Постоянство числа

Свойство числа

В математике постоянство числа — это количество раз, которое необходимо применить данную операцию к целому числу , прежде чем будет достигнута фиксированная точка , в которой операция больше не изменяет число.

Обычно это предполагает аддитивное или мультипликативное сохранение неотрицательного целого числа, то есть как часто приходится заменять число суммой или произведением его цифр, пока не будет достигнута одна цифра. Поскольку числа разбиваются на свои цифры, аддитивная или мультипликативная инерционность зависит от системы счисления . В оставшейся части этой статьи предполагается десятичное основание .

Однозначное конечное состояние, достигнутое в процессе вычисления аддитивной устойчивости целого числа, является его цифровым корнем . Другими словами, аддитивная устойчивость числа подсчитывает, сколько раз мы должны суммировать его цифры , чтобы получить его цифровой корень.

Примеры

Аддитивная инерционность числа 2718 равна 2: сначала мы обнаруживаем, что 2 + 7 + 1 + 8 = 18, а затем 1 + 8 = 9. Мультипликативная инерционность числа 39 равна 3, поскольку требуется три шага, чтобы свести 39 к одному. цифра: 39 → 27 → 14 → 4. Также 39 — это наименьшее число мультипликативной персистентности 3.

Наименьшие числа заданной мультипликативной персистентности

Считается, что в базе 10 нет чисел с мультипликативной стойкостью больше 11; известно, что это верно для чисел до 2,67×10 ³⁰⁰⁰⁰ . ^{[1] [2]} Наименьшие числа с постоянством 0, 1, 2, ...:

0, 10, 25, 39, 77, 679, 6788, 68889, 2677889, 26888999, 3778888999, 277777788888899. (последовательность A003001 в OEIS )

Поиск этих чисел можно ускорить, если использовать дополнительные свойства десятичных цифр этих рекордных чисел. Эти цифры должны быть в порядке возрастания (за исключением второго числа, 10), и – за исключением первых двух цифр – все цифры должны быть 7, 8 или 9. Существуют также дополнительные ограничения на первые две цифры. Основываясь на этих ограничениях, количество кандидатов на n -значные числа с рекордной стойкостью пропорционально только квадрату n , что составляет крошечную долю всех возможных n -значных чисел. Однако любое число, отсутствующее в приведенной выше последовательности , будет иметь мультипликативную устойчивость > 11; Считается, что таких чисел не существует, и, если они действительно существуют, они должны содержать более 20 000 цифр. ^[1]

Свойства аддитивной стойкости

• Аддитивная устойчивость числа меньше или равна самому числу, причем равенство наблюдается только тогда, когда число равно нулю.
• Для базовых и натуральных чисел числа и имеют одинаковую аддитивную инерционность. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n>9}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\cdot b^{k}}$

Дополнительную информацию об аддитивной устойчивости числа можно найти здесь.

Наименьшие числа заданной аддитивной стойкости

Аддитивная инерционность числа, однако, может стать сколь угодно большой ( доказательство : для данного числа инерционность числа, состоящего из повторений цифры 1, на 1 выше, чем у ). Наименьшие числа аддитивной стойкости 0, 1, 2,...: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

0, 10, 19, 199, 19999999999999999999999, ... (последовательность A006050 в OEIS )

Следующее число в последовательности (наименьшее число аддитивной стойкости 5) равно 2 × 10 ^{2 × (10 22  − 1)/9}  − 1 (то есть за 1 следуют 2222222222222222222222 девятки). Для любой фиксированной базы сумма цифр числа не более чем пропорциональна его логарифму ; следовательно, аддитивная инерционность не более чем пропорциональна повторному логарифму , а наименьшее число данной аддитивной инерционности растет тетрационно .

Функции с ограниченным постоянством

Некоторые функции допускают сохранение только до определенной степени.

Например, функция, которая принимает минимальную цифру, допускает только постоянство 0 или 1, поскольку вы либо начинаете с однозначного числа, либо переходите к нему.

Рекомендации

1. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003001». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
2. Эрик В. Вайсштейн. «Мультипликативная персистентность». mathworld.wolfram.com .

Литература

• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . стр. 398–399. ISBN 978-0-387-20860-2. Збл  1058.11001.
• Меймарис, Антониос (2015). Об аддитивном постоянстве числа по основанию p. Препринт.