ln A_{i}-\ln \mu _{\mathrm {g} })^{2}}}\,.}$$

Это упрощает

$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {g} }=\exp {\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\left(\ln {A_{i} \over \mu _{\mathrm {g} }}\right)^{2}}}\,.}$$

Стандартная геометрическая оценка

Геометрическая версия стандартной оценки :

$${\displaystyle z={{\ln x-\ln \mu _{\mathrm {g} }} \over \ln \sigma _{\mathrm {g} }}=\log _{\sigma _{\mathrm {g} }}\left({x \over \mu _{\mathrm {g} }}\right).}$$

Если известно среднее геометрическое, стандартное отклонение и z-показатель данных, то необработанный показатель можно восстановить с помощью

$${\displaystyle x=\mu _{\mathrm {g} }{\sigma _{\mathrm {g} }}^{z}.}$$

Связь с логнормальным распределением

Геометрическое стандартное отклонение используется как мера логнормальной дисперсии аналогично среднему геометрическому. ^[3] Поскольку лог-преобразование логарифмически нормального распределения приводит к нормальному распределению, мы видим, что геометрическое стандартное отклонение представляет собой возведенное в степень значение стандартного отклонения логарифмически преобразованных значений, т.е. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {g} }=\exp(\operatorname {stdev} (\ln A))}$

Таким образом, среднее геометрическое и стандартное геометрическое отклонение выборки данных из логарифмически нормально распределенной совокупности могут использоваться для определения границ доверительных интервалов аналогично тому, как среднее арифметическое и стандартное отклонение используются для ограничения доверительных интервалов для нормальное распределение. Подробности смотрите в обсуждении логнормального распределения .

Рекомендации

1. Руководство по GraphPad
2. Кирквуд, TBL (1993). «Геометрическое стандартное отклонение - ответ Бохидару». Разработчик лекарств. Индийская аптека 19 (3): 395-6.
3. Кирквуд, TBL (1979). «Геометрические средства и меры дисперсии». Биометрия . 35 : 908–9. JSTOR  2530139.

Внешние ссылки

• Сайт неньютоновского исчисления