Интеграл Березина

Интеграция для переменных Грассмана

В математической физике интеграл Березина , названный в честь Феликса Березина (также известный как интеграл Грассмана , в честь Германа Грассмана ), является способом определения интегрирования для функций грассмановых переменных (элементов внешней алгебры ). Это не интеграл в смысле Лебега ; слово «интеграл» используется потому, что интеграл Березина имеет свойства, аналогичные интегралу Лебега, и потому, что он расширяет интеграл по траекториям в физике, где он используется как сумма по историям для фермионов .

Определение

Пусть — внешняя алгебра многочленов от антикоммутирующих элементов над полем комплексных чисел. (Порядок генераторов фиксирован и определяет ориентацию внешней алгебры.) ${\displaystyle \Lambda ^{n}}$ ${\displaystyle \theta _{1},\dots ,\theta _{n}}$ ${\displaystyle \theta _{1},\dots ,\theta _{n}}$

Одна переменная

Интеграл Березина по единственной переменной Грассмана определяется как линейный функционал ${\displaystyle \theta =\theta _{1}}$

${\displaystyle \int [af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int f(\theta )\,d\theta +b\int g(\theta )\,d\theta ,\quad a,b\in \mathbb {C} }$

где мы определяем

${\displaystyle \int \theta \,d\theta =1,\qquad \int \,d\theta =0}$

так что :

${\displaystyle \int {\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\,d\theta =0.}$

Эти свойства определяют интеграл однозначно и подразумевают

${\displaystyle \int (a\theta +b)\,d\theta =a,\quad a,b\in \mathbb {C} .}$

Обратите внимание, что это наиболее общая функция, поскольку переменные Грассмана имеют квадрат, равный нулю, поэтому не могут иметь ненулевых членов, выходящих за пределы линейного порядка. ${\displaystyle f(\theta )=a\theta +b}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle f(\theta )}$

Множественные переменные

Интеграл Березина на определяется как единственный линейный функционал со следующими свойствами: ${\displaystyle \Lambda ^{n}}$ ${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\cdot {\textrm {d}}\theta }$

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\theta _{n}\cdots \theta _{1}\,\mathrm {d} \theta =1,}$

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}{\frac {\partial f}{\partial \theta _{i}}}\,\mathrm {d} \theta =0,\ i=1,\dots ,n}$

для любого где означает левую или правую частную производную. Эти свойства определяют интеграл однозначно. ${\displaystyle f\in \Lambda ^{n},}$ ${\displaystyle \partial /\partial \theta _{i}}$

Обратите внимание, что в литературе существуют различные соглашения: некоторые авторы определяют вместо этого ^[1]

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\theta _{1}\cdots \theta _{n}\,\mathrm {d} \theta :=1.}$

Формула

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}f(\theta )\,\mathrm {d} \theta =\int _{\Lambda ^{1}}\left(\cdots \int _{\Lambda ^{1}}\left(\int _{\Lambda ^{1}}f(\theta )\,\mathrm {d} \theta _{1}\right)\,\mathrm {d} \theta _{2}\cdots \right)\mathrm {d} \theta _{n}}$

выражает закон Фубини. С правой стороны внутренний интеграл монома устанавливается равным , где ; интеграл от равен нулю. Интеграл по вычисляется аналогичным образом и так далее. ${\displaystyle f=g(\theta ')\theta _{1}}$ ${\displaystyle g(\theta '),}$ ${\displaystyle \theta '=\left(\theta _{2},\ldots ,\theta _{n}\right)}$ ${\displaystyle f=g(\theta ')}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$

Изменение переменных Грассмана

Пусть — нечетные многочлены от некоторых антисимметричных переменных . Якобиан — это матрица ${\displaystyle \theta _{i}=\theta _{i}\left(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}\right),\ i=1,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle \xi _{1},\ldots ,\xi _{n}}$

${\displaystyle D=\left\{{\frac {\partial \theta _{i}}{\partial \xi _{j}}},\ i,j=1,\ldots ,n\right\},}$

где относится к правой производной ( ). Формула для изменения координат имеет вид ${\displaystyle \partial /\partial \xi _{j}}$ ${\displaystyle \partial (\theta _{1}\theta _{2})/\partial \theta _{2}=\theta _{1},\;\partial (\theta _{1}\theta _{2})/\partial \theta _{1}=-\theta _{2}}$

${\displaystyle \int f(\theta )\,\mathrm {d} \theta =\int f(\theta (\xi ))(\det D)^{-1}\,\mathrm {d} \xi .}$

Интегрирование четных и нечетных переменных

Определение

Рассмотрим теперь алгебру функций действительных коммутирующих переменных и антикоммутирующих переменных (которая называется свободной супералгеброй размерности ). Интуитивно, функция является функцией m четных (бозонных, коммутирующих) переменных и n нечетных (фермионных, антикоммутирующих) переменных. Более формально, элемент является функцией аргумента , который изменяется в открытом множестве со значениями в алгебре Предположим, что эта функция непрерывна и исчезает в дополнении компактного множества Интеграл Березина — это число ${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}}$ ${\displaystyle x=x_{1},\ldots ,x_{m}}$ ${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{n}}$ ${\displaystyle (m|n)}$ ${\displaystyle f=f(x,\theta )\in \Lambda ^{m\mid n}}$ ${\displaystyle f=f(x,\theta )\in \Lambda ^{m\mid n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{n}.}$ ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{m}.}$

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{m}}\,\mathrm {d} x\int _{\Lambda ^{n}}f(x,\theta )\,\mathrm {d} \theta .}$

Изменение четных и нечетных переменных

Пусть преобразование координат задано выражением, где — четные и — нечетные многочлены от четных переменных. Матрица Якоби этого преобразования имеет блочную форму: ${\displaystyle x_{i}=x_{i}(y,\xi ),\ i=1,\ldots ,m;\ \theta _{j}=\theta _{j}(y,\xi ),j=1,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \theta _{j}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle y.}$

${\displaystyle \mathrm {J} ={\frac {\partial (x,\theta )}{\partial (y,\xi )}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},}$

где каждая четная производная коммутирует со всеми элементами алгебры ; нечетные производные коммутируют с четными элементами и антикоммутируют с нечетными элементами. Элементы диагональных блоков и являются четными, а элементы недиагональных блоков являются нечетными функциями, где снова означают правые производные . ${\displaystyle \partial /\partial y_{j}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}}$ ${\displaystyle A=\partial x/\partial y}$ ${\displaystyle D=\partial \theta /\partial \xi }$ ${\displaystyle B=\partial x/\partial \xi ,\ C=\partial \theta /\partial y}$ ${\displaystyle \partial /\partial \xi _{j}}$

Когда функция обратима в ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n},}$

${\displaystyle \mathrm {J} ={\frac {\partial (x,\theta )}{\partial (y,\xi )}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I&B\\0&D\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A-BD^{-1}C&0\\D^{-1}C&I\end{pmatrix}}}$

Итак, у нас есть березиниан (или супердетерминант ) матрицы , которая является четной функцией ${\displaystyle \mathrm {J} }$

${\displaystyle \operatorname {Ber} \mathrm {J} =\det \left(A-BD^{-1}C\right)(\det D)^{-1}}$

Предположим, что действительные функции определяют гладкое обратимое отображение открытых множеств в и линейная часть отображения обратима для каждого Общий закон преобразования для интеграла Березина имеет вид ${\displaystyle x_{i}=x_{i}(y,0)}$ ${\displaystyle F:Y\to X}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \xi \mapsto \theta =\theta (y,\xi )}$ ${\displaystyle y\in Y.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} x=\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon \operatorname {Ber} \mathrm {J} \,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} y\\[6pt]={}&\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon {\frac {\det \left(A-BD^{-1}C\right)}{\det D}}\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} y,\end{aligned}}}$

где ) — знак ориентации отображения. Суперпозиция определяется очевидным образом, если функции не зависят от В общем случае запишем, где — четные нильпотентные элементы и положим ${\displaystyle \varepsilon =\mathrm {sgn} (\det \partial x(y,0)/\partial y}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))}$ ${\displaystyle x_{i}(y,\xi )}$ ${\displaystyle \xi .}$ ${\displaystyle x_{i}(y,\xi )=x_{i}(y,0)+\delta _{i},}$ ${\displaystyle \delta _{i},i=1,\ldots ,m}$ ${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}}$

${\displaystyle f(x(y,\xi ),\theta )=f(x(y,0),\theta )+\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x(y,0),\theta )\delta _{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x(y,0),\theta )\delta _{i}\delta _{j}+\cdots ,}$

где ряд Тейлора конечен.

Полезные формулы

Следующие формулы для гауссовых интегралов часто используются в формулировке интеграла по траекториям квантовой теории поля :

• ${\displaystyle \int \exp \left[-\theta ^{T}A\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det A}$

будучи сложной матрицей. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$

• ${\displaystyle \int \exp \left[-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{T}M\theta \right]\,d\theta ={\begin{cases}\mathrm {Pf} \,M&n{\mbox{ even}}\\0&n{\mbox{ odd}}\end{cases}}}$

причем является комплексной кососимметричной матрицей и является пфаффианом , что удовлетворяет условию . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathrm {Pf} \,M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (\mathrm {Pf} \,M)^{2}=\det M}$

В приведенных выше формулах используется обозначение . Из этих формул следуют другие полезные формулы (см. Приложение А в ^[2] ): ${\displaystyle d\theta =d\theta _{1}\cdots \,d\theta _{n}}$

• ${\displaystyle \int \exp \left[\theta ^{T}A\eta +\theta ^{T}J+K^{T}\eta \right]\,d\eta _{1}\,d\theta _{1}\dots d\eta _{n}d\theta _{n}=\det A\,\,\exp[-K^{T}A^{-1}J]}$

с обратимой матрицей. Обратите внимание, что все эти интегралы имеют форму функции распределения . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$

История

Интеграл Березина, вероятно, был впервые представлен Дэвидом Джоном Кэндлином в 1956 году. ^[3] Позднее он был независимо открыт Феликсом Березиным в 1966 году. ^[4]

К сожалению, статья Кэндлина не привлекла внимания и была предана забвению. Работа Березина стала широко известна и цитировалась почти повсеместно, ^{[сноска 1]} став незаменимым инструментом для рассмотрения квантовой теории поля фермионов с помощью функционального интеграла.

В эти разработки внесли свой вклад и другие авторы, в том числе физики Халатников ^[9] (хотя его статья содержит ошибки), Мэтьюз и Салам ^[10] и Мартин ^{[11] .}

Смотрите также

• Супермногообразие
• Березинский

Сноска

1. Например, многие известные учебники по квантовой теории поля цитируют Березина. ^{[5] [6] [7]} Исключением был Стэнли Мандельштам, который, как говорят, имел обыкновение цитировать работу Кэндлина. ^[8]

Ссылки

1. Зеркальная симметрия . Хори, Кентаро. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. 2003. стр. 155. ISBN 0-8218-2955-6. OCLC  52374327.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
2. S. Caracciolo, AD Sokal и A. Sportiello, Алгебраические/комбинаторные доказательства тождеств типа Кэли для производных определителей и пфаффианов, Advances in Applied Mathematics, том 50, выпуск 4, 2013, https://doi.org/10.1016/j.aam.2012.12.001; https://arxiv.org/abs/1105.6270
3. DJ Candlin (1956). «О суммах по траекториям для систем со статистикой Ферми». Nuovo Cimento . 4 (2): 231–239. Bibcode : 1956NCim....4..231C. doi : 10.1007/BF02745446. S2CID  122333001.
4. А. Березин, Метод вторичного квантования , Academic Press, (1966)
5. Ициксон, Клод; Зубер, Жан Бернар (1980). Квантовая теория поля . McGraw-Hill International Book Co. Глава 9, Примечания. ISBN 0070320713.
6. Пескин, Майкл Эдвард; Шредер, Дэниел В. (1995). Введение в квантовую теорию поля . Чтение: Эддисон-Уэсли. Раздел 9.5.
7. Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей . Том 1. Cambridge University Press. Глава 9, Библиография. ISBN 0521550017.
8. Рон Маймон (2012-06-04). «Что случилось с Дэвидом Джоном Кэндлином?». physics.stackexchange.com . Получено 2024-04-08 .
9. Халатников, ИМ (1955). "Представление функций Грина в квантовой электродинамике в форме континуальных интегралов" (PDF) . Журнал экспериментальной и теоретической физики (на русском языке). 28 (3): 633. Архивировано из оригинала (PDF) 2021-04-19 . Получено 2019-06-23 .
10. Мэтьюз, ПТ; Салам, А. (1955). «Пропагаторы квантованного поля». Il Nuovo Cimento . 2 (1). Springer Science and Business Media LLC: 120–134. Bibcode : 1955NCimS...2..120M. doi : 10.1007/bf02856011. ISSN  0029-6341. S2CID  120719536.
11. Мартин, Дж. Л. (23 июня 1959 г.). «Принцип Фейнмана для системы Ферми». Труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки . 251 (1267). Королевское общество: 543–549. Bibcode : 1959RSPSA.251..543M. doi : 10.1098/rspa.1959.0127. ISSN  2053-9169. S2CID  123545904.

Дальнейшее чтение

• Теодор Воронов: Геометрическая теория интегрирования на супермногообразиях , Harwood Academic Publisher, ISBN 3-7186-5199-8 
• Березин, Феликс Александрович: Введение в суперанализ , Springer Netherlands, ISBN 978-90-277-1668-2