Дифференциальный инвариант

В математике дифференциальный инвариант — это инвариант для действия группы Ли на пространстве, которое включает производные графиков функций в пространстве. Дифференциальные инварианты являются фундаментальными в проективной дифференциальной геометрии , и кривизна часто изучается с этой точки зрения. ^[1] Дифференциальные инварианты были введены в частных случаях Софусом Ли в начале 1880-х годов и изучены Жоржем Анри Альфеном в то же время. Ли (1884) был первой общей работой по дифференциальным инвариантам и установил связь между дифференциальными инвариантами, инвариантными дифференциальными уравнениями и инвариантными дифференциальными операторами .

Дифференциальные инварианты противопоставляются геометрическим инвариантам. В то время как дифференциальные инварианты могут включать в себя выдающийся выбор независимых переменных (или параметризацию), геометрические инварианты этого не делают. Метод подвижных фреймов Эли Картана является уточнением, которое, хотя и менее общее, чем методы дифференциальных инвариантов Ли, всегда дает инварианты геометрического типа.

Определение

Простейший случай — для дифференциальных инвариантов для одной независимой переменной x и одной зависимой переменной y . Пусть G — группа Ли, действующая на R ² . Тогда G также действует локально на пространстве всех графиков вида y  =  ƒ ( x ). Грубо говоря, дифференциальный инвариант k -го порядка — это функция

${\displaystyle I\left(x,y,{\frac {dy}{dx}},\dots ,{\frac {d^{k}y}{dx^{k}}}\right)}$

зависящая от y и ее первых k производных по x , которая инвариантна относительно действия группы.

Группа может действовать на производные высшего порядка нетривиальным образом, который требует вычисления продолжения действия группы. Действие G на первую производную, например, таково, что цепное правило продолжает выполняться: если

${\displaystyle ({\overline {x}},{\overline {y}})=g\cdot (x,y),}$

затем

${\displaystyle g\cdot \left(x,y,{\frac {dy}{dx}}\right){\stackrel {\text{def}}{=}}\left({\overline {x}},{\overline {y}},{\frac {d{\overline {y}}}{d{\overline {x}}}}\right).}$

Аналогичные соображения применимы для вычисления более высоких продолжений. Однако этот метод вычисления продолжения непрактичен, и гораздо проще работать бесконечно мало на уровне алгебр Ли и производной Ли вдоль действия G.

В более общем случае дифференциальные инварианты можно рассматривать для отображений из любого гладкого многообразия X в другое гладкое многообразие Y для группы Ли, действующей на декартовом произведении X × Y . График отображения X  →  Y является подмногообразием X × Y , которое всюду трансверсально слоям над X . Группа G действует локально на пространстве таких графов и индуцирует действие на k -м продолжении Y ^{( k ),} состоящем из графов, проходящих через каждую точку по модулю отношения контакта k -го порядка. Дифференциальный инвариант — это функция на Y ^{( k ),} которая инвариантна относительно продолжения действия группы.

Приложения

• Решение проблем эквивалентности
• Дифференциальные инварианты могут применяться для изучения систем уравнений с частными производными : поиск решений подобия , которые инвариантны относительно действия определенной группы, может уменьшить размерность задачи (т.е. привести к «редуцированной системе»). ^[2]
• Теорема Нётер подразумевает существование дифференциальных инвариантов, соответствующих каждой дифференцируемой симметрии вариационной задачи .
• Характеристики потока с использованием компьютерного зрения ^[3]
• Геометрическая интеграция

Смотрите также

• Метод эквивалентности Картана

Примечания

1. Гуггенхаймер 1977
2. Олвер 1995, Глава 3
3. Олвер, Питер; Сапиро, Гильермо; Танненбаум, Аллен (1994), «Дифференциальные инвариантные сигнатуры и потоки в компьютерном зрении: подход симметрийной группы», Диффузия, управляемая геометрией в компьютерном зрении , Computational Imaging and Vision, т. 1, Дордрехт: Springer, стр. 255–306, doi : 10.1007/978-94-017-1699-4_11, hdl : 1721.1/3348 , ISBN 90-481-4461-2

Ссылки

• Гуггенхаймер, Генрих (1977), Дифференциальная геометрия , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-63433-3.
• Ли, Софус (1884), «Über Differentialinvarianten», Gesammelte Adhandlungen , vol. 6, Лейпциг: Б. Г. Тойбнер, стр. 95–138.; Английский перевод: Акерман, М.; Герман, Р. (1975), Дифференциальная инвариантная статья Софуса Ли 1884 года , Бруклин, Массачусетс: Math Sci Press.
• Олвер, Питер Дж. (1993), Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94007-6.
• Олвер, Питер Дж. (1995), Эквивалентность, инварианты и симметрия , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-47811-3.
• Мэнсфилд, Элизабет Луиза (2010), Практическое руководство по инвариантному исчислению , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-85701-7

Внешние ссылки

• Задачи инвариантного изменения