Инвариантная мера

В математике инвариантная мера — это мера , которая сохраняется некоторой функцией . Функция может быть геометрическим преобразованием . Например, круговой угол инвариантен относительно вращения, гиперболический угол инвариантен относительно отображения сжатия , а разность наклонов инвариантна относительно отображения сдвига . ^[1]

Эргодическая теория — это изучение инвариантных мер в динамических системах . Теорема Крылова–Боголюбова доказывает существование инвариантных мер при определенных условиях на рассматриваемые функцию и пространство.

Определение

Пусть будет измеримым пространством и пусть будет измеримой функцией от до себя. Мера на называется инвариантной относительно , ​​если для каждого измеримого множества в ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ $${\displaystyle \mu \left(f^{-1}(A)\right)=\mu (A).}$$

С точки зрения меры продвижения вперед , это означает, что ${\displaystyle f_{*}(\mu )=\mu .}$

Совокупность мер (обычно вероятностных мер ), которые инвариантны относительно , ​​иногда обозначается как Совокупность эргодических мер , является подмножеством Более того, любая выпуклая комбинация двух инвариантных мер также инвариантна, поэтому является выпуклым множеством ; состоит в точности из крайних точек ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M_{f}(X).}$ ${\displaystyle E_{f}(X),}$ ${\displaystyle M_{f}(X).}$ ${\displaystyle M_{f}(X)}$ ${\displaystyle E_{f}(X)}$ ${\displaystyle M_{f}(X).}$

В случае динамической системы , где — измеримое пространство, как и прежде, — моноид , а — отображение потока, мера на называется инвариантной мерой, если она является инвариантной мерой для каждого отображения. Явно, является инвариантной тогда и только тогда, когда ${\displaystyle (X,T,\varphi ),}$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varphi :T\times X\to X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \varphi _{t}:X\to X.}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu \left(\varphi _{t}^{-1}(A)\right)=\mu (A)\qquad {\text{ for all }}t\in T,A\in \Sigma .}$$

Другими словами, является инвариантной мерой для последовательности случайных величин (возможно, цепи Маркова или решения стохастического дифференциального уравнения ), если всякий раз, когда начальное условие распределено в соответствии с , то так же обстоит дело и в любой последующий момент времени. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \left(Z_{t}\right)_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle Z_{t}}$ ${\displaystyle t.}$

Если динамическая система может быть описана оператором переноса , то инвариантная мера является собственным вектором оператора, соответствующим собственному значению этого оператора, являющемуся наибольшим собственным значением, как дано в теореме Фробениуса–Перрона . ${\displaystyle 1,}$

Примеры

Сжатие отображения оставляет гиперболический угол инвариантным, перемещая гиперболический сектор (фиолетовый) в одну из той же области. Синие и зеленые прямоугольники также сохраняют ту же область

• Рассмотрим вещественную прямую с ее обычной борелевской σ-алгеброй ; зафиксируем и рассмотрим отображение переноса, заданное формулой: Тогда одномерная мера Лебега является инвариантной мерой для ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T_{a}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle T_{a}(x)=x+a.}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T_{a}.}$
• В более общем смысле, на -мерном евклидовом пространстве с его обычной борелевской σ-алгеброй -мерная мера Лебега является инвариантной мерой для любой изометрии евклидова пространства, то есть отображением , которое можно записать в виде для некоторой ортогональной матрицы и вектора ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda ^{n}}$ ${\displaystyle T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle T(x)=Ax+b}$$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A\in O(n)}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}.}$
• Инвариантная мера в первом примере уникальна с точностью до тривиальной перенормировки с постоянным множителем. Это не обязательно так: рассмотрим множество, состоящее всего из двух точек , и тождественное отображение , которое оставляет каждую точку неподвижной. Тогда любая вероятностная мера инвариантна. Обратите внимание, что тривиально имеет разложение на -инвариантные компоненты и ${\displaystyle \mathbf {S} =\{A,B\}}$ ${\displaystyle T=\operatorname {Id} }$ ${\displaystyle \mu :\mathbf {S} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \{A\}}$ ${\displaystyle \{B\}.}$
• Мера площади на евклидовой плоскости инвариантна относительно специальной линейной группы действительных матриц определителя ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle 1.}$
• Каждая локально компактная группа имеет меру Хаара , которая инвариантна относительно действия группы ( трансляции ).

Смотрите также

• Квазиинвариантная мера

Ссылки

1. Геометрия/Единые углы в Wikibooks

• Джон фон Нейман (1999) Инвариантные меры , Американское математическое общество ISBN  978-0-8218-0912-9