stringtranslate.com

Теорема Витта

«Теорема Витта» или «теорема Витта» может также относиться к теореме Бурбаки–Витта о неподвижной точке теории порядка.

В математике теорема Витта , названная в честь Эрнста Витта , является основным результатом в алгебраической теории квадратичных форм : любая изометрия между двумя подпространствами невырожденного квадратичного пространства над полем k может быть расширена до изометрии всего пространства. Аналогичное утверждение справедливо также для кососимметричных , эрмитовых и косоэрмитовых билинейных форм над произвольными полями. Теорема применима к классификации квадратичных форм над k и, в частности, позволяет определить группу Витта W ( k ), которая описывает «стабильную» теорию квадратичных форм над полем k .

Заявление

Пусть ( V , b ) — конечномерное векторное пространство над полем k характеристики, отличной от 2, вместе с невырожденной симметричной или кососимметричной билинейной формой . Если f  : U → U' — изометрия между двумя подпространствами V , то f продолжается до изометрии V . [1]

Теорема Витта подразумевает, что размерность максимального полностью изотропного подпространства (нулевого пространства) V является инвариантом, называемым индексом илиИндекс Витта дляb,[2][3]и, кроме того, чтогруппаизометрий( V , b ) действует транзитивнонамножествемаксимальных изотропных подпространств. Этот факт играет важную роль в теории структур итеории представленийгруппы изометрий и в теорииредуктивных дуальных пар.

Теорема сокращения Витта

Пусть ( V , q ) , ( V 1 , q 1 ) , ( V 2 , q 2 ) — три квадратичных пространства над полем k . Предположим, что

Тогда квадратичные пространства ( V 1 , q 1 ) и ( V 2 , q 2 ) изометричны:

Другими словами, прямое слагаемое ( V , q ), появляющееся в обеих частях изоморфизма между квадратичными пространствами, может быть «сокращён».

Теорема разложения Витта

Пусть ( V , q ) — квадратичное пространство над полем k . Тогда оно допускает разложение Витта :

где V 0 = ker q — радикал q , ( V a , q a ) — анизотропное квадратичное пространство , а ( V h , q h ) — расщепляемое квадратичное пространство . Более того, анизотропное слагаемое, называемое основной формой , и гиперболическое слагаемое в разложении Витта для ( V , q ) определяются однозначно с точностью до изоморфизма. [4]

Квадратичные формы с одинаковой основной формой называются подобными или эквивалентными по Витту .

Цитаты

  1. ↑ Роман 2008, стр. 275-276, гл. 11.
  2. ^ Лэм 2005, стр. 12.
  3. ↑ Роман 2008, стр. 296, гл. 11.
  4. ^ Лоренц 2008, стр. 30.

Ссылки