класс Понтрягина

В математике классы Понтрягина , названные в честь Льва Понтрягина , — это некоторые характеристические классы вещественных векторных расслоений. Классы Понтрягина лежат в группах когомологий со степенями, кратными четырём.

Определение

Для вещественного векторного расслоения над его -й класс Понтрягина определяется как ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p_{k}(E)}$

${\displaystyle p_{k}(E)=p_{k}(E,\mathbb {Z} )=(-1)^{k}c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in H^{4k}(M,\mathbb {Z} ),}$

где:

• ${\displaystyle c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )}$обозначает -й класс Черна комплексификации ,​ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} =E\oplus iE}$ ${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbb {Z} )}$- группа когомологий с целыми коэффициентами . ${\displaystyle 4k}$ ${\displaystyle M}$

Рациональный класс Понтрягина определяется как образ в , -группе когомологий с рациональными коэффициентами. ${\displaystyle p_{k}(E,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle p_{k}(E)}$ ${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle 4k}$ ${\displaystyle M}$

Характеристики

Общий класс Понтрягина

${\displaystyle p(E)=1+p_{1}(E)+p_{2}(E)+\cdots \in H^{*}(M,\mathbb {Z} ),}$

является (по модулю 2-кручения) мультипликативным относительно суммы Уитни векторных расслоений, т.е.

${\displaystyle 2p(E\oplus F)=2p(E)\smile p(F)}$

для двух векторных расслоений и более . В терминах отдельных классов Понтрягина , ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p_{k}}$

${\displaystyle 2p_{1}(E\oplus F)=2p_{1}(E)+2p_{1}(F),}$

${\displaystyle 2p_{2}(E\oplus F)=2p_{2}(E)+2p_{1}(E)\smile p_{1}(F)+2p_{2}(F)}$

и так далее.

Исчезновение классов Понтрягина и классов Штифеля–Уитни векторного расслоения не гарантирует, что векторное расслоение тривиально. Например, с точностью до изоморфизма векторных расслоений существует единственное нетривиальное векторное расслоение ранга 10 над 9-сферой . ( Функция сцепления для возникает из гомотопической группы .) Классы Понтрягина и классы Штифеля–Уитни все исчезают: классы Понтрягина не существуют в степени 9, а класс Штифеля–Уитни исчезает по формуле Ву . Более того, это векторное расслоение стабильно нетривиально, т. е. сумма Уитни с любым тривиальным расслоением остается нетривиальной. (Hatcher 2009, стр. 76) ${\displaystyle E_{10}}$ ${\displaystyle E_{10}}$ ${\displaystyle \pi _{8}(\mathrm {O} (10))=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle w_{9}}$ ${\displaystyle E_{10}}$ ${\displaystyle w_{9}=w_{1}w_{8}+Sq^{1}(w_{8})}$ ${\displaystyle E_{10}}$

Для -мерного векторного расслоения имеем ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle p_{k}(E)=e(E)\smile e(E),}$

где обозначает класс Эйлера , а обозначает кубовое произведение классов когомологий. ${\displaystyle e(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \smile }$

Классы Понтрягина и кривизна

Как показали Шиинг-Шен Черн и Андре Вайль около 1948 года, рациональные классы Понтрягина

${\displaystyle p_{k}(E,\mathbf {Q} )\in H^{4k}(M,\mathbf {Q} )}$

могут быть представлены в виде дифференциальных форм, которые полиномиально зависят от формы кривизны векторного расслоения. Эта теория Черна–Вейля выявила важную связь между алгебраической топологией и глобальной дифференциальной геометрией.

Для векторного расслоения над -мерным дифференцируемым многообразием, снабженным связностью , полный класс Понтрягина выражается как ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle p=\left[1-{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})}{8\pi ^{2}}}+{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})^{2}-2{\rm {Tr}}(\Omega ^{4})}{128\pi ^{4}}}-{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})^{3}-6{\rm {Tr}}(\Omega ^{2}){\rm {Tr}}(\Omega ^{4})+8{\rm {Tr}}(\Omega ^{6})}{3072\pi ^{6}}}+\cdots \right]\in H_{dR}^{*}(M),}$

где обозначает форму кривизны , а обозначает группы когомологий де Рама . ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H_{dR}^{*}(M)}$

Классы Понтрягина многообразия

Классы Понтрягина гладкого многообразия определяются как классы Понтрягина его касательного расслоения .

Новиков доказал в 1966 году, что если два компактных, ориентированных, гладких многообразия гомеоморфны , то их рациональные классы Понтрягина в совпадают. Если размерность не менее пяти, то существует не более конечного числа различных гладких многообразий с заданным гомотопическим типом и классами Понтрягина. ^[1] ${\displaystyle p_{k}(M,\mathbf {Q} )}$ ${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbf {Q} )}$

Классы Понтрягина из классов Черна

Классы Понтрягина комплексного векторного расслоения полностью определяются его классами Черна. Это следует из того, что , формулы суммы Уитни и свойств классов Черна его комплексно-сопряженного расслоения. То есть и . Тогда, это с учетом соотношения ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle E\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \cong E\oplus {\bar {E}}}$ ${\displaystyle c_{i}({\bar {E}})=(-1)^{i}c_{i}(E)}$ ${\displaystyle c(E\oplus {\bar {E}})=c(E)c({\bar {E}})}$

${\displaystyle 1-p_{1}(E)+p_{2}(E)-\cdots +(-1)^{n}p_{n}(E)=(1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E))\cdot (1-c_{1}(E)+c_{2}(E)-\cdots +(-1)^{n}c_{n}(E))}$^[2]

например, мы можем применить эту формулу для нахождения классов Понтрягина комплексного векторного расслоения на кривой и поверхности. Для кривой имеем

${\displaystyle (1-c_{1}(E))(1+c_{1}(E))=1+c_{1}(E)^{2}}$

так что все классы Понтрягина комплексных векторных расслоений тривиальны. На поверхности мы имеем

${\displaystyle (1-c_{1}(E)+c_{2}(E))(1+c_{1}(E)+c_{2}(E))=1-c_{1}(E)^{2}+2c_{2}(E)}$

показывая . Он-лайн пакеты это упрощает еще больше, поскольку по причинам размерности. ${\displaystyle p_{1}(E)=c_{1}(E)^{2}-2c_{2}(E)}$ ${\displaystyle c_{2}(L)=0}$

Классы Понтрягина на поверхности К3 четвертого порядка

Напомним, что многочлен четвертой степени, чье множество сходимости в является гладким подмногообразием, является поверхностью K3. Если мы используем нормальную последовательность ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {CP} ^{3}}|_{X}\to {\mathcal {O}}(4)\to 0}$

мы можем найти

${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {c({\mathcal {T}}_{\mathbb {CP} ^{3}}|_{X})}{c({\mathcal {O}}(4))}}\\&={\frac {(1+[H])^{4}}{(1+4[H])}}\\&=(1+4[H]+6[H]^{2})\cdot (1-4[H]+16[H]^{2})\\&=1+6[H]^{2}\end{aligned}}}$

показывая и . Поскольку соответствует четырем точкам, в силу леммы Безу мы имеем второе число Черна как . Поскольку в этом случае мы имеем ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$ ${\displaystyle c_{2}(X)=6[H]^{2}}$ ${\displaystyle [H]^{2}}$ ${\displaystyle 24}$ ${\displaystyle p_{1}(X)=-2c_{2}(X)}$

${\displaystyle p_{1}(X)=-48}$. Это число можно использовать для вычисления третьей стабильной гомотопической группы сфер. ^[3]

числа Понтрягина

Числа Понтрягина — это некоторые топологические инварианты гладкого многообразия . Каждое число Понтрягина многообразия обращается в нуль, если размерность не делится на 4. Оно определяется в терминах классов Понтрягина многообразия следующим образом: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Дано гладкое -мерное многообразие и набор натуральных чисел ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}$таким образом, что , ${\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}$

Число Понтрягина определяется как ${\displaystyle P_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}}$

${\displaystyle P_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}=p_{k_{1}}\smile p_{k_{2}}\smile \cdots \smile p_{k_{m}}([M])}$

где обозначает -й класс Понтрягина и фундаментальный класс . ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle [M]}$ ${\displaystyle M}$

Характеристики

1. Числа Понтрягина являются инвариантами ориентированного кобордизма ; вместе с числами Штифеля-Уитни они определяют класс ориентированного кобордизма ориентированного многообразия.
2. Числа Понтрягина замкнутых римановых многообразий (а также классы Понтрягина) можно вычислить как интегралы некоторых многочленов от тензора кривизны риманова многообразия.
3. Такие инварианты, как сигнатура и -род, могут быть выражены через числа Понтрягина. Для теоремы, описывающей линейную комбинацию чисел Понтрягина, дающую сигнатуру, см. теорему Хирцебруха о сигнатуре . ${\displaystyle {\hat {A}}}$

Обобщения

Существует также кватернионный класс Понтрягина для векторных расслоений с кватернионной структурой.

Смотрите также

• Форма Черна–Саймонса
• Теорема Хирцебруха о сигнатурах

Ссылки

1. Новиков, СП (1964). «Гомотопически эквивалентные гладкие многообразия. I». Известия Академии Наук СССР. Серия Математическая . 28 : 365–474. МР  0162246.
2. Маклин, Марк. "Классы Понтрягина" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2016-11-08.^{[ самостоятельно опубликованный источник? ]}
3. "Обзор вычислений гомотопических групп сфер и кобордизмов" (PDF) . стр. 16. Архивировано (PDF) из оригинала 22.01.2016.^{[ самостоятельно опубликованный источник? ]}

• Милнор Джон В.; Сташефф , Джеймс Д. (1974). Характерные классы . Annals of Mathematics Studies. Принстон, Нью-Джерси; Токио: Princeton University Press / University of Tokyo Press. ISBN 0-691-08122-0.
• Хэтчер, Аллен (2009). Векторные расслоения и К-теория (2.1-е изд.).

Внешние ссылки

• «Класс Понтрягина». Энциклопедия математики . Издательство EMS . 2001 [1994].