индекс Дынкина

В математике индекс Дынкина конечномерных представлений с наибольшим весом компактной простой алгебры Ли связывает их следовые формы посредством ${\displaystyle I({\lambda })}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

$${\displaystyle {\frac {{\text{Tr}}_{V_{\lambda }}}{{\text{Tr}}_{V_{\mu }}}}={\frac {I(\lambda )}{I(\mu )}}.}$$

В частном случае, когда — наибольший корень , так что — присоединенное представление , индекс Дынкина равен двойственному числу Кокстера . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle I(\lambda )}$

Обозначение представляет собой следовую форму представления . По лемме Шура , поскольку следовые формы являются инвариантными формами, они связаны константами, поэтому индекс определён корректно. ${\displaystyle {\text{Tr}}_{V}}$ ${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V)}$

Поскольку следовые формы являются билинейными формами , мы можем взять следы, чтобы получить ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle I(\lambda )={\frac {\dim V_{\lambda }}{2\dim {\mathfrak {g}}}}(\lambda ,\lambda +2\rho )}$

где вектор Вейля

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha \in \Delta ^{+}}\alpha }$

равно половине суммы всех положительных корней . Выражение представляет собой значение квадратного Казимира в представлении . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle (\lambda ,\lambda +2\rho )}$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$

Смотрите также

• Форма убийства

Ссылки

• Филипп Ди Франческо, Пьер Матье, Давид Сенешаль, Конформная теория поля , 1997 Springer-Verlag, Нью-Йорк, ISBN  0-387-94785-X