Характеристический полином

Полином, корни которого являются собственными значениями матрицы

В линейной алгебре характеристический многочлен квадратной матрицы — это многочлен , инвариантный относительно подобия матрицы и имеющий собственные значения в качестве корней . Среди его коэффициентов есть определитель и след матрицы. Характеристический полином эндоморфизма конечномерного векторного пространства — это характеристический полином матрицы этого эндоморфизма по любой базе (т . е. характеристический полином не зависит от выбора базиса ) . Характеристическое уравнение , также известное как детерминантное уравнение , ^{[1] [2] [3]} представляет собой уравнение, полученное путем приравнивания характеристического полинома нулю.

В теории спектральных графов характеристический полином графа является характеристическим полиномом его матрицы смежности . ^[4]

Мотивация

В линейной алгебре собственные значения и собственные векторы играют фундаментальную роль, поскольку при линейном преобразовании собственный вектор — это вектор, направление которого не изменяется в результате преобразования, а соответствующее собственное значение — это мера результирующего изменения величины вектора.

Точнее, если преобразование представлено квадратной матрицей, собственный вектор и соответствующее собственное значение должны удовлетворять уравнению ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ,}$ ${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,}$$

$${\displaystyle (\lambda I-A)\mathbf {v} =\mathbf {0} }$$

единичная матрица ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \lambda ,}$

Отсюда следует, что матрица должна быть сингулярной , а ее определитель ${\displaystyle (\lambda I-A)}$

$${\displaystyle \det(\lambda I-A)=0}$$

Другими словами, собственные значения A являются корнями

$${\displaystyle \det(xI-A),}$$

моническим полиномомxnAn × nхарактеристическимA

Формальное определение

Рассмотрим матрицу. Характеристическим многочленом, обозначаемым через, является многочлен, определенный в ^[5] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle p_{A}(t),}$

$${\displaystyle p_{A}(t)=\det(tI-A)}$$

единичную матрицу ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle n\times n}$

Некоторые авторы определяют характеристический многочлен как Этот многочлен отличается от определенного здесь знаком, поэтому он не имеет значения для таких свойств, как наличие в качестве корней собственных значений ; однако приведенное выше определение всегда дает монический полином, тогда как альтернативное определение является моническим только тогда, когда оно четно. ${\displaystyle \det(A-tI).}$ ${\displaystyle (-1)^{n},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$

Примеры

Чтобы вычислить характеристический полином матрицы

$${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$$

следующего :

$${\displaystyle tI-A={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle (t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1\,\!,}$ ${\displaystyle A.}$

В другом примере используются гиперболические функции от гиперболического угла φ. В качестве матрицы возьмем

$${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cosh(\varphi )&\sinh(\varphi )\\\sinh(\varphi )&\cosh(\varphi )\end{pmatrix}}.}$$

$${\displaystyle \det(tI-A)=(t-\cosh(\varphi ))^{2}-\sinh ^{2}(\varphi )=t^{2}-2t\ \cosh(\varphi )+1=(t-e^{\varphi })(t-e^{-\varphi }).}$$

Характеристики

Характеристический многочлен матрицы является унитарным (его старший коэффициент равен ), а его степень равна. Самый важный факт о характеристическом многочлене уже упоминался в мотивационном параграфе: собственные значения являются в точности корнями (это справедливо и для минимального многочлена но ее степень может быть меньше ). Все коэффициенты характеристического многочлена являются полиномиальными выражениями в элементах матрицы. В частности, его постоянный коэффициент равен единице , а коэффициент равен tr (− A ) = −tr( A ) , где tr( A ) — это след ( Знаки, приведенные здесь, соответствуют формальному определению, данному в предыдущем разделе; ^[6] для альтернативного определения вместо этого будут и (−1) ^{n – 1} tr( A ) соответственно. ^[7] ) ${\displaystyle p_{A}(t)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p_{A}(t)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t^{0}}$ ${\displaystyle \det(-A)=(-1)^{n}\det(A),}$ ${\displaystyle t^{n}}$ ${\displaystyle t^{n-1}}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \det(A)}$

Таким образом, для матрицы характеристический полином определяется выражением ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle A,}$

$${\displaystyle t^{2}-\operatorname {tr} (A)t+\det(A).}$$

Используя язык внешней алгебры , характеристический полином матрицы можно выразить как ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle p_{A}(t)=\sum _{k=0}^{n}t^{n-k}(-1)^{k}\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)}$$

следвнешней степениглавных миноровалгоритм Фаддеева – Леверье ${\textstyle \operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{k}A\right)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A,}$ ${\textstyle {\binom {n}{k}}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k.}$

Когда характеристикой поля коэффициентов является каждый такой след , альтернативно он может быть вычислен как единственный определитель матрицы , ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle k\times k}$

$${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)={\frac {1}{k!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &0\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&&\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&&\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.}$$

Теорема Кэли -Гамильтона утверждает, что замена на в характеристическом многочлене (интерпретируя полученные степени как степени матрицы, а постоянный член как единичную матрицу) дает нулевую матрицу. Неформально говоря, каждая матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Это утверждение эквивалентно утверждению, что минимальный многочлен делит характеристический многочлен ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$

Две подобные матрицы имеют одинаковый характеристический полином. Обратное, однако, в общем случае неверно: две матрицы с одинаковым характеристическим полиномом не обязательно должны быть похожими.

Матрица и ее транспонирование имеют один и тот же характеристический полином. похожа на треугольную матрицу тогда и только тогда, когда ее характеристический многочлен можно полностью разложить на линейные множители (то же самое относится и к минимальному многочлену вместо характеристического многочлена). В этом случае она аналогична матрице в жордановой нормальной форме . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$

Характеристический полином произведения двух матриц

Если и - две квадратные матрицы, то характеристические многочлены и совпадают: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle BA}$

$${\displaystyle p_{AB}(t)=p_{BA}(t).\,}$$

В случае несингулярности этот результат следует из того факта, что и подобны : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle BA}$

$${\displaystyle BA=A^{-1}(AB)A.}$$

В случае, когда оба и сингулярны, искомое тождество представляет собой равенство между многочленами и коэффициентами матриц. Таким образом, для доказательства этого равенства достаточно доказать, что оно проверено на непустом открытом подмножестве (для обычной топологии или, более общо, для топологии Зарисского ) пространства всех коэффициентов. Поскольку неособые матрицы образуют такое открытое подмножество пространства всех матриц, это доказывает результат. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle t}$

В более общем смысле, если является матрицей порядка и является матрицей порядка , то есть и есть матрица, и у человека есть ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\times m,}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle m\times m}$ ${\displaystyle BA}$ ${\displaystyle n\times n}$

$${\displaystyle p_{BA}(t)=t^{n-m}p_{AB}(t).\,}$$

Чтобы доказать это, можно предположить , поменяв местами, если необходимо, и Тогда, гранича снизу строками нулей, а справа столбцами нулей, получаются две матрицы и такие, что и равно граничащему с строки и столбцы нулей. Результат следует из случая квадратных матриц путем сравнения характеристических многочленов и ${\displaystyle n>m,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n-m}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n-m}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime }A^{\prime }=BA}$ ${\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle n-m}$ ${\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }}$ ${\displaystyle AB.}$

Характеристический полином A k

Если является собственным значением квадратной матрицы с собственным вектором, то является собственным значением, потому что ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ,}$ ${\displaystyle \lambda ^{k}}$ ${\displaystyle A^{k}}$

$${\displaystyle A^{k}{\textbf {v}}=A^{k-1}A{\textbf {v}}=\lambda A^{k-1}{\textbf {v}}=\dots =\lambda ^{k}{\textbf {v}}.}$$

Можно также показать, что кратности согласуются, и это обобщается на любой полином вместо : ^[8] ${\displaystyle x^{k}}$

Теорема  .  Пусть — квадратная матрица и пусть — многочлен. Если характеристический полином имеет факторизацию ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})(t-\lambda _{2})\cdots (t-\lambda _{n})}$$

тогда характеристический полином матрицы имеет вид ${\displaystyle f(A)}$

$${\displaystyle p_{f(A)}(t)=(t-f(\lambda _{1}))(t-f(\lambda _{2}))\cdots (t-f(\lambda _{n})).}$$

То есть алгебраическая кратность in равна сумме алгебраических кратностей in над такими, что В частности и Здесь, например, многочлен оценивается на матрице просто как Не удалось проанализировать (SVG (MathML можно включить через плагин браузера) : Неверный ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase.») с сервера «http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle f(A) = A^3+I .} ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle \lambda '}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda '}$ ${\displaystyle f(\lambda ')=\lambda .}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (f(A))=\textstyle \sum _{i=1}^{n}f(\lambda _{i})}$ ${\displaystyle \operatorname {det} (f(A))=\textstyle \prod _{i=1}^{n}f(\lambda _{i}).}$ ${\displaystyle f(t)=t^{3}+1,}$ ${\displaystyle A}$

Теорема применима к матрицам и многочленам над любым полем или коммутативным кольцом . ^[9] Однако предположение о факторизации на линейные факторы не всегда верно, если только матрица не находится над алгебраически замкнутым полем , таким как комплексные числа. ${\displaystyle p_{A}(t)}$

Доказательство

Это доказательство применимо только к матрицам и многочленам над комплексными числами (или любым алгебраически замкнутым полем). В этом случае характеристический полином любой квадратной матрицы всегда можно факторизовать как

$${\displaystyle p_{A}(t)=\left(t-\lambda _{1}\right)\left(t-\lambda _{2}\right)\cdots \left(t-\lambda _{n}\right)}$$

где - собственные значения возможно повторяющихся. Более того, теорема о разложении Жордана гарантирует, что любая квадратная матрица может быть разложена следующим образом : (Нормальная форма Жордана обладает более сильными свойствами, но и этого достаточно; в качестве альтернативы можно использовать разложение Шура , которое менее популярно, но несколько легче доказуемо). ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=S^{-1}US,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$

Пусть тогда ${\textstyle f(t)=\sum _{i}\alpha _{i}t^{i}.}$

$${\displaystyle f(A)=\textstyle \sum \alpha _{i}(S^{-1}US)^{i}=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}USS^{-1}US\cdots S^{-1}US=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}U^{i}S=S^{-1}(\textstyle \sum \alpha _{i}U^{i})S=S^{-1}f(U)S.}$$

Для верхнетреугольной матрицы с диагональю матрица является верхнетреугольной с диагональю in и, следовательно , является верхнетреугольной с диагональю. Следовательно, собственные значения матрицы равны . Поскольку она аналогична , она имеет те же собственные значения с теми же алгебраическими кратностями. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n},}$ ${\displaystyle U^{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}^{i},\dots ,\lambda _{n}^{i}}$ ${\displaystyle U^{i},}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f\left(\lambda _{1}\right),\dots ,f\left(\lambda _{n}\right).}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f(\lambda _{1}),\dots ,f(\lambda _{n}).}$ ${\displaystyle f(A)=S^{-1}f(U)S}$ ${\displaystyle f(U),}$

Секулярная функция и вековое уравнение

Светская функция

Термин вековая функция использовался для обозначения того, что сейчас называется характеристическим полиномом (в некоторой литературе термин вековая функция все еще используется). Этот термин происходит от того факта, что характеристический полином использовался для расчета вековых возмущений (во временном масштабе столетия, то есть медленных по сравнению с годовым движением) планетных орбит, согласно теории колебаний Лагранжа .

Светское уравнение

Светское уравнение может иметь несколько значений.

• В линейной алгебре его иногда используют вместо характеристического уравнения.
• В астрономии это алгебраическое или числовое выражение величины неравенств в движении планеты, которые остаются после того, как были учтены неравенства короткого периода. ^[10]

• В молекулярных орбитальных расчетах, касающихся энергии электрона и его волновой функции, оно также используется вместо характеристического уравнения.

Для общих ассоциативных алгебр

Приведенное выше определение характеристического полинома матрицы с элементами в поле обобщается без каких-либо изменений на случай, когда – просто коммутативное кольцо . Гарибальди (2004) определяет характеристический полином для элементов произвольной конечномерной ( ассоциативной , но не обязательно коммутативной) алгебры над полем и доказывает стандартные свойства характеристического полинома в этой общности. ${\displaystyle A\in M_{n}(F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Смотрите также

• Характеристическое уравнение (значения)
• Инварианты тензоров
• Сопутствующая матрица
• Алгоритм Фаддеева – Леверье
• Теорема Кэли – Гамильтона
• Алгоритм Самуэльсона – Берковица

Рекомендации

1. Гиймен, Эрнст (1953). Вводная теория цепей. Уайли. стр. 366, 541. ISBN. 0471330663.
2. Форсайт, Джордж Э.; Моцкин, Теодор (январь 1952 г.). «Расширение преобразования Гаусса для улучшения состояния систем линейных уравнений» (PDF) . Математика вычислений . 6 (37): 18–34. дои : 10.1090/S0025-5718-1952-0048162-0 . Проверено 3 октября 2020 г. .
3. Фрэнк, Эвелин (1946). «О нулях многочленов с комплексными коэффициентами». Бюллетень Американского математического общества . 52 (2): 144–157. дои : 10.1090/S0002-9904-1946-08526-2 .
4. «Характеристический полином графика - Wolfram MathWorld» . Проверено 26 августа 2011 г.
5. Стивен Роман (1992). Продвинутая линейная алгебра (2-е изд.). Спрингер. п. 137. ИСБН 3540978372.
6. Предложение 28 в этих конспектах лекций ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
7. Теорема 4 в этих конспектах лекций.
8. Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . С. 108–109, раздел 2.4.2. ISBN 978-0-521-54823-6.
9. Ланг, Серж (1993). Алгебра. Нью-Йорк: Спрингер. с.567, Теорема 3.10. ISBN 978-1-4613-0041-0. ОКЛК  852792828.
10. "Вековое уравнение" . Проверено 21 января 2010 г.

• Т. С. Блит и Э. Ф. Робертсон (1998) Основная линейная алгебра , стр. 149, Springer ISBN 3-540-76122-5 . 
• Джон Б. Фрэли и Раймонд А. Борегар (1990) Линейная алгебра , 2-е издание, стр. 246, ISBN Аддисона-Уэсли 0-201-11949-8 . 
• Гарибальди, Скип (2004), «Характеристический полином и определитель не являются специальными конструкциями», American Mathematical Monthly , 111 (9): 761–778, arXiv : math/0203276 , doi : 10.2307/4145188, JSTOR  4145188, MR  2104048
• Вернер Греуб (1974) Линейная алгебра , 4-е издание, стр. 120–5, Springer, ISBN 0-387-90110-8 . 
• Пол К. Шилдс (1980) Элементарная линейная алгебра , 3-е издание, стр. 274, ISBN Worth Publishers 0-87901-121-1 . 
• Гилберт Стрэнг (1988) Линейная алгебра и ее приложения , 3-е издание, стр. 246, Brooks/Cole ISBN 0-15-551005-3 .