Сингулярный интеграл

В математике сингулярные интегралы занимают центральное место в гармоническом анализе и тесно связаны с изучением уравнений в частных производных. В широком смысле сингулярный интеграл — это интегральный оператор

${\displaystyle T(f)(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy,}$

чья ядерная функция K  : Rn × Rn ^→  R  сингулярна ^вдоль диагонали x  =  y . В частности, особенность такова, что | К ( Икс ,  у )| имеет размер | х  -  у | ^{− n} асимптотически при | х  -  у | → 0. Поскольку такие интегралы, вообще говоря, не могут быть абсолютно интегрируемыми, строгое определение должно определять их как предел интеграла по | у  -  х | > ε при ε → 0, но на практике это формальность. Обычно для получения таких результатов ^, как их ограниченность на Lp ( Rn ), ^{требуются} дополнительные предположения .

Преобразование Гильберта

Типичным сингулярным интегральным оператором является преобразование Гильберта H. Это задается сверткой против ядра K ( x ) = 1/(π x ) для x в R . Точнее,

${\displaystyle H(f)(x)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|x-y|>\varepsilon }{\frac {1}{x-y}}f(y)\,dy.}$

Наиболее простыми аналогами более высоких размерностей являются преобразования Рисса , которые заменяют K ( x ) = 1/ x на

${\displaystyle K_{i}(x)={\frac {x_{i}}{|x|^{n+1}}}}$

где i = 1, ..., n и является i -й компонентой x в R ⁿ . Все эти операторы ограничены в L ^p и удовлетворяют оценкам слабого типа (1, 1). ^[1] ${\displaystyle x_{i}}$

Сингулярные интегралы типа свертки

Сингулярный интеграл типа свертки — это оператор T , определенный сверткой с ядром K , локально интегрируемым на R ⁿ \{0} в том смысле, что

Предположим, что ядро ​​удовлетворяет:

1. Условие размера преобразования Фурье K​

   ${\displaystyle {\hat {K}}\in L^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})}$

2. Условие гладкости : для некоторого C  > 0

   ${\displaystyle \sup _{y\neq 0}\int _{|x|>2|y|}|K(x-y)-K(x)|\,dx\leq C.}$

Тогда можно показать, что T ограничено на L ^p ( R ⁿ ) и удовлетворяет оценке слабого типа (1, 1).

Свойство 1. необходимо для того, чтобы свертка ( 1 ) с умеренным распределением pv  K , заданным интегралом главного значения

${\displaystyle \operatorname {p.v.} \,\,K[\phi ]=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\epsilon }\phi (x)K(x)\,dx}$

является корректно определенным множителем Фурье на L ² . Ни одно из свойств 1 или 2 не обязательно легко проверить, и существует множество достаточных условий. Обычно в приложениях также есть условие отмены .

${\displaystyle \int _{R_{1}<|x|<R_{2}}K(x)\,dx=0,\ \forall R_{1},R_{2}>0}$

что довольно легко проверить. Это происходит автоматически, например, если K — нечетная функция . Если, кроме того, принять 2. и следующее условие размера

${\displaystyle \sup _{R>0}\int _{R<|x|<2R}|K(x)|\,dx\leq C,}$

тогда можно показать, что 1. следует.

Условие гладкости 2. также зачастую принципиально трудно проверить, можно использовать следующее достаточное условие ядра К :

• ${\displaystyle K\in C^{1}(\mathbf {R} ^{n}\setminus \{0\})}$
• ${\displaystyle |\nabla K(x)|\leq {\frac {C}{|x|^{n+1}}}}$

Обратите внимание, что эти условия выполняются для преобразований Гильберта и Рисса, поэтому этот результат является расширением этого результата. ^[2]

Сингулярные интегралы несверточного типа

Это еще более общие операторы. Однако, поскольку наши предположения настолько слабы, не обязательно, чтобы эти операторы были ограничены в L ^p .

Ядра Кальдерона – Зигмунда

Функция K  : Rn × Rn ^→ R называется ядром Кальдерона – Зигмунда, ^если она удовлетворяет следующим условиям для некоторых констант C >  0 и δ  > 0. ^[2]

1. ${\displaystyle |K(x,y)|\leq {\frac {C}{|x-y|^{n}}}}$

2. ${\displaystyle |K(x,y)-K(x',y)|\leq {\frac {C|x-x'|^{\delta }}{{\bigl (}|x-y|+|x'-y|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ whenever }}|x-x'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (}|x-y|,|x'-y|{\bigr )}}$

3. ${\displaystyle |K(x,y)-K(x,y')|\leq {\frac {C|y-y'|^{\delta }}{{\bigl (}|x-y|+|x-y'|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ whenever }}|y-y'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (}|x-y'|,|x-y|{\bigr )}}$

Сингулярные интегралы несверточного типа

T называется сингулярным интегральным оператором типа несвертки, ассоциированным с ядром Кальдерона–Зигмунда K , если

${\displaystyle \int g(x)T(f)(x)\,dx=\iint g(x)K(x,y)f(y)\,dy\,dx,}$

всякий раз, когда f и g гладкие и имеют непересекающуюся поддержку. ^[2] Такие операторы не обязательно должны быть ограничены на L ^p

Операторы Кальдерона – Зигмунда

Сингулярный интеграл типа несвертки T , ассоциированный с ядром Кальдерона–Зигмунда K , называется оператором Кальдерона–Зигмунда, ^если он ограничен на L2 , т. е. существует C  > 0 такой, что

${\displaystyle \|T(f)\|_{L^{2}}\leq C\|f\|_{L^{2}},}$

для всех гладких компактно закрепленных ƒ.

Можно доказать, что такие операторы на самом деле также ограничены на всех L ^p , где 1 <  p  < ∞.

Теорема Т ( б )

Теорема T ( b ) обеспечивает достаточные условия для того, чтобы сингулярный интегральный оператор был оператором Кальдерона–Зигмунда, то есть для того, чтобы сингулярный интегральный оператор, связанный с ядром Кальдерона–Зигмунда, был ограничен на L ² . Чтобы сформулировать результат, мы должны сначала определить некоторые термины.

Нормализованный выступ — это гладкая функция φ на R ⁿ , закрепленная в шаре радиуса 1 с центром в начале координат такая, что | ∂ ^α  φ ( Икс )| ≤ 1, для всех мультииндексов | α | ≤  n  + 2. Обозначим через τ ^x ( φ )( y ) =  φ ( y  −  x ) и φ _r ( x ) =  r ^{− n} φ ( x / r ) для всех x в R ⁿ и r  > 0. An Оператор называется слабо ограниченным, если существует константа C такая, что

${\displaystyle \left|\int T{\bigl (}\tau ^{x}(\varphi _{r}){\bigr )}(y)\tau ^{x}(\psi _{r})(y)\,dy\right|\leq Cr^{-n}}$

для всех нормализованных неровностей φ и ψ . Функция называется аккретивной, если существует константа c  > 0 такая, что Re( b )( x ) ≥  c для всех x в R . Обозначим через M _b оператор, заданный умножением на функцию b .

Теорема T ( b ) утверждает _, что сингулярный интегральный оператор T , ассоциированный с ядром Кальдерона–Зигмунда _, ограничен на L2 ^, если он удовлетворяет всем следующим трем условиям для некоторых ограниченных аккретивных функций b1 и b2 : ^[3]

1. ${\displaystyle M_{b_{2}}TM_{b_{1}}}$слабо ограничен;
2. ${\displaystyle T(b_{1})}$находится в БМО ;
3. ${\displaystyle T^{t}(b_{2}),}$находится в BMO , где T ^t — оператор транспонирования  T.

Смотрите также

• Сингулярные интегральные операторы на замкнутых кривых

Примечания

1. Штейн, Элиас (1993). «Гармонический анализ». Издательство Принстонского университета.
2. Grafakos, Лукас (2004), «7», Классический и современный анализ Фурье , Нью-Джерси: Pearson Education, Inc.
3. Дэвид; Семмес; Журне (1985). «Операторы Кальдерона – Зигмунда, функции пара-аккретивы и интерполяция» (на французском языке). Том. 1. Ибероамериканская математическая версия. стр. 1–56.

Рекомендации

• Кальдерон, AP ; Зигмунд, А. (1952), «О существовании некоторых сингулярных интегралов», Acta Mathematica , 88 (1): 85–139, doi : 10.1007/BF02392130 , ISSN  0001-5962, MR  0052553, Zbl  0047.10201.
• Кальдерон, AP ; Зигмунд, А. (1956), «О сингулярных интегралах», American Journal of Mathematics , 78 (2), The Johns Hopkins University Press: 289–309, doi : 10.2307/2372517, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372517, MR  0084633 , Збл  0072.11501.
• Койфман, Рональд ; Мейер, Ив (1997), Вейвлеты: Кальдерон-Зигмунд и полилинейные операторы , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 48, Издательство Кембриджского университета, стр. xx+315, ISBN 0-521-42001-6, МР  1456993, Збл  0916.42023.
• Михлин, Соломон Григорьевич (1948), "Сингулярные интегральные уравнения", УМН , 3 (25): 29–112, МР  0027429(на русском ).
• Михлин, Соломон Г. (1965), Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения , Международная серия монографий по чистой и прикладной математике, том. 83, Оксфорд – Лондон – Эдинбург – Нью-Йорк – Париж – Франкфурт : Pergamon Press , стр. XII+255, MR  0185399, Zbl  0129.07701.
• Михлин Соломон Георгиевич ; Прессдорф, Зигфрид (1986), Сингулярные интегральные операторы, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк : Springer Verlag , с. 528, ISBN 0-387-15967-3, МР  0867687, Збл  0612.47024, (Европейское издание: ISBN 3-540-15967-3 ). 
• Стейн, Элиас (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций, Princeton Mathematical Series, vol. 30, Принстон, Нью-Джерси : Princeton University Press , стр. XIV + 287, ISBN. 0-691-08079-8, МР  0290095, Збл  0207.13501

Внешние ссылки

• Штейн, Элиас М. (октябрь 1998 г.). «Особые интегралы: роли Кальдерона и Зигмунда» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 45 (9): 1130–1140.