Квантовая неопределенность

Очевидное отсутствие определенного состояния перед измерением квантовых систем.

Квантовая неопределенность — кажущаяся необходимая неполнота описания физической системы , ставшая одной из характеристик стандартного описания квантовой физики . До появления квантовой физики считалось, что

1. физическая система имела определенное состояние , которое однозначно определяло все значения ее измеримых свойств, и
2. и наоборот , значения его измеримых свойств однозначно определяли состояние.

Квантовую неопределенность можно количественно охарактеризовать распределением вероятностей на множестве результатов измерений наблюдаемой . Распределение однозначно определяется состоянием системы, и более того, квантовая механика дает рецепт расчета этого распределения вероятностей.

Неопределенность в измерении не была новшеством квантовой механики, поскольку экспериментаторы еще на ранних этапах установили, что ошибки в измерениях могут привести к неопределенным результатам. Ко второй половине XVIII века ошибки измерений были хорошо поняты, и было известно, что их можно либо уменьшить с помощью лучшего оборудования, либо учесть с помощью моделей статистических ошибок. Однако в квантовой механике неопределенность имеет гораздо более фундаментальную природу и не имеет ничего общего с ошибками или возмущениями.

Измерение

Адекватное объяснение квантовой неопределенности требует теории измерения. С момента появления квантовой механики было предложено множество теорий , и квантовые измерения продолжают оставаться активной областью исследований как в теоретической, так и в экспериментальной физике. ^[1] Возможно, первая систематическая попытка создания математической теории была разработана Джоном фон Нейманом . Виды измерений, которые он исследовал, теперь называются проективными измерениями. Эта теория, в свою очередь, была основана на теории проекционнозначных мер для самосопряженных операторов , которая была недавно разработана (фон Нейманом и независимо Маршаллом Стоуном ) и формулировке квантовой механики в гильбертовом пространстве (приписанной фон Нейманом Полю Дираку). ).

В этой формулировке состояние физической системы соответствует вектору длины 1 в гильбертовом пространстве H над комплексными числами . Наблюдаемая представляется самосопряженным (т.е. эрмитовым ) оператором A на H. Если H конечномерна , то по спектральной теореме A имеет ортонормированный базис собственных векторов . Если система находится в состоянии ψ, то сразу после измерения система займет состояние, которое является собственным вектором e оператора A , а наблюдаемое значение λ будет соответствующим собственным значением уравнения A e = λ e . Отсюда следует, что измерение в целом будет недетерминированным. Более того, квантовая механика дает рецепт вычисления распределения вероятностей Pr возможных результатов при условии, что начальное состояние системы равно ψ . Вероятность

$${\displaystyle \operatorname {Pr} (\lambda )=\langle \operatorname {E} (\lambda )\psi \mid \psi \rangle }$$

EλAλ

Пример

Сфера Блоха , показывающая собственные векторы для матриц Паули Спина. Сфера Блоха представляет собой двумерную поверхность, точки которой соответствуют пространству состояний частицы со спином 1/2. В состоянии ψ значения σ1 равны +1 _, тогда как значения σ2 и σ3 _{принимают} значения +1, −1 с вероятностью 1/2 _.

В этом примере мы рассматриваем одну частицу со спином 1/2 (например, электрон), в которой мы учитываем только степень свободы спина. Соответствующее гильбертово пространство представляет собой двумерное комплексное гильбертово пространство C ² , где каждое квантовое состояние соответствует единичному вектору в C ² (единственному с точностью до фазы). В этом случае пространство состояний можно геометрически представить как поверхность сферы, как показано на рисунке справа.

Спиновые матрицы Паули

$${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$$

самосопряженными

Все матрицы Паули имеют собственные значения +1, −1.

• Для σ ₁ эти собственные значения соответствуют собственным векторам
  $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,1),{\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,-1)}$$
• Для σ ₃ они соответствуют собственным векторам
  $${\displaystyle (1,0),(0,1)}$$

Таким образом, в государстве

$${\displaystyle \psi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,1),}$$

_{13,имели}

По поводу приведенного выше утверждения о неопределенности можно задать различные вопросы.

1. Может ли кажущаяся неопределенность быть истолкована как фактически детерминированная, но зависящая от величин, не моделируемых в современной теории, которая, следовательно, была бы неполной? Точнее, существуют ли скрытые переменные , которые могли бы объяснить статистическую неопределенность совершенно классическим способом?
2. Можно ли понимать неопределенность как возмущение измеряемой системы?

Фон Нейман сформулировал вопрос 1) и привел аргумент, почему ответом должно быть «нет», если принять предложенный им формализм. Однако, по мнению Белла, формальное доказательство фон Неймана не подтвердило его неформальный вывод. ^[2] Окончательный, но частично отрицательный ответ на вопрос 1) был установлен экспериментально: поскольку неравенства Белла нарушаются, любая такая скрытая переменная(и) не может быть локальной (см. Тестовые эксперименты Белла ).

Ответ на вопрос 2) зависит от того, как понимается возмущение, особенно потому, что измерение влечет за собой возмущение (однако обратите внимание, что это эффект наблюдателя , который отличается от принципа неопределенности). Тем не менее, в самой естественной интерпретации ответ также будет отрицательным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим две последовательности измерений: (A), которая измеряет исключительно σ ₁ и (B) которая измеряет только σ ₃ спиновой системы в состоянии ψ . Все результаты измерений (A) равны +1, в то время как статистическое распределение измерений (B) по-прежнему делится между +1 и -1 с равной вероятностью.

Другие примеры неопределенности

Квантовую неопределенность также можно проиллюстрировать на примере частицы с определенно измеренным импульсом, для которой должен существовать фундаментальный предел того, насколько точно можно указать ее местоположение. Этот принцип квантовой неопределенности можно выразить через другие переменные, например, частица с определенно измеренной энергией имеет фундаментальный предел того, насколько точно можно указать, как долго она будет обладать этой энергией. Единицы, участвующие в квантовой неопределенности, имеют порядок постоянной Планка (определяемой как6,62607015 × 10-34  Дж⋅Гц ^{- 1 [3} ] ) .

Неопределенность и неполнота

Квантовая неопределенность — это утверждение, что состояние системы не определяет уникальный набор значений для всех ее измеримых свойств. Действительно, согласно теореме Кохена-Спкера , в квантовомеханическом формализме невозможно, чтобы для данного квантового состояния каждое из этих измеримых свойств ( наблюдаемых ) имело определенное (точное) значение. Значения наблюдаемой будут получены недетерминированно в соответствии с распределением вероятностей, которое однозначно определяется состоянием системы. Обратите внимание, что состояние уничтожается при измерении, поэтому, когда мы обращаемся к коллекции значений, каждое измеренное значение в этой коллекции должно быть получено с использованием только что подготовленного состояния.

Эту неопределенность можно рассматривать как своего рода существенную неполноту в нашем описании физической системы. Однако обратите внимание, что указанная выше неопределенность применима только к значениям измерений, а не к квантовому состоянию. Например, в рассмотренном выше примере со спином 1/2 система может быть подготовлена ​​в состоянии ψ, используя измерение σ ₁ в качестве фильтра , который удерживает только те частицы, такие, что σ ₁ дает +1. По постулатам фон Неймана (так называемым) сразу после измерения система заведомо находится в состоянии ψ.

Однако Эйнштейн считал, что квантовое состояние не может быть полным описанием физической системы, и, как принято считать, никогда не соглашался с квантовой механикой. Фактически, Эйнштейн, Борис Подольский и Натан Розен показали, что если квантовая механика верна, то классический взгляд на то, как устроен реальный мир (по крайней мере, после специальной теории относительности) больше несостоятелен. Эта точка зрения включала следующие две идеи:

1. Измеримое свойство физической системы, значение которого можно с уверенностью предсказать, на самом деле является элементом (локальной) реальности (это была терминология, используемая ЭПР ).
2. Эффекты локальных воздействий имеют конечную скорость распространения.

Этот провал классической точки зрения стал одним из выводов мысленного эксперимента ЭПР , в котором два удаленных наблюдателя , которых сейчас обычно называют Алисой и Бобом , выполняют независимые измерения спина пары электронов, подготовленных в источнике в специальной установке. состояние, называемое спин-синглетным состоянием. ЭПР, используя формальный аппарат квантовой теории, пришел к выводу, что, как только Алиса измерила спин в направлении x , измерение Боба в направлении x было определено с уверенностью, тогда как непосредственно перед измерением Алисы результат Боба был определен только статистически. Отсюда следует, что либо значение вращения в направлении x не является элементом реальности, либо эффект измерения Алисы имеет бесконечную скорость распространения.

Неопределенность для смешанных состояний

Мы описали неопределенность для квантовой системы, находящейся в чистом состоянии . Смешанные состояния — это более общий вид состояний, получаемый путем статистической смеси чистых состояний. Для смешанных состояний «квантовый рецепт» определения распределения вероятностей измерения определяется следующим образом:

Пусть A — наблюдаемая квантовомеханической системы. A задается плотно определенным самосопряженным оператором на H . Спектральная мера A — это проекционнозначная мера, определяемая условием

${\displaystyle \operatorname {E} _{A}(U)=\int _{U}\lambda \,d\operatorname {E} (\lambda ),}$

для любого борелевского подмножества U в R . Учитывая смешанное состояние S , мы вводим распределение A под S следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {D} _{A}(U)=\operatorname {Tr} (\operatorname {E} _{A}(U)S).}$

Это вероятностная мера, определенная на борелевских подмножествах R , которая представляет собой распределение вероятностей, полученное путем измерения A в S .

Логическая независимость и квантовая случайность

Квантовая неопределенность часто понимается как информация (или ее отсутствие), о существовании которой мы предполагаем, происходящая в отдельных квантовых системах до начала измерения. Квантовая случайность — это статистическое проявление этой неопределенности, наблюдаемое в результатах многократно повторенных экспериментов. Однако связь между квантовой неопределенностью и случайностью тонка и может рассматриваться по-разному. ^[4]

В классической физике случайные эксперименты, такие как бросание монеты и игральных костей, являются детерминистическими в том смысле, что совершенное знание начальных условий сделает результаты совершенно предсказуемыми. «Случайность» возникает из-за незнания физической информации при первоначальном броске. Напротив, в случае квантовой физики теоремы Кохена и Спекера [5], неравенства ^Джона Белла ^[6] и экспериментальные данные Алена Аспекта ^{[7] [8]} все указывают на то, что квантовая случайность не вытекают из любой такой физической информации .

В 2008 году Томаш Патерек и др. дал объяснение в математической информации . Они доказали, что квантовая случайность — это исключительно результат измерительных экспериментов, входные параметры которых вводят логическую независимость в квантовые системы. ^{[9] [10]}

Логическая независимость — широко известное явление в математической логике . Это относится к нулевой логической связи, которая существует между математическими утверждениями (на одном и том же языке), которые не доказывают и не опровергают друг друга. ^[11]

В работе Патерека и др. исследователи демонстрируют связь, соединяющую квантовую случайность и логическую независимость в формальной системе булевых высказываний. В экспериментах по измерению поляризации фотонов Патерек и др. продемонстрировать статистику, соотносящую предсказуемые результаты с логически зависимыми математическими утверждениями, а случайные результаты с логически независимыми утверждениями. ^{[12] [13]}

В 2020 году Стив Фолкнер сообщил о работе по реализации результатов Томаша Патерека и др.; показывая, что означает логическая независимость в булевых предложениях Патерека в области собственно матричной механики. Он показал, как неопределенность неопределенности возникает в эволюционировавших операторах плотности, представляющих смешанные состояния, где процессы измерения сталкиваются с необратимой «потерянной историей» и появлением неоднозначности. ^[14]

Смотрите также

• Физический портал

• Принцип неопределенности
• Квантовая механика
• Квантовая запутанность
• Дополнительность (физика)
• Интерпретации квантовой механики : Сравнительная таблица
• Квантовые измерения
• Квантовая контекстуальность
• Контрфактическая определенность
• ЭПР-парадокс

Примечания

1. В. Брагинский и Ф. Халили, Квантовые измерения , издательство Кембриджского университета, 1992.
2. Дж. С. Белл, Выразимое и невыразимое в квантовой механике , Cambridge University Press, 2004, стр. 5.
3. «Значение CODATA 2018: постоянная Планка» . Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности . НИСТ . 20 мая 2019 года . Проверено 28 апреля 2021 г.
4. Грегг Джегер, «Квантовая случайность и непредсказуемость», Философские труды Лондонского королевского общества A doi/10.1002/prop.201600053 (2016)|Online=http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/prop.201600053/ электронный PDF PDF
5. С. Кохен и Э. П. Спекер, Проблема скрытых переменных в квантовой механике , Журнал математики и механики 17 (1967), 59–87.
6. Джон Белл, О парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена , Physics 1 (1964), 195–200.
7. Ален Аспект, Жан Далибар и Жерар Роже, Экспериментальная проверка неравенств Белла с использованием анализаторов, изменяющихся во времени , Physical Revue Letters 49 (1982), вып. 25, 1804–1807.
8. Ален Аспект, Филипп Гранжье и Жерар Роже, Экспериментальная реализация мысленного эксперимента Эйнштейна-Подольского-Розена-Бома: новое нарушение неравенств Белла , Physical Review Letters 49 (1982), вып. 2, 91–94.
9. Томаш Патерек, Йоханнес Кофлер, Роберт Преведель, Питер Климек, Маркус Аспельмейер, Антон Цайлингер и Часлав Брукнер, «Логическая независимость и квантовая случайность», New Journal of Physics 12 (2010), вып. 013019, 1367–2630.
10. Томаш Патерек, Йоханнес Кофлер, Роберт Преведель, Питер Климек, Маркус Аспельмейер, Антон Цайлингер и Часлав Брукнер, «Логическая независимость и квантовая случайность - с экспериментальными данными», https://arxiv.org/pdf/0811.4542.pdf (2010). ).
11. Эдвард Рассел Стейблер, Введение в математическую мысль , Addison-Wesley Publishing Company Inc., Ридинг, Массачусетс, США, 1948.
12. Томаш Патерек, Йоханнес Кофлер, Роберт Преведель, Питер Климек, Маркус Аспельмейер, Антон Цайлингер и Часлав Брукнер, «Логическая независимость и квантовая случайность», New Journal of Physics 12 (2010), вып. 013019, 1367–2630.
13. Томаш Патерек, Йоханнес Кофлер, Роберт Преведель, Питер Климек, Маркус Аспельмейер, Антон Цайлингер и Часлав Брукнер, «Логическая независимость и квантовая случайность - с экспериментальными данными», https://arxiv.org/pdf/0811.4542.pdf (2010). ).
14. Стив Фолкнер, Основной механизм квантовой неопределенности (2020). [1]

Рекомендации

• А. Аспект, Тест неравенства Белла: идеальнее, чем когда-либо , Nature 398 189 (1999). [2]
• Г. Бергманн, Логика квантов , Американский физический журнал, 1947. Перепечатано в «Чтениях по философии науки», под ред. Х. Фейгл и М. Бродбек, Appleton-Century-Crofts, 1953. Обсуждаются измерения, точность и детерминизм.
• Дж. С. Белл, О парадоксе Эйнштейна-Полдольского-Розена , Physics 1 195 (1964).
• А. Эйнштейн, Б. Подольский и Н. Розен. Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным? Физ. 47 777 (1935) . [3] Архивировано 8 февраля 2006 г. в Wayback Machine.
• Г. Макки, Математические основы квантовой механики , В.А. Бенджамин, 1963 (переиздание в мягкой обложке, Dover, 2004).
• Дж. фон Нейман, Математические основы квантовой механики , Princeton University Press, 1955. Перепечатано в мягкой обложке. Первоначально опубликовано на немецком языке в 1932 году.
• Р. Омнес, Понимание квантовой механики , Princeton University Press, 1999.

Внешние ссылки

• Распространенные заблуждения относительно квантовой механики. См. особенно часть III «Заблуждения относительно измерений».