Функциональная интеграция

Интеграция по пространству функций

Функциональное интегрирование — это совокупность результатов в математике и физике , где областью интеграла является уже не область пространства, а пространство функций . Функциональные интегралы возникают в теории вероятностей , при изучении уравнений с частными производными и в подходе интеграла по траекториям к квантовой механике частиц и полей.

В обычном интеграле (в смысле интегрирования Лебега ) есть функция, которую нужно проинтегрировать (интегральное выражение), и область пространства, по которой нужно проинтегрировать функцию (область интегрирования). Процесс интегрирования состоит из сложения значений подынтегральной функции для каждой точки области интегрирования. Чтобы сделать эту процедуру строгой, требуется ограничивающая процедура, в которой область интегрирования делится на все меньшие и меньшие области. Для каждой малой области значение подынтегральной функции не может сильно меняться, поэтому его можно заменить одним значением. В функциональном интеграле область интегрирования представляет собой пространство функций. Для каждой функции подынтегральная функция возвращает значение для сложения. Сделать эту процедуру строгой ставит задачи, которые продолжают оставаться темами текущих исследований.

Функциональное интегрирование было разработано Перси Джоном Даниэллом в статье 1919 года ^[1] и Норбертом Винером в серии исследований, завершившихся его статьями 1921 года о броуновском движении . Они разработали строгий метод (теперь известный как мера Винера ) для назначения вероятности случайному пути частицы. Ричард Фейнман разработал другой функциональный интеграл, интеграл по траектории , полезный для вычисления квантовых свойств систем. В интеграле по траектории Фейнмана классическое понятие уникальной траектории для частицы заменяется бесконечной суммой классических путей, каждый из которых весится по-разному в соответствии с его классическими свойствами.

Функциональное интегрирование является центральным для методов квантования в теоретической физике. Алгебраические свойства функциональных интегралов используются для разработки рядов, используемых для вычисления свойств в квантовой электродинамике и стандартной модели физики элементарных частиц.

Функциональная интеграция

В то время как стандартное интегрирование Римана суммирует функцию f ( x ) по непрерывному диапазону значений x , функциональное интегрирование суммирует функционал G [ f ], который можно рассматривать как «функцию функции» по непрерывному диапазону (или пространству) функций f . Большинство функциональных интегралов не могут быть вычислены точно, но должны быть вычислены с использованием методов возмущения . Формальное определение функционального интеграла таково: $${\displaystyle \int G[f]\;{\mathcal {D}}[f]\equiv \int _{\mathbb {R} }\cdots \int _{\mathbb {R} }G[f]\prod _{x}df(x)\;.}$$

Однако в большинстве случаев функции f ( x ) можно записать в виде бесконечного ряда ортогональных функций, таких как , и тогда определение принимает вид ${\displaystyle f(x)=f_{n}H_{n}(x)}$ $${\displaystyle \int G[f]\;{\mathcal {D}}[f]\equiv \int _{\mathbb {R} }\cdots \int _{\mathbb {R} }G(f_{1};f_{2};\ldots )\prod _{n}df_{n}\;,}$$

что немного более понятно. Интеграл показан как функциональный интеграл с заглавной буквы . Иногда аргумент записывается в квадратных скобках , чтобы указать на функциональную зависимость функции в мере функционального интегрирования. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}[f]}$

Примеры

Большинство функциональных интегралов на самом деле бесконечны, но часто предел частного двух связанных функциональных интегралов все еще может быть конечным. Функциональные интегралы, которые можно оценить точно, обычно начинаются со следующего гауссовского интеграла :

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left[\int _{\mathbb {R} }f(x)K(x;y)f(y)\,dy+J(x)f(x)\right]dx\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}{\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}}=\exp \left\lbrace {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}J(x)\cdot K^{-1}(x;y)\cdot J(y)\,dx\,dy\right\rbrace \,,}$

в котором . Функционально дифференцируя это по J ( x ) и затем приравнивая к 0, это становится экспонентой, умноженной на моном от f . Чтобы увидеть это, давайте используем следующие обозначения: ${\displaystyle K(x;y)=K(y;x)}$

${\displaystyle G[f,J]=-{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left[\int _{\mathbb {R} }f(x)K(x;y)f(y)\,dy+J(x)f(x)\right]dx\,\quad ,\quad W[J]=\int \exp \lbrace G[f,J]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;.}$

С этими обозначениями первое уравнение можно записать как:

${\displaystyle {\dfrac {W[J]}{W[0]}}=\exp \left\lbrace {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}J(x)K^{-1}(x;y)J(y)\,dx\,dy\right\rbrace .}$

Теперь, взяв функциональные производные за определение и затем оценив в , получаем: ${\displaystyle W[J]}$ ${\displaystyle J=0}$

${\displaystyle {\dfrac {\delta }{\delta J(a)}}W[J]{\Bigg |}_{J=0}=\int f(a)\exp \lbrace G[f,0]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;,}$

${\displaystyle {\dfrac {\delta ^{2}W[J]}{\delta J(a)\delta J(b)}}{\Bigg |}_{J=0}=\int f(a)f(b)\exp \lbrace G[f,0]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;,}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \vdots }$

что является ожидаемым результатом. Более того, используя первое уравнение, приходим к полезному результату:

${\displaystyle {\dfrac {\delta ^{2}}{\delta J(a)\delta J(b)}}\left({\dfrac {W[J]}{W[0]}}\right){\Bigg |}_{J=0}=K^{-1}(a;b)\;;}$

Объединяя эти результаты и возвращаясь к исходной записи, имеем:

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int f(a)f(b)\exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}{\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}}=K^{-1}(a;b)\,.}$

Другим полезным интегралом является функциональная дельта-функция :

${\displaystyle \int \exp \left\lbrace \int _{\mathbb {R} }f(x)g(x)dx\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]=\delta [g]=\prod _{x}\delta {\big (}g(x){\big )},}$

что полезно для указания ограничений. Функциональные интегралы также можно выполнять по грассмановозначным функциям , где , что полезно в квантовой электродинамике для вычислений с участием фермионов . ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \psi (x)\psi (y)=-\psi (y)\psi (x)}$

Подходы к траекторным интегралам

Функциональные интегралы, где пространство интегрирования состоит из путей ( ν = 1), могут быть определены многими различными способами. Определения делятся на два разных класса: конструкции, выведенные из теории Винера, дают интеграл, основанный на мере , тогда как конструкции, следующие за интегралом по путям Фейнмана, не дают. Даже в пределах этих двух широких разделов интегралы не идентичны, то есть они определяются по-разному для разных классов функций.

Интеграл Винера

В интеграле Винера вероятность присваивается классу траекторий броуновского движения . Класс состоит из траекторий w , которые, как известно, проходят через небольшую область пространства в заданное время. Прохождение через различные области пространства предполагается независимым друг от друга, а расстояние между любыми двумя точками броуновского пути предполагается распределенным по Гауссу с дисперсией , зависящей от времени t и от константы диффузии D :

${\displaystyle \Pr {\big (}w(s+t),t\mid w(s),s{\big )}={\frac {1}{\sqrt {2\pi Dt}}}\exp \left(-{\frac {\|w(s+t)-w(s)\|^{2}}{2Dt}}\right).}$

Вероятность для класса путей может быть найдена путем умножения вероятностей начала в одном регионе и последующего нахождения в следующем. Мера Винера может быть разработана путем рассмотрения предела многих малых регионов.

• Исчисление Ито и Стратоновича

Интеграл Фейнмана

• Формула Троттера, или формула произведения Ли .
• Идея Каца о вращениях Вика.
• Используя x-точка-точка-квадрат или i S[x] + x-точка-квадрат.
• Cartier DeWitt–Morette полагается на интеграторов, а не на меры

Интеграл Леви

• Дробная квантовая механика
• Дробное уравнение Шредингера
• Процесс Леви
• Дробная статистическая механика

Смотрите также

• Интеграл пути Фейнмана
• Статистическая сумма (квантовая теория поля)
• Приближение седловой точки

Ссылки

1. Daniell, PJ (июль 1919). «Интегралы в бесконечном числе измерений». Анналы математики . Вторая серия. 20 (4): 281–288. doi :10.2307/1967122. JSTOR  1967122.

Дальнейшее чтение

• Жан Зинн-Жюстен (2009), Scholarpedia 4(2):8674.
• Кляйнерт, Хаген , Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , 4-е издание, World Scientific (Сингапур, 2004); Мягкая обложка ISBN 981-238-107-4 (также доступно онлайн: PDF-файлы) 
• Ласкин, Ник (2000). «Дробная квантовая механика». Physical Review E. 62 ( 3): 3135–3145. arXiv : 0811.1769 . Bibcode : 2000PhRvE..62.3135L. doi : 10.1103/PhysRevE.62.3135. PMID  11088808. S2CID  15480739.
• Ласкин, Ник (2002). "Дробное уравнение Шредингера". Physical Review E. 66 ( 5): 056108. arXiv : quant-ph/0206098 . Bibcode : 2002PhRvE..66e6108L. doi : 10.1103/PhysRevE.66.056108. PMID  12513557. S2CID  7520956.
• Минлос, РА (2001) [1994], «Интеграл по траекториям», Энциклопедия математики , EMS Press
• Смолянов О. Г., Шавгулидзе Э. Т. Континуальные интегралы . М.: Изд-во МГУ, 1990. http://lib.mexmat.ru/books/5132
• Виктор Попов , Функциональные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике, Springer 1983
• Серджио Альбеверио , Соня Маццукки, Единый подход к бесконечномерной интеграции, Обзоры по математической физике, 28, 1650005 (2016)