Индуцированная метрика

В математике и теоретической физике индуцированная метрика — это метрический тензор, определенный на подмногообразии , которое индуцируется из метрического тензора на многообразии , в которое вложено подмногообразие, посредством обратного копирования . ^[1] Она может быть определена с помощью следующей формулы (используя соглашение Эйнштейна о суммировании ), которая является компонентной формой операции обратного копирования: ^[2]

${\displaystyle g_{ab}=\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }g_{\mu \nu }\ }$

Здесь описывают индексы координат подмногообразия, а функции кодируют вложение в многообразие большей размерности, касательные индексы которого обозначены , . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \xi ^{a}}$ ${\displaystyle X^{\mu }(\xi ^{a})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

Пример – кривая в 3D

Позволять

${\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {C}}\to \mathbb {R} ^{3},\ \tau \mapsto {\begin{cases}{\begin{aligned}x^{1}&=(a+b\cos(n\cdot \tau ))\cos(m\cdot \tau )\\x^{2}&=(a+b\cos(n\cdot \tau ))\sin(m\cdot \tau )\\x^{3}&=b\sin(n\cdot \tau ).\end{aligned}}\end{cases}}}$

будет отображением из области кривой с параметром в евклидово многообразие . Здесь константы. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle a,b,m,n\in \mathbb {R} }$

Тогда есть метрика, заданная как ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle g=\sum \limits _{\mu ,\nu }g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\otimes \mathrm {d} x^{\nu }\quad {\text{with}}\quad g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$.

и мы вычисляем

${\displaystyle g_{\tau \tau }=\sum \limits _{\mu ,\nu }{\frac {\partial x^{\mu }}{\partial \tau }}{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial \tau }}\underbrace {g_{\mu \nu }} _{\delta _{\mu \nu }}=\sum \limits _{\mu }\left({\frac {\partial x^{\mu }}{\partial \tau }}\right)^{2}=m^{2}a^{2}+2m^{2}ab\cos(n\cdot \tau )+m^{2}b^{2}\cos ^{2}(n\cdot \tau )+b^{2}n^{2}}$

Поэтому ${\displaystyle g_{\mathcal {C}}=(m^{2}a^{2}+2m^{2}ab\cos(n\cdot \tau )+m^{2}b^{2}\cos ^{2}(n\cdot \tau )+b^{2}n^{2})\,\mathrm {d} \tau \otimes \mathrm {d} \tau }$

Смотрите также

• Первая фундаментальная форма

Ссылки

1. Ли, Джон М. (2006-04-06). Римановы многообразия: введение в кривизну. Graduate Texts in Mathematics . Springer Science & Business Media. стр. 25–27. ISBN 978-0-387-22726-9. OCLC  704424444.
2. Пуассон, Эрик (2004). Инструментарий релятивиста . Cambridge University Press. стр. 62. ISBN 978-0-521-83091-1.