Функциональная интеграция

Интегрирование по пространству функций

Функциональная интеграция — это совокупность результатов в математике и физике , в которых областью определения интеграла является уже не область пространства, а пространство функций . Функциональные интегралы возникают в теории вероятности , при изучении уравнений в частных производных и в подходе интеграла по путям к квантовой механике частиц и полей.

В обычном интеграле (в смысле интегрирования Лебега ) существует функция, которую нужно интегрировать (подынтегральная функция), и область пространства, по которой можно интегрировать функцию (область интегрирования). Процесс интегрирования состоит из сложения значений подынтегрального выражения для каждой точки области интегрирования. Чтобы сделать эту процедуру строгой, необходима ограничительная процедура, при которой область интегрирования делится на все более мелкие области. Для каждой небольшой области значение подынтегральной функции не может сильно различаться, поэтому его можно заменить одним значением. В функциональном интеграле областью интегрирования является пространство функций. Для каждой функции подынтегральная функция возвращает значение для сложения. Обеспечение строгости этой процедуры создает проблемы, которые продолжают оставаться темой текущих исследований.

Функциональная интеграция была разработана Перси Джоном Дэниелом в статье 1919 года ^[1] и Норбертом Винером в серии исследований, кульминацией которых стали его статьи 1921 года о броуновском движении . Они разработали строгий метод (теперь известный как мера Винера ) для определения вероятности случайного пути частицы. Ричард Фейнман разработал еще один функциональный интеграл, интеграл по путям , полезный для вычисления квантовых свойств систем. В интеграле по путям Фейнмана классическое понятие уникальной траектории частицы заменяется бесконечной суммой классических путей, каждый из которых имеет разный вес в соответствии со своими классическими свойствами.

Функциональная интеграция занимает центральное место в методах квантования в теоретической физике. Алгебраические свойства функциональных интегралов используются для построения рядов, используемых для расчета свойств в квантовой электродинамике и стандартной модели физики элементарных частиц.

Функциональная интеграция

В то время как стандартное интегрирование Римана суммирует функцию f ( x ) в непрерывном диапазоне значений x , функциональное интегрирование суммирует функционал G [ f ], который можно рассматривать как «функцию функции» в непрерывном диапазоне (или пространстве ) функций f . Большинство функциональных интегралов не могут быть вычислены точно, их необходимо вычислять с использованием методов возмущений . Формальное определение функционального интеграла:

$${\displaystyle \int G[f]\;{\mathcal {D}}[f]\equiv \int _{\mathbb {R} }\cdots \int _{\mathbb {R} }G[f]\prod _{x}df(x)\;.}$$

Однако в большинстве случаев функции f ( x ) можно записать в виде бесконечной серии ортогональных функций, таких как , и тогда определение становится ${\displaystyle f(x)=f_{n}H_{n}(x)}$

$${\displaystyle \int G[f]\;{\mathcal {D}}[f]\equiv \int _{\mathbb {R} }\cdots \int _{\mathbb {R} }G(f_{1};f_{2};\ldots )\prod _{n}df_{n}\;,}$$

что немного более понятно. Показано, что интеграл является функциональным интегралом с большой буквы . Иногда аргумент записывают в квадратных скобках , чтобы указать функциональную зависимость функции от меры функционального интегрирования. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}[f]}$

Примеры

Большинство функциональных интегралов на самом деле бесконечны, но часто предел фактора двух связанных функциональных интегралов все же может быть конечным. Функциональные интегралы, которые можно вычислить точно, обычно начинаются со следующего интеграла Гаусса :

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left[\int _{\mathbb {R} }f(x)K(x;y)f(y)\,dy+J(x)f(x)\right]dx\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}{\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}}=\exp \left\lbrace {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}J(x)\cdot K^{-1}(x;y)\cdot J(y)\,dx\,dy\right\rbrace \,,}$

в котором . Функционально дифференцируя это по J ( x ), а затем присваивая 0, это становится экспонентой, умноженной на моном от f . Чтобы убедиться в этом, воспользуемся следующими обозначениями: ${\displaystyle K(x;y)=K(y;x)}$

${\displaystyle G[f,J]=-{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left[\int _{\mathbb {R} }f(x)K(x;y)f(y)\,dy+J(x)f(x)\right]dx\,\quad ,\quad W[J]=\int \exp \lbrace G[f,J]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;.}$

С такими обозначениями первое уравнение можно записать как:

${\displaystyle {\dfrac {W[J]}{W[0]}}=\exp \left\lbrace {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}J(x)K^{-1}(x;y)J(y)\,dx\,dy\right\rbrace .}$

Теперь, принимая функциональные производные к определению и затем оценивая в , получаем: ${\displaystyle W[J]}$ ${\displaystyle J=0}$

${\displaystyle {\dfrac {\delta }{\delta J(a)}}W[J]{\Bigg |}_{J=0}=\int f(a)\exp \lbrace G[f,0]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;,}$

${\displaystyle {\dfrac {\delta ^{2}W[J]}{\delta J(a)\delta J(b)}}{\Bigg |}_{J=0}=\int f(a)f(b)\exp \lbrace G[f,0]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;,}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \vdots }$

какой результат ожидается. Более того, используя первое уравнение, можно прийти к полезному результату:

${\displaystyle {\dfrac {\delta ^{2}}{\delta J(a)\delta J(b)}}\left({\dfrac {W[J]}{W[0]}}\right){\Bigg |}_{J=0}=K^{-1}(a;b)\;;}$

Объединив эти результаты и вернув исходные обозначения, мы имеем:

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int f(a)f(b)\exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}{\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}}=K^{-1}(a;b)\,.}$

Еще одним полезным интегралом является функциональная дельта-функция :

${\displaystyle \int \exp \left\lbrace \int _{\mathbb {R} }f(x)g(x)dx\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]=\delta [g]=\prod _{x}\delta {\big (}g(x){\big )},}$

что полезно для указания ограничений. Функциональные интегралы также можно выполнять по функциям со значениями Грассмана , где , что полезно в квантовой электродинамике для расчетов с участием фермионов . ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \psi (x)\psi (y)=-\psi (y)\psi (x)}$

Подходы к интегралам по траекториям

Функциональные интегралы, в которых пространство интегрирования состоит из путей ( ν = 1), можно определить разными способами. Определения делятся на два разных класса: конструкции, полученные из теории Винера, дают интеграл, основанный на мере , тогда как конструкции, следующие за интегралом по путям Фейнмана, этого не делают. Даже внутри этих двух широких разделов интегралы не идентичны, то есть они определяются по-разному для разных классов функций.

Интеграл Винера

В интеграле Винера вероятность присваивается классу траекторий броуновского движения . Класс состоит из путей w , которые, как известно, проходят через небольшую область пространства в данный момент времени. Прохождение через разные области пространства предполагается независимым друг от друга, а расстояние между любыми двумя точками броуновского пути предполагается распределенным по Гауссу с дисперсией , зависящей от времени t и от константы диффузии D :

${\displaystyle \Pr {\big (}w(s+t),t\mid w(s),s{\big )}={\frac {1}{\sqrt {2\pi Dt}}}\exp \left(-{\frac {\|w(s+t)-w(s)\|^{2}}{2Dt}}\right).}$

Вероятность для класса путей можно найти, умножив вероятности начала в одном регионе, а затем попадания в следующий. Меру Винера можно разработать, рассмотрев пределы многих небольших регионов.

• Исчисление Ито и Стратоновича

Интеграл Фейнмана

• Формула Троттера, или формула произведения Ли .
• Идея Каца о вращениях Вика.
• Используя x-dot-dot-squared или i S[x] + x-dot-squared.
• Cartier DeWitt-Morette полагается на интеграторов, а не на меры.

Интеграл Леви

• Дробная квантовая механика
• Дробное уравнение Шрёдингера
• Процесс Леви
• Дробная статистическая механика

Смотрите также

• Интеграл по траектории Фейнмана
• Статистическая сумма (квантовая теория поля)
• Аппроксимация седловой точки

Рекомендации

1. Дэниел, П.Дж. (июль 1919 г.). «Интегралы в бесконечном числе измерений». Анналы математики . Вторая серия. 20 (4): 281–288. дои : 10.2307/1967122. JSTOR  1967122.

дальнейшее чтение

• Жан Зинн-Джастин (2009), Scholarpedia 4 (2): 8674.
• Кляйнерт, Хаген , Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках , 4-е издание, World Scientific (Сингапур, 2004 г.); ISBN в мягкой обложке 981-238-107-4 (также доступно онлайн: PDF-файлы) 
• Ласкин, Ник (2000). «Дробная квантовая механика». Физический обзор E . 62 (3): 3135–3145. arXiv : 0811.1769 . Бибкод : 2000PhRvE..62.3135L. дои : 10.1103/PhysRevE.62.3135. PMID  11088808. S2CID  15480739.
• Ласкин, Ник (2002). «Дробное уравнение Шрёдингера». Физический обзор E . 66 (5): 056108. arXiv : quant-ph/0206098 . Бибкод : 2002PhRvE..66e6108L. doi : 10.1103/PhysRevE.66.056108. PMID  12513557. S2CID  7520956.
• Минлос, Р.А. (2001) [1994], «Интеграл по траекториям», Математическая энциклопедия , EMS Press
• О.Г. Смолянов, Е.Т. Шавгулидзе. Континуальные интегралы . Москва: Издательство МГУ, 1990. (на русском языке). http://lib.mexmat.ru/books/5132
• Виктор Попов , Функциональные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике, Springer 1983.
• Серджио Альбеверио , Соня Маццукки, Единый подход к бесконечномерному интегрированию, Обзоры по математической физике, 28, 1650005 (2016)