Инволюционная матрица

Тип квадратной матрицы

В математике инволютивная матрица — это квадратная матрица , обратная самой себе . То есть умножение на матрицу является инволюцией тогда и только тогда , когда , где – единичная матрица . Все инволютивные матрицы представляют собой квадратные корни единичной матрицы. Это следствие того, что любая обратимая матрица , умноженная на обратную, является тождественной. ^[1] ${\displaystyle A_{n\times n}}$ ${\displaystyle A^{2}=I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle n\times n}$

Примеры

Действительная матрица является инволютивной при условии, что [ ^2] ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle a^{2}+bc=1.}$

Матрицы Паули в M(2,  C ) инволютивны:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Один из трех классов элементарных матриц является инволютивным, а именно элементарная матрица с перестановкой строк. Частный случай другого класса элементарных матриц, который представляет собой умножение строки или столбца на -1, также является инволютивным; на самом деле это тривиальный пример сигнатурной матрицы , все из которых являются инволютивными.

Ниже показаны несколько простых примеров инволютивных матриц.

$${\displaystyle {\begin{array}{cc}\mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}};&\mathbf {I} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {R} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}};&\mathbf {R} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}};&\mathbf {S} ^{-1}={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\\\end{array}}}$$

• I — единичная матрица размера 3 × 3 (тривиально инволютивная);
• R — единичная матрица размера 3 × 3 с парой перепутанных строк;
• S — сигнатурная матрица .

Любые блочно-диагональные матрицы , построенные из инволютивных матриц, также будут инволютивными вследствие линейной независимости блоков.

Симметрия

Инволютивная матрица, которая также является симметричной , является ортогональной матрицей и, таким образом, представляет собой изометрию ( линейное преобразование , сохраняющее евклидово расстояние ). И наоборот, каждая ортогональная инволютивная матрица симметрична. ^[3] В качестве частного случая каждая матрица отражения и поворота на 180° является инволютивной.

Характеристики

Инволюция недефектна , и каждое собственное значение равно , поэтому инволюция диагонализируется до сигнатурной матрицы. ${\displaystyle \pm 1}$

Нормальная инволюция бывает эрмитовой (комплексной) или симметричной (действительной), а также унитарной (комплексной) или ортогональной (действительной).

Определитель инволютивной матрицы над любым полем равен ±1. ^[4]

Если A — матрица размера n  ×  n , то A инволютивна тогда и только тогда, когда P ₊  = ( I  +  A )/2 идемпотентно . Это соотношение дает биекцию между инволютивными и идемпотентными матрицами. ^[4] Аналогично, A является инволютивным тогда и только тогда, когда P ₋  = ( I  −  A )/2 идемпотентно . Эти два оператора образуют симметричную и антисимметричную проекции вектора относительно инволюции A в том смысле, что , или . Та же конструкция применима к любой инволютивной функции , такой как комплексно-сопряженная (действительная и мнимая части), транспонированная (симметричные и антисимметричные матрицы) и эрмитова сопряженная ( эрмитова и косоэрмитова матрицы). ${\displaystyle v_{\pm }=P_{\pm }v}$ ${\displaystyle v=v_{+}+v_{-}}$ ${\displaystyle Av_{\pm }=\pm v_{\pm }}$ ${\displaystyle AP_{\pm }=\pm P_{\pm }}$

Если A — инволютивная матрица в M( n , R ), которая является матричной алгеброй над действительными числами , и A не является скалярным кратным I , то подалгебра { x  I + y  A : x ,  y ∈ R } порожденный A , изоморфен расщепленным комплексным числам .

Если A и B — две инволютивные матрицы, которые коммутируют друг с другом (т. е. AB = BA ), то AB также инволютивна.

Если A — инволютивная матрица, то каждая целая степень A инволютивна . Фактически, An будет равно A ^, если n нечетное , и I , если n четное .

Смотрите также

• Аффинная инволюция

Рекомендации

1. Хайэм, Николас Дж. (2008), «6.11 Инволютивные матрицы», Функции матриц: теория и вычисления, Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), стр. 165–166, doi : 10.1137/1.9780898717778, ISBN 978-0-89871-646-7, МР  2396439.
2. Питер Ланкастер и Мирон Тисменецкий (1985) Теория матриц , 2-е издание, стр. 12,13 ISBN Academic Press 0-12-435560-9 
3. Говертс, Вилли Дж. Ф. (2000), Численные методы бифуркаций динамического равновесия, Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), стр. 292, номер домена : 10.1137/1.9780898719543, ISBN 0-89871-442-7, МР  1736704.
4. Бернштейн, Деннис С. (2009), «3.15 Факты об инволютивных матрицах», Матричная математика (2-е изд.), Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. 230–231, ISBN 978-0-691-14039-1, МР  2513751.