Индуцированное представление

В теории групп индуцированное представление — это представление группы G $,$ которое строится с использованием известного представления подгруппы $H.$ Учитывая представление $H$ , индуцированное представление является в некотором смысле «наиболее общим» представлением $G$ , расширяющим данное. Поскольку зачастую легче найти представления меньшей группы $H$ , чем $G$ , операция формирования индуцированных представлений является важным инструментом для построения новых представлений .

Индуцированные представления были первоначально определены Фробениусом для линейных представлений конечных групп . Идея ни в коем случае не ограничивается случаем конечных групп, но теория в этом случае ведет себя особенно хорошо.

Конструкции

алгебраический

Пусть $G$ — конечная группа и $H —$ любая подгруппа из $G.$ Кроме того , пусть $(π, V)$ — представление $H.$ Пусть $n = [G : H]$ — индекс H в $G$ $,$ и пусть $g$ $1$ $,...,$ $g$ $n$ — полный набор представителей в $G$ левых смежных классов в $G$ $/$ $H$ . Индуцированное представление $Ind$ $Г Х π$ можно рассматривать как действующее в следующем пространстве:

W=\bigoplus _{i=1}^{n}g_{i}V.

Здесь каждый $g i V$ является изоморфной копией векторного пространства V , элементы которого записываются как $g i v$ с $v \in V$ . Для каждого g в $G$ и каждого g _i существует h _i в $H$ и j ( i ) в {1, ..., n } такие, что $g g i = g j (i) h i$ . (Это просто еще один способ сказать, что $g 1, ..., g n$ — полный набор представителей.) Через индуцированное представление $G$ действует на $W$ следующим образом:

{\ displaystyle g \ cdot \ sum _ {i = 1} ^ {n} g_ {i} v_ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} g_ {j (i)} \ pi (h_ {я})v_{я}}

где для каждого i . $v_{i}\in V$

В качестве альтернативы можно построить индуцированные представления путем расширения скаляров : любое K- линейное представление группы H можно рассматривать как модуль V над групповым кольцом K [ H ]. Затем мы можем определить $\pi$

\operatorname {Ind} _{H}^{G} \pi =K[G]\otimes _{K[H]}V.

Эту последнюю формулу можно также использовать для определения $Ind Г Х π$ для любой группы $G$ и подгруппы $H$ без требования какой-либо конечности.^[1]

Примеры

Для любой группы индуцированное представление тривиального представления тривиальной подгруппы является правым регулярным представлением . В более общем смысле, индуцированное представление тривиального представления любой подгруппы - это представление перестановки на смежных классах этой подгруппы.

Индуцированное представление одномерного представления называется мономиальным представлением , поскольку оно может быть представлено в виде мономиальных матриц . Некоторые группы обладают тем свойством, что все их неприводимые представления мономиальны, — это так называемые мономиальные группы .

Характеристики

Если $H$ — подгруппа группы $G$ , то каждое $K$ -линейное представление $ρ$ группы $G$ можно рассматривать как $K$ -линейное представление группы $H$ ; это известно как ограничение ρ на $H$ и обозначается $Res(ρ$ $)$ . В случае конечных групп и конечномерных представлений теорема взаимности Фробениуса утверждает, что для данных представлений $σ$ группы $H$ и $ρ$ группы $G$ пространство $H$ - эквивариантных линейных отображений из $σ$ в $Res($ $ρ$ $)$ имеет одинаковую размерность над K. как и у $G$ -эквивариантных линейных отображений из $Ind($ $σ$ $)$ в $ρ$ . ^[2]

Универсальное свойство индуцированного представления, справедливое и для бесконечных групп, эквивалентно присоединению, утверждаемому в теореме взаимности. Если является представлением H и является представлением G $,$ индуцированным , то существует $H$ -эквивариантное линейное отображение со следующим свойством: для любого представления $(ρ,$ $W$ $)$ G и $H$ -эквивариантного линейного отображения существует единственное $G$ -эквивариантное линейное отображение с . Другими словами, это единственное отображение, благодаря которому следующая диаграмма коммутирует : ^[3] $(\sigma,V)$ $(\operatorname {Ind} (\sigma), {\hat {V}})$ ${\ displaystyle \ сигма }$ $j:V\to {\hat {V}}$ $f:V\to W$ ${\hat {f}}: {\hat {V}}\to W$ ${\hat {f}}j = f$ ${\шляпа {f}}$

Формула Фробениуса утверждает, что если $χ$ является характером представления $σ$ , заданным выражением $χ (h) = Tr σ (h)$ , то характер $ψ$ индуцированного представления определяется выражением

\psi (g)=\sum _{x\in G/H} {\widehat {\chi }}\left (x^{-1}gx\right),

где сумма берется по системе представителей левых классов класса $H$ в $G$ и

{\widehat {\chi }}(k)={\begin{cases}\chi (k) & {\text{if }}k\in H\\0& {\text{иначе}}\end {случаи}}

Аналитический

Если $G$ — локально компактная топологическая группа (возможно, бесконечная) и $H$ — замкнутая подгруппа , то существует общая аналитическая конструкция индуцированного представления. Пусть $(π, V)$ — непрерывное унитарное представление $H$ в гильбертовом пространстве V. Затем мы можем позволить:

\operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\ :\ \phi (gh^{-1})=\pi (h) \phi (g){\text{ для всех }}h\in H,\;g\in G{\text{ и }}\ \phi \in L^{2}(G/H)\right\} .

Здесь $φε L 2 (G / H)$ означает: пространство G / H несет подходящую инвариантную меру, и поскольку норма $φ(g)$ постоянна на каждом левом смежном классе H , мы можем проинтегрировать квадрат этих норм по G / H и получим конечный результат. Группа $G$ действует на индуцированном пространстве представления путем сдвига, то есть $(g .φ)(x)=φ(g -1 x)$ для g,x ∈ G и $φاInd Г Х π$ .

Эту конструкцию часто модифицируют различными способами в соответствии с необходимыми приложениями. Распространенная версия называется нормализованной индукцией и обычно использует те же обозначения. Определение пространства представления следующее:

\operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\ :\ \phi (gh^{-1})=\Delta _{G }^{-{\frac {1}{2}}}(h)\Delta _{H}^{\frac {1}{2}}(h)\pi (h)\phi (g){\ text{ и }}\phi \in L^{2}(G/H)\right\}.

Здесь $∆G, ∆H —$ модулярные функции G $и$ H $соответственно$ . С добавлением нормализующих множителей этот функтор индукции переводит унитарные представления в унитарные представления.

Еще один вариант индукции называется компактной индукцией . Это просто стандартная индукция, ограниченная функциями с компактным носителем . Формально он обозначается ind и определяется как:

\operatorname {ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\ :\ \phi (gh^{-1})=\pi (h)\phi (g){\text{ and }}\phi {\text{ has compact support mod }}H\right\}.

Заметим, что если $G / H$ компактна, то Ind и ind — один и тот же функтор.

Геометрический

Предположим, $G$ — топологическая группа , а $H$ — замкнутая подгруппа в $G.$ Также предположим, что $π$ — представление $H$ над векторным пространством $V$ . Тогда $G$ действует на произведение $G \times V$ следующим образом:

g.(g',x)=(gg',x)

где $g$ и $g'$ — элементы $G$ , а $x$ — элемент $V$ .

Определим на $G \times V$ отношение эквивалентности

(g,x)\sim (gh,\pi (h^{-1})(x)){\text{ for all }}h\in H.

Обозначим класс эквивалентности через . Заметим, что это отношение эквивалентности инвариантно относительно действия $G$ ; следовательно, $G$ действует на $($ $G$ $\times$ $V$ $)/~$ . Последнее представляет собой векторное расслоение над факторпространством $G$ $/$ $H$ с $H$ в качестве структурной группы и $V$ в качестве слоя. Пусть $W$ — пространство сечений этого векторного расслоения. Это векторное пространство, лежащее в основе индуцированного представления $Ind$ $(g,x)$ $[g,x]$ $\phi :G/H\to (G\times V)/\!\sim$ $Г Х π$ . Группа $G$ действует на участке, заданномследующим образом: $\phi :G/H\to {\mathcal {L}}_{W}$ $gH\mapsto [g,\phi _{g}]$

(g\cdot \phi )(g'H)=[g',\phi _{g^{-1}g'}]\ {\text{ for }}g,g'\in G.

Системы импримитивности

В случае унитарных представлений локально компактных групп конструкция индукции может быть сформулирована в терминах систем импримитивности .

Теория лжи

В теории Ли чрезвычайно важным примером является параболическая индукция : индуцирование представлений редуктивной группы из представлений ее параболических подгрупп . Через философию параболических форм это приводит к программе Ленглендса .

Смотрите также

Примечания

^ Браун, Когомологии групп, III.5
^ Серр, Жан-Пьер (1926–1977). Линейные представления конечных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0387901906. ОСЛК 2202385.
^ Thm. 2.1 от Миллера, Элисон. «Математика 221: заметки по алгебре, 20 ноября». Архивировано из оригинала 01 августа 2018 г. Проверено 01 августа 2018 г.