В математике интегральная кривая — это параметрическая кривая , представляющая собой конкретное решение обыкновенного дифференциального уравнения или системы уравнений.
Интегральные кривые известны под различными другими названиями, в зависимости от природы и интерпретации дифференциального уравнения или векторного поля. В физике интегральные кривые для электрического поля или магнитного поля известны как линии поля , а интегральные кривые для поля скорости жидкости известны как линии тока . В динамических системах интегральные кривые для дифференциального уравнения, которое управляет системой, называются траекториями или орбитами .
Предположим, что F — статическое векторное поле , то есть векторнозначная функция с декартовыми координатами ( F 1 , F 2 ,..., F n ), и что x ( t ) — параметрическая кривая с декартовыми координатами ( x 1 ( t ), x 2 ( t ),..., x n ( t )). Тогда x ( t ) — интегральная кривая F , если она является решением автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений,
Такую систему можно записать в виде одного векторного уравнения:
Это уравнение утверждает, что вектор, касательный к кривой в любой точке x ( t ) вдоль кривой, — это в точности вектор F ( x ( t )), и поэтому кривая x ( t ) касается в каждой точке векторного поля F .
Если заданное векторное поле является липшицевым , то теорема Пикара–Линделёфа подразумевает, что существует единственный поток для малого времени.
Если дифференциальное уравнение представлено в виде векторного поля или поля наклона , то соответствующие интегральные кривые касаются поля в каждой точке.
Пусть M — банахово многообразие класса C r с r ≥ 2. Как обычно, T M обозначает касательное расслоение многообразия M с его естественной проекцией π M : T M → M , заданной формулой
Векторным полем на M называется сечение касательного расслоения T M , т. е. сопоставление каждой точке многообразия M касательного вектора к M в этой точке. Пусть X — векторное поле на M класса C r −1 и пусть p ∈ M . Интегральная кривая для X, проходящая через p в момент времени t 0 , — это кривая α : J → M класса C r −1 , определенная на открытом интервале J действительной прямой R , содержащем t 0 , такая, что
Приведенное выше определение интегральной кривой α для векторного поля X , проходящего через точку p в момент времени t 0 , равносильно утверждению, что α является локальным решением обыкновенного дифференциального уравнения/задачи начального значения
Он локален в том смысле, что определен только для времен в J , и не обязательно для всех t ≥ t 0 (не говоря уже о t ≤ t 0 ). Таким образом, проблема доказательства существования и единственности интегральных кривых та же самая, что и проблема нахождения решений обыкновенных дифференциальных уравнений/задач начального значения и демонстрация их единственности.
В приведенном выше примере α ′( t ) обозначает производную α в момент времени t , «направление, куда указывает α » в момент времени t . С более абстрактной точки зрения это производная Фреше :
В частном случае, когда M является некоторым открытым подмножеством R n , это знакомая производная
где α 1 , ..., α n — координаты для α относительно обычных направлений координат.
То же самое можно выразить еще более абстрактно в терминах индуцированных отображений . Обратите внимание, что касательное расслоение T J для J является тривиальным расслоением J × R и существует каноническое сечение ι этого расслоения такое, что ι ( t ) = 1 (или, точнее, ( t , 1) ∈ ι ) для всех t ∈ J . Кривая α индуцирует отображение расслоения α ∗ : T J → T M , так что следующая диаграмма коммутирует:
Тогда производная по времени α ′ представляет собой композицию α ′ = α ∗ o ι , а α ′( t ) — ее значение в некоторой точке t ∈ J .
