Мероморфная функция

Класс математической функции

В математической области комплексного анализа мероморфная функция на открытом подмножестве D комплексной плоскости — это функция , которая голоморфна на всем D, за исключением набора изолированных точек , которые являются полюсами функции. ^[1] Термин происходит от греческого слова meros (μέρος), что означает «часть». ^[a]

Каждая мероморфная функция на D может быть выражена как отношение двух голоморфных функций (со знаменателем, отличным от постоянного 0), определенных на D : любой полюс должен совпадать с нулем знаменателя.

Гамма -функция мероморфна во всей комплексной плоскости.

Эвристическое описание

Интуитивно, мероморфная функция — это отношение двух хорошо ведущих себя (голоморфных) функций. Такая функция будет вести себя хорошо, за исключением, возможно, точек, где знаменатель дроби равен нулю. Если знаменатель имеет ноль в точке z , а числитель — нет, то значение функции будет стремиться к бесконечности; если обе части имеют ноль в точке z , то нужно сравнить кратность этих нулей.

С алгебраической точки зрения, если область определения функции связна , то множество мероморфных функций является полем дробей области целочисленности множества голоморфных функций. Это аналогично соотношению между рациональными числами и целыми числами .

Предшествующее, альтернативное использование

И область изучения, в которой используется этот термин, и точное значение термина изменились в 20 веке. В 1930-х годах в теории групп мероморфная функция (или мероморф ) была функцией из группы G в себя, которая сохраняла произведение на группе. Образ этой функции назывался автоморфизмом G. [ ^2] Аналогично, гомоморфная функция (или гомоморф ) была функцией между группами, которая сохраняла произведение, в то время как гомоморфизм был образом гомоморфа. Эта форма термина сейчас устарела, и связанный с ней термин мероморф больше не используется в теории групп. Термин эндоморфизм теперь используется для самой функции, без специального названия, данного образу функции.

Мероморфная функция не обязательно является эндоморфизмом, поскольку комплексные точки на ее полюсах не находятся в ее области определения, но могут находиться в ее диапазоне.

Характеристики

Поскольку полюса изолированы, для мероморфной функции их может быть не более счетного числа . ^[3] Множество полюсов может быть бесконечным, как показано на примере функции $${\displaystyle f(z)=\csc z={\frac {1}{\sin z}}.}$$

Используя аналитическое продолжение для устранения устранимых особенностей , мероморфные функции можно складывать, вычитать, умножать, а частное можно формировать только на связной компоненте D. Таким образом, если D связно, мероморфные функции образуют поле , фактически расширение поля комплексных чисел . ${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle g(z)=0}$

Более высокие измерения

В нескольких комплексных переменных мероморфная функция определяется как локально частное двух голоморфных функций. Например, является мероморфной функцией на двумерном комплексном аффинном пространстве. Здесь уже не верно, что каждую мероморфную функцию можно рассматривать как голоморфную функцию со значениями в сфере Римана : существует множество «неопределенностей» коразмерности два (в данном примере это множество состоит из начала координат ). ${\displaystyle f(z_{1},z_{2})=z_{1}/z_{2}}$ ${\displaystyle (0,0)}$

В отличие от размерности один, в высших размерностях существуют компактные комплексные многообразия , на которых нет непостоянных мероморфных функций, например, большинство сложных торов .

Примеры

• Все рациональные функции , ^[3] например, являются мероморфными на всей комплексной плоскости. Более того, они являются единственными мероморфными функциями на расширенной комплексной плоскости . $${\displaystyle f(z)={\frac {z^{3}-2z+10}{z^{5}+3z-1}},}$$
• Функции , а также гамма-функция и дзета-функция Римана являются мероморфными на всей комплексной плоскости. ^[3] $${\displaystyle f(z)={\frac {e^{z}}{z}}\quad {\text{and}}\quad f(z)={\frac {\sin {z}}{(z-1)^{2}}}}$$
• Функция определена во всей комплексной плоскости, за исключением начала координат 0. Однако 0 не является полюсом этой функции, а является существенной особенностью . Таким образом, эта функция не является мероморфной во всей комплексной плоскости. Однако она мероморфна (даже голоморфна) на . $${\displaystyle f(z)=e^{\frac {1}{z}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$
• Функция комплексного логарифма не является мероморфной на всей комплексной плоскости, поскольку ее нельзя определить на всей комплексной плоскости , исключая лишь набор изолированных точек. ^[3] $${\displaystyle f(z)=\ln(z)}$$
• Функция не является мероморфной во всей плоскости, поскольку точка является точкой накопления полюсов и, таким образом, не является изолированной особенностью . ^[3] $${\displaystyle f(z)=\csc {\frac {1}{z}}={\frac {1}{\sin \left({\frac {1}{z}}\right)}}}$$ ${\displaystyle z=0}$
• Функция также не является мероморфной, так как имеет существенную особенность в точке 0. $${\displaystyle f(z)=\sin {\frac {1}{z}}}$$

На римановых поверхностях

На римановой поверхности каждая точка допускает открытую окрестность, которая биголоморфна открытому подмножеству комплексной плоскости. Тем самым понятие мероморфной функции может быть определено для каждой римановой поверхности.

Когда D — вся сфера Римана , поле мероморфных функций — это просто поле рациональных функций от одной переменной над комплексным полем, поскольку можно доказать, что любая мероморфная функция на сфере является рациональной. (Это частный случай так называемого принципа GAGA .)

Для каждой римановой поверхности мероморфная функция совпадает с голоморфной функцией, которая отображается на сферу Римана и которая не является постоянной функцией, равной ∞. Полюса соответствуют тем комплексным числам, которые отображаются на ∞.

На некомпактной римановой поверхности каждая мероморфная функция может быть реализована как частное двух (глобально определенных) голоморфных функций. Напротив, на компактной римановой поверхности каждая голоморфная функция является постоянной, в то время как всегда существуют непостоянные мероморфные функции.

Смотрите также

• Проблемы с кузенами
• Теорема Миттаг-Леффлера
• Теорема факторизации Вейерштрасса

Сноски

1. Греческий мерос (μέρος) означает «часть», в отличие от более часто используемого голоса (ὅλος), означающего «целое».

Ссылки

1. Хазевинкель, Михиль, ред. (2001) [1994]. "Мероморфная функция". Энциклопедия математики . Springer Science+Business Media BV; Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-55608-010-4.
2. Зассенхаус, Ганс (1937). Lehrbuch der Gruppentheorie (1-е изд.). Лейпциг; Берлин: БГ Тойбнер Верлаг. стр. 29, 41.
3. Lang, Serge (1999). Комплексный анализ (4-е изд.). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98592-3.