Интеграл

В математике интеграл — это непрерывный аналог суммы , который используется для вычисления площадей , объёмов и их обобщений. Интеграция, процесс вычисления интеграла, является одной из двух основных операций исчисления , ^[a] другая — дифференциация . Интеграция изначально использовалась для решения задач в математике и физике , таких как нахождение площади под кривой или определение смещения по скорости. Впоследствии использование интегрирования распространилось на широкий спектр научных областей.

Определенный интеграл вычисляет площадь области на плоскости, которая ограничена графиком заданной функции между двумя точками на действительной прямой . Традиционно площади выше горизонтальной оси плоскости положительны, а площади ниже отрицательны. Интегралы также относятся к концепции первообразной , функции, производной которой является заданная функция; в этом случае их также называют неопределенными интегралами . Основная теорема исчисления связывает определенное интегрирование с дифференцированием и предоставляет метод вычисления определенного интеграла функции, когда ее первообразная известна; дифференцирование и интегрирование являются обратными операциями.

Хотя методы вычисления площадей и объемов восходят к древнегреческой математике , принципы интегрирования были сформулированы независимо Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем в конце 17-го века, которые считали площадь под кривой бесконечной суммой прямоугольников бесконечно малой ширины. Бернхард Риман позже дал строгое определение интегралов, которое основано на предельной процедуре, которая аппроксимирует площадь криволинейной области , разбивая область на бесконечно тонкие вертикальные пластины. В начале 20-го века Анри Лебег обобщил формулировку Римана, введя то, что сейчас называется интегралом Лебега ; он более общий, чем римановский, в том смысле, что более широкий класс функций интегрируем по Лебегу.

Интегралы могут быть обобщены в зависимости от типа функции, а также области , по которой выполняется интегрирование. Например, линейный интеграл определяется для функций двух или более переменных, а интервал интегрирования заменяется кривой, соединяющей две точки в пространстве. В поверхностном интеграле кривая заменяется частью поверхности в трехмерном пространстве .

История

Интеграция перед исчислением

Первым задокументированным систематическим методом, способным определять интегралы, является метод исчерпывания древнегреческого астронома Евдокса и философа Демокрита ( ок. 370 г. до н. э.), который стремился найти площади и объемы, разбив их на бесконечное число частей, для которых площадь или объем были известны. [ ^1] Этот метод был далее развит и использован Архимедом в 3 веке до н. э. и использовался для вычисления площади круга , площади поверхности и объема сферы , площади эллипса , площади под параболой , объема сегмента параболоида вращения, объема сегмента гиперболоида вращения и площади спирали . [ ^2]

Похожий метод был независимо разработан в Китае около 3-го века нашей эры Лю Хуэем , который использовал его для нахождения площади круга. Этот метод позже был использован в 5-м веке китайскими математиками отцом и сыном Цзу Чунчжи и Цзу Гэном для нахождения объема сферы. ^[3]

На Ближнем Востоке Хасан ибн аль-Хайтам, латинизированный как Альхазен ( ок. 965 – ок. 1040 н. э.), вывел формулу для суммы четвертых степеней . ^[4] Альхазен определил уравнения для вычисления площади, заключенной в кривой, представленной (что в современной записи соответствует интегралу ), для любого заданного неотрицательного целого значения . ^[5] Он использовал результаты для выполнения того, что сейчас называется интегрированием этой функции, где формулы для сумм квадратов интегралов и четвертых степеней позволили ему вычислить объем параболоида . [ ^6] $y=x^{k}$ $\int x^{k}\,dx$ $k$

Следующие значительные достижения в интегральном исчислении не появлялись до 17 века. В это время работа Кавальери с его методом неделимых и работа Ферма начали закладывать основы современного исчисления, ^[7] при этом Кавальери вычислил интегралы $x n$ до степени $n = 9$ в квадратурной формуле Кавальери . ^[8] Случай n = −1 потребовал изобретения функции , гиперболического логарифма , достигнутого путем квадратуры гиперболы в 1647 году.

Дальнейшие шаги были сделаны в начале 17 века Барроу и Торричелли , которые дали первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием . Барроу предоставил первое доказательство фундаментальной теоремы исчисления . ^[9] Уоллис обобщил метод Кавальери, вычислив интегралы $x$ до общей степени, включая отрицательные степени и дробные степени. ^[10]

Лейбниц и Ньютон

Основной прогресс в интегрировании произошел в 17 веке с независимым открытием Лейбницем и Ньютоном основной теоремы исчисления . ^{[11] Теорема демонстрирует связь между интегрированием и дифференцированием. Эта связь, в сочетании со сравнительной простотой дифференцирования, может быть использована для вычисления интегралов. В}частности , основная теорема исчисления позволяет решать гораздо более широкий класс задач. Одинаково важна и всеобъемлющая математическая структура, которую разработали и Лейбниц, и Ньютон. Получив название исчисление бесконечно малых, оно позволило проводить точный анализ функций с непрерывными областями. Эта структура в конечном итоге стала современным исчислением , чьи обозначения для интегралов взяты непосредственно из работы Лейбница.

Формализация

Хотя Ньютон и Лейбниц предложили систематический подход к интегрированию, их работам не хватало строгости . Епископ Беркли, как известно, критиковал исчезающие приращения, используемые Ньютоном, называя их « призраками ушедших величин ». ^[12] Исчисление приобрело более прочную основу с развитием пределов . Интегрирование было впервые строго формализовано с использованием пределов Риманом . ^[13] Хотя все ограниченные кусочно -непрерывные функции интегрируемы по Риману на ограниченном интервале, впоследствии были рассмотрены более общие функции, особенно в контексте анализа Фурье , к которым определение Римана неприменимо, и Лебег сформулировал другое определение интеграла, основанное на теории меры (подразделе действительного анализа ). Были предложены другие определения интеграла, расширяющие подходы Римана и Лебега. Подходы, основанные на действительной системе чисел, являются наиболее распространенными сегодня, но существуют и альтернативные подходы, такие как определение интеграла как стандартной части бесконечной суммы Римана, основанной на гипердействительной системе чисел .

Историческая запись

Обозначение неопределенного интеграла было введено Готфридом Вильгельмом Лейбницем в 1675 году. ^[14] Он адаптировал интегральный символ , ∫ , из буквы ſ ( длинная s ), обозначающей сумму (пишется как ſumma ; на латыни «сумма» или «итого»). Современное обозначение определенного интеграла с пределами выше и ниже знака интеграла было впервые использовано Жозефом Фурье в «Записках Французской академии» около 1819–1820 годов, перепечатанных в его книге 1822 года. ^[15]

Исаак Ньютон использовал небольшую вертикальную черту над переменной для обозначения интегрирования или помещал переменную в рамку. Вертикальную черту легко было спутать с $. х$ или $x'$ , которые используются для обозначения различий, а также для печати было трудно воспроизводить обозначение в виде коробки, поэтому эти обозначения не получили широкого распространения. ^[16]

Первое использование термина

Этот термин был впервые напечатан на латыни Якобом Бернулли в 1690 году: «Ergo et horum Integralia aequantur». ^[17]

Терминология и обозначения

В общем случае интеграл действительной функции $f (x)$ по действительной переменной $x$ на интервале $[a, b]$ записывается как

\int _{a}^{b}f(x)\,dx.

Знак интеграла $\int$ представляет интегрирование. Символ $dx$ , называемый дифференциалом переменной $x$ , указывает, что переменная интегрирования — это $x$ . Функция $f (x)$ называется подынтегральным выражением, точки $a$ и $b$ называются пределами (или границами) интегрирования, а интеграл, как говорят, берется на интервале $[a, b]$ , называемом интервалом интегрирования. ^[18] Функция называется интегрируемойесли его интеграл по области определения конечен. Если пределы указаны, интеграл называется определенным интегралом.

Когда пределы опущены, как в

\int f(x)\,dx,

интеграл называется неопределенным интегралом, который представляет класс функций ( первообразная ), производная которых является подынтегральным выражением. ^[19] Основная теорема исчисления связывает оценку определенных интегралов с неопределенными интегралами. Существует несколько расширений обозначений для интегралов, чтобы охватить интегрирование в неограниченных областях и/или в нескольких измерениях (см. последующие разделы этой статьи).

В расширенных настройках не редкость опустить $dx$ , когда используется только простой интеграл Римана, или точный тип интеграла несущественен. Например, можно написать , чтобы выразить линейность интеграла, свойство, общее для интеграла Римана и всех его обобщений. ^[20] ${\textstyle \int _{a}^{b}(c_{1}f+c_{2}g)=c_{1}\int _{a}^{b}f+c_{2}\int _{a}^{b}g}$

Интерпретации

Интегралы появляются во многих практических ситуациях. Например, по длине, ширине и глубине бассейна, который является прямоугольным с плоским дном, можно определить объем воды, который он может содержать, площадь его поверхности и длину его края. Но если он овальный с закругленным дном, интегралы требуются для нахождения точных и строгих значений этих величин. В каждом случае можно разделить искомую величину на бесконечное множество бесконечно малых частей, а затем сложить части, чтобы получить точное приближение.

В качестве другого примера, чтобы найти площадь области, ограниченной графиком функции $f (x) =$ между $x$ $= 0$ и $x$ $= 1$ , можно разделить интервал на пять частей ( $0, 1/5, 2/5, ..., 1$ ), затем построить прямоугольники, используя высоту правого конца каждой части (таким образом, $\sqrt$ $0$ $,$ $\sqrt$ $1/5$ $,$ $\sqrt$ $2/5$ $, ...,$ $\sqrt$ $1$ ) и суммировать их площади, чтобы получить приближение ${\textstyle {\sqrt {x}}}$

\textstyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0.7497,

что больше точного значения. В качестве альтернативы, при замене этих подынтервалов единицами с высотой левого конца каждой части, приближение, которое получается, слишком низкое: при двенадцати таких подынтервалах приближенная площадь составляет всего 0,6203. Однако, когда количество частей увеличивается до бесконечности, оно достигнет предела, который является точным значением искомой площади (в данном случае $2/3$ ). Пишется

\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx={\frac {2}{3}},

что означает, что $2/3$ является результатом взвешенной суммы значений функции, $\sqrt x$ , умноженной на бесконечно малую ширину шага, обозначенную $dx$ , на интервале $[0, 1]$ .

суммы Дарбу

Формальные определения

Существует много способов формального определения интеграла, не все из которых эквивалентны. Различия существуют в основном для рассмотрения различных особых случаев, которые могут быть неинтегрируемыми при других определениях, но иногда и по педагогическим причинам. Наиболее часто используемые определения — это интегралы Римана и интегралы Лебега.

Интеграл Римана

Интеграл Римана определяется в терминах сумм Римана функций относительно помеченных разбиений интервала. ^[21] Помеченное разбиение замкнутого интервала $[a, b]$ на действительной прямой представляет собой конечную последовательность

a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!

Это разбивает интервал $[a, b]$ на $n$ подинтервалов $[x i -1, x i],$ индексированных $i$ , каждый из которых «помечен» определенной точкой $t i \in [x i -1, x i]$ . Риманова сумма функции $f$ относительно такого помеченного разбиения определяется как

\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i};

Таким образом, каждый член суммы представляет собой площадь прямоугольника с высотой, равной значению функции в выбранной точке заданного подынтервала, и шириной, равной ширине подынтервала, $Δ i = x i - x i -1$ . Сетка такого помеченного разбиения представляет собой ширину наибольшего подынтервала, образованного разбиением, $max i =1... n Δ i$ . Интеграл Римана функции $f$ по интервалу $[a, b]$ равен $S,$ если: ^[22]

Для всех существует такое, что для любого помеченного раздела с сеткой меньше ,

\varepsilon >0

\delta >0

[a,b]

\delta

\left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i}\right|<\varepsilon .

Когда выбранные теги представляют собой максимальное (соответственно минимальное) значение функции в каждом интервале, сумма Римана становится верхней (соответственно нижней) суммой Дарбу , что указывает на тесную связь между интегралом Римана и интегралом Дарбу .

Интеграл Лебега

Часто бывает интересно, как в теории, так и в приложениях, иметь возможность перейти к пределу под интегралом. Например, часто можно построить последовательность функций, которая аппроксимирует, в подходящем смысле, решение задачи. Тогда интеграл функции решения должен быть пределом интегралов аппроксимаций. Однако многие функции, которые могут быть получены как пределы, не являются интегрируемыми по Риману, и поэтому такие предельные теоремы не выполняются с интегралом Римана. Поэтому очень важно иметь определение интеграла, которое позволяет интегрировать более широкий класс функций. ^[23]

Таким интегралом является интеграл Лебега, который использует следующий факт для расширения класса интегрируемых функций: если значения функции переставляются по области определения, интеграл функции должен оставаться тем же самым. Таким образом, Анри Лебег ввел интеграл, носящий его имя, объяснив этот интеграл следующим образом в письме к Полю Монтелю : ^[24]

Я должен заплатить определенную сумму, которую я накопил в своем кармане. Я достаю купюры и монеты из своего кармана и отдаю их кредитору в том порядке, в котором я их нахожу, пока не достигну общей суммы. Это интеграл Римана. Но я могу поступить и по-другому. После того, как я вынул все деньги из своего кармана, я упорядочиваю купюры и монеты в соответствии с одинаковыми номиналами, а затем выплачиваю несколько кучек одну за другой кредитору. Это мой интеграл.

Как говорит Фолланд, «чтобы вычислить интеграл Римана от $f$ , нужно разбить область $[a, b]$ на подынтервалы», тогда как в интеграле Лебега «по сути, нужно разбить область значений $f$ ». ^[25] Таким образом, определение интеграла Лебега начинается с меры μ. В простейшем случае мера Лебега $μ (A)$ интервала $A = [a, b]$ — это его ширина $b - a$ , так что интеграл Лебега согласуется с (собственным) интегралом Римана, когда существуют оба. ^[26] В более сложных случаях измеряемые множества могут быть сильно фрагментированными, без непрерывности и без сходства с интервалами.

Используя философию «разбиения области значений $f$ », интеграл неотрицательной функции $f : R \to R$ должен быть суммой по $t$ площадей между тонкой горизонтальной полосой между $y = t$ и $y = t + dt$ . Эта площадь равна просто $μ {x : f (x) > t} dt$ . Пусть $f * (t) = μ {x : f (x) > t}$ . Тогда интеграл Лебега функции $f$ определяется как

\int f=\int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt

где интеграл справа является обычным несобственным интегралом Римана ( $f *$ — строго убывающая положительная функция и, следовательно, имеет хорошо определенный несобственный интеграл Римана). ^[27] Для подходящего класса функций ( измеримых функций ) это определяет интеграл Лебега.

Общая измеримая функция $f$ интегрируема по Лебегу, если сумма абсолютных значений площадей областей между графиком $f$ и осью $x$ конечна: ^[28]

\int _{E}|f|\,d\mu <+\infty .

В этом случае интеграл, как и в римановом случае, равен разности между площадью над осью $x$ и площадью под осью $x$ : ^[29]

\int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f^{+}\,d\mu -\int _{E}f^{-}\,d\mu

где

{\begin{alignedat}{3}&f^{+}(x)&&{}={}\max\{f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}f(x),&{\text{if }}f(x)>0,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\\&f^{-}(x)&&{}={}\max\{-f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}-f(x),&{\text{if }}f(x)<0,\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\end{alignedat}}

Другие интегралы

Хотя интегралы Римана и Лебега являются наиболее широко используемыми определениями интеграла, существует ряд других, в том числе:

Интеграл Дарбу , который определяется суммами Дарбу (ограниченными суммами Римана), но эквивалентен интегралу Римана . Функция интегрируема по Дарбу тогда и только тогда, когда она интегрируема по Риману. Интегралы Дарбу имеют то преимущество, что их легче определить, чем интегралы Римана.
Интеграл Римана –Стилтьеса — расширение интеграла Римана, которое интегрируется по функции, а не по переменной.
Интеграл Лебега –Стилтьеса , разработанный Иоганном Радоном , который обобщает как интеграл Римана–Стилтьеса, так и интеграл Лебега.
Интеграл Даниэля , который включает в себя интеграл Лебега и интеграл Лебега–Стилтьеса независимо от мер .
Интеграл Хаара , используемый для интегрирования на локально компактных топологических группах, был введен Альфредом Хааром в 1933 году.
Интеграл Хенстока–Курцвейля , по-разному определяемый Арно Данжуа , Оскаром Перроном и (наиболее элегантно, как калибровочный интеграл) Ярославом Курцвейлем , и разработанный Ральфом Хенстоком .
Интеграл Ито и интеграл Стратоновича , которые определяют интегрирование относительно семимартингалов, таких как броуновское движение .
Интеграл Юнга , представляющий собой разновидность интеграла Римана–Стилтьеса относительно некоторых функций неограниченной вариации .
Грубый интеграл по траектории , который определяется для функций, снабженных некоторой дополнительной структурой «грубого пути», и обобщает стохастическую интеграцию как против семимартингалов , так и против таких процессов, как дробное броуновское движение .
Интеграл Шоке — субаддитивный или супераддитивный интеграл, созданный французским математиком Гюставом Шоке в 1953 году.
Интеграл Бохнера — расширение интеграла Лебега на более общий класс функций, а именно, на функции, областью определения которых является банахово пространство .

Характеристики

Линейность

Совокупность функций, интегрируемых по Риману на замкнутом интервале $[a, b],$ образует векторное пространство относительно операций поточечного сложения и умножения на скаляр, а также операции интегрирования

f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\;dx

является линейным функционалом на этом векторном пространстве. Таким образом, набор интегрируемых функций замкнут относительно взятия линейных комбинаций , а интеграл линейной комбинации является линейной комбинацией интегралов: ^[30]

\int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.\,

Аналогично, множество вещественных -значных интегрируемых по Лебегу функций на заданном пространстве меры $E$ с мерой $μ$ замкнуто относительно взятия линейных комбинаций и, следовательно, образует векторное пространство, а интеграл Лебега

f\mapsto \int _{E}f\,d\mu

является линейным функционалом на этом векторном пространстве, так что: ^[29]

\int _{E}(\alpha f+\beta g)\,d\mu =\alpha \int _{E}f\,d\mu +\beta \int _{E}g\,d\mu .

В более общем случае рассмотрим векторное пространство всех измеримых функций на пространстве с мерой $(E, μ)$ , принимающих значения в локально компактном полном топологическом векторном пространстве $V$ над локально компактным топологическим полем $K, f : E \to V.$ Тогда можно определить абстрактное отображение интегрирования, назначающее каждой функции $f$ элемент $V$ или символ $\infty$ ,

f\mapsto \int _{E}f\,d\mu ,\,

что совместимо с линейными комбинациями. ^[31] В этой ситуации линейность имеет место для подпространства функций, интеграл которых является элементом $V$ (т.е. «конечным»). Наиболее важные особые случаи возникают, когда $K$ — это $R$ , $C$ или конечное расширение поля $Q p$ p -адических чисел , а $V$ — конечномерное векторное пространство над $K$ , и когда $K = C$ , а $V$ — комплексное гильбертово пространство .

Линейность, вместе с некоторыми естественными свойствами непрерывности и нормализацией для определенного класса «простых» функций, может быть использована для того, чтобы дать альтернативное определение интеграла. Это подход Даниэля для случая вещественнозначных функций на множестве $X$ , обобщенный Николя Бурбаки на функции со значениями в локально компактном топологическом векторном пространстве. См. Hildebrandt 1953 для аксиоматической характеристики интеграла.

Неравенства

Ряд общих неравенств справедлив для функций, интегрируемых по Риману, определенных на замкнутом и ограниченном интервале $[a, b],$ и может быть обобщен на другие понятия интеграла (Лебег и Даниэль).

Верхняя и нижняя границы. Интегрируемая функция $f$ на $[a, b]$ обязательно ограничена на этом интервале. Таким образом, существуют действительные числа $m$ и $M,$ такие что $m \leq f (x) \leq M$ для всех $x$ из $[a, b]$ . Поскольку нижняя и верхняя суммы $f$ на $[a, b]$ ограничены, соответственно, $m (b - a)$ и $M (b - a)$ , то отсюда следует, что $m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a).$
Неравенства между функциями. ^[32] Если $f (x) \leq g (x)$ для каждого $x$ из $[a, b]$ , то каждая из верхней и нижней сумм $f$ ограничена сверху верхней и нижней суммами, соответственно, $g$ . Таким образом, это обобщение приведенных выше неравенств, так как $M$ $($ $b$ $-$ $a$ $)$ является интегралом постоянной функции со значением $M$ по $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ . Кроме того, если неравенство между функциями строгое, то неравенство между интегралами также является строгим. То есть, если $f$ $($ $x$ $) <$ $g$ $($ $x$ $)$ для каждого $x$ из $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ , то $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$ $\int _{a}^{b}f(x)\,dx<\int _{a}^{b}g(x)\,dx.$
Подынтервалы. Если $[c, d]$ является подынтервалом $[a, b]$ и $f (x)$ неотрицательно для всех $x$ , то $\int _{c}^{d}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx.$
Произведения и абсолютные значения функций. Если $f$ и $g$ — две функции, то мы можем рассмотреть их поточечные произведения и степени, а также абсолютные значения : Если $f$ интегрируема по Риману на $[$ $a$ $,$ $b$ $],$ то то же самое верно для $|$ $f$ $|$ , и Более того, если $f$ и $g$ интегрируемы по Риману, то $fg$ также интегрируемо по Риману, и Это неравенство, известное как неравенство Коши–Шварца , играет важную роль в теории гильбертова пространства , где левая часть интерпретируется как внутреннее произведение двух квадратично интегрируемых функций $f$ и $g$ на интервале $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ . $(fg)(x)=f(x)g(x),\;f^{2}(x)=(f(x))^{2},\;|f|(x)=|f(x)|.$ $\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx.$ $\left(\int _{a}^{b}(fg)(x)\,dx\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\right)\left(\int _{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\right).$
Неравенство Гельдера . ^[33] Предположим, что $p$ и $q$ — два действительных числа, $1 \leq p, q \leq \infty$ с $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/п⁠ + ⁠1/д⁠ = 1$ , а $f$ и $g$ — две функции, интегрируемые по Риману. Тогда функции $| f | p$ и $| g | q$ также интегрируемы, и выполняется следующее неравенство Гёльдера :При $p$ $=$ $q$ $= 2$ неравенство Гёльдера превращается в неравенство Коши–Шварца. $\left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,dx\right)^{1/q}.$
Неравенство Минковского . ^[33] Предположим, что $p \geq 1$ — действительное число, а $f$ и $g$ — интегрируемые по Риману функции. Тогда $| f | p, | g | p$ и $| f + g | p$ также интегрируемы по Риману и справедливо следующее неравенство Минковского : Аналог этого неравенства для интеграла Лебега используется при построении пространств L p . $\left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}+\left(\int \left|g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}.$

Конвенции

В этом разделе $f$ — вещественнозначная функция, интегрируемая по Риману . Интеграл

\int _{a}^{b}f(x)\,dx

на интервале $[a, b]$ определяется, если $a < b$ . Это означает, что верхняя и нижняя суммы функции $f$ вычисляются на разбиении $a = x 0 \leq x 1 \leq . . . \leq x n = b,$ значения $x i$ которого возрастают. Геометрически это означает, что интегрирование происходит «слева направо», оценивая $f$ в интервалах $[x i, x i +1]$ , где интервал с большим индексом лежит справа от интервала с меньшим индексом. Значения $a$ и $b$ , конечные точки интервала , называются пределами интегрирования f . Интегралы также могут быть определены, если $a$ $>$ $b$ : ^[18 $]$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx.

При $a = b$ это означает:

\int _{a}^{a}f(x)\,dx=0.

Первое соглашение необходимо при рассмотрении взятия интегралов по подынтервалам $[a, b]$ ; второе соглашение гласит, что интеграл, взятый по вырожденному интервалу или точке , должен быть равен нулю . Одной из причин первого соглашения является то, что интегрируемость $f$ на интервале $[a, b]$ подразумевает, что $f$ интегрируема на любом подынтервале $[c, d]$ , но в частности интегралы обладают свойством, что если $c$ является любым элементом [ $a$ $,$ $b$ $]$ , то: ^[30 $]$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.

При первом соглашении результирующее отношение

{\begin{aligned}\int _{a}^{c}f(x)\,dx&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\int _{c}^{b}f(x)\,dx\\&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f(x)\,dx\end{aligned}}

тогда это хорошо определено для любой циклической перестановки $a$ , $b$ и $c$ .

Основная теорема исчисления

Основная теорема исчисления утверждает, что дифференцирование и интегрирование являются обратными операциями: если непрерывную функцию сначала интегрировать, а затем дифференцировать, то получается исходная функция. ^[34] Важное следствие, иногда называемое второй основной теоремой исчисления , позволяет вычислять интегралы, используя первообразную интегрируемой функции. ^[35]

Первая теорема

Пусть $f$ — непрерывная вещественная функция, определенная на замкнутом интервале $[a, b]$ . Пусть $F$ — функция, определенная для всех $x$ из $[a, b]$ по формуле ^[36]

F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.

Тогда $F$ непрерывна на $[a, b]$ , дифференцируема на открытом интервале $(a, b)$ и

F'(x)=f(x)

для всех $x$ из $(a, b)$ .

Вторая теорема

Пусть $f$ — вещественная функция, определенная на замкнутом интервале [ $a, b$ ], которая допускает первообразную $F$ на $[a, b]$ . То есть, $f$ и $F$ — функции, такие, что для всех $x$ в $[a, b]$ ,

f(x)=F'(x).

Если $f$ интегрируема на $[a, b],$ то

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).

Расширения

Несобственные интегралы

«Правильный» интеграл Римана предполагает, что подынтегральное выражение определено и конечно на замкнутом и ограниченном интервале, заключенном в скобки пределами интегрирования. Неправильный интеграл возникает, когда одно или несколько из этих условий не выполняются. В некоторых случаях такие интегралы можно определить, рассматривая предел последовательности правильных интегралов Римана на все больших интервалах.

Если интервал неограничен, например, на его верхнем конце, то несобственный интеграл является пределом, поскольку эта конечная точка стремится к бесконечности: ^[37]

\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.

Если подынтегральное выражение определено или конечно только на полуоткрытом интервале, например $(a, b]$ , то снова предел может дать конечный результат: ^[38]

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{a+\epsilon }^{b}f(x)\,dx.

То есть, несобственный интеграл является пределом собственных интегралов, когда одна из конечных точек интервала интегрирования приближается либо к указанному действительному числу , либо $к \infty$ , либо к $-\infty$ . В более сложных случаях пределы требуются в обеих конечных точках или во внутренних точках.

Множественная интеграция

Так же, как определенный интеграл положительной функции одной переменной представляет собой площадь области между графиком функции и осью x , двойной интеграл положительной функции двух переменных представляет собой объем области между поверхностью, определяемой функцией, и плоскостью, содержащей ее область определения. ^[39] Например, функция в двух измерениях зависит от двух действительных переменных x и y , а интеграл функции f по прямоугольнику R, заданному как декартово произведение двух интервалов, можно записать $R=[a,b]\times [c,d]$

\int _{R}f(x,y)\,dA

где дифференциал $dA$ указывает, что интегрирование берется по площади. Этот двойной интеграл может быть определен с использованием сумм Римана и представляет собой (знаковый) объем под графиком $z = f (x, y)$ по области R . ^[40] При подходящих условиях (например, если f непрерывна), теорема Фубини утверждает, что этот интеграл может быть выражен как эквивалентный повторный интеграл ^[41]

\int _{a}^{b}\left[\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right]\,dx.

Это сводит проблему вычисления двойного интеграла к вычислению одномерных интегралов. Из-за этого другое обозначение для интеграла по R использует знак двойного интеграла: ^[40]

\iint _{R}f(x,y)\,dA.

Интеграция по более общим областям возможна. Интеграл функции f по объему по n- мерной области D обозначается такими символами, как: $\mathbb {R} ^{n}$

\int _{D}f(\mathbf {x} )d^{n}\mathbf {x} \ =\int _{D}f\,dV.

Линейные интегралы и поверхностные интегралы

Линейный интеграл суммирует элементы вдоль кривой.

Понятие интеграла может быть распространено на более общие области интегрирования, такие как кривые линии и поверхности внутри многомерных пространств. Такие интегралы известны как линейные интегралы и поверхностные интегралы соответственно. Они имеют важные приложения в физике, например, при работе с векторными полями .

Линейный интеграл (иногда называемый интегралом по траектории ) — это интеграл, в котором интегрируемая функция вычисляется вдоль кривой . ^[42] Используются различные линейные интегралы. В случае замкнутой кривой его также называют контурным интегралом .

Интегрируемая функция может быть скалярным полем или векторным полем . Значение линейного интеграла представляет собой сумму значений поля во всех точках кривой, взвешенных некоторой скалярной функцией на кривой (обычно длиной дуги или, для векторного поля, скалярным произведением векторного поля на дифференциальный вектор на кривой). ^[43] Это взвешивание отличает линейный интеграл от более простых интегралов, определенных на интервалах . Многие простые формулы в физике имеют естественные непрерывные аналоги в терминах линейных интегралов; например, тот факт, что работа равна силе , $F$ , умноженной на смещение, $s$ , может быть выражен (в терминах векторных величин) как: ^[44]

W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} .

Для объекта, движущегося по пути $C$ в векторном поле $F,$ таком как электрическое поле или гравитационное поле , общая работа, совершаемая полем над объектом, получается путем суммирования дифференциальной работы, совершаемой при движении от $s$ до $s + d s$ . Это дает линейный интеграл ^[45]

W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} .

Поверхностный интеграл обобщает двойные интегралы до интегрирования по поверхности (которая может быть искривленным множеством в пространстве ); его можно рассматривать как двойной интегральный аналог линейного интеграла . Интегрируемая функция может быть скалярным полем или векторным полем . Значение поверхностного интеграла является суммой поля во всех точках поверхности. Этого можно достичь путем разбиения поверхности на поверхностные элементы, которые обеспечивают разбиение для сумм Римана. ^[46]

В качестве примера применения поверхностных интегралов рассмотрим векторное поле $v$ на поверхности $S$ ; то есть для каждой точки $x$ в $S$ , $v (x)$ является вектором. Представьте, что жидкость течет через $S$ , так что $v (x)$ определяет скорость жидкости в точке $x$ . Поток определяется как количество жидкости, протекающей через $S за единицу времени. Чтобы найти поток, нужно взять скалярное произведение v с единичной нормалью поверхности к S$ $в$ каждой точке , что даст скалярное $поле$ , которое интегрируется по поверхности: ^[47]

\int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }.

Поток жидкости в этом примере может быть от физической жидкости, такой как вода или воздух, или от электрического или магнитного потока. Таким образом, поверхностные интегралы имеют приложения в физике, особенно в классической теории электромагнетизма .

Контурные интегралы

В комплексном анализе подынтегральное выражение представляет собой комплексную функцию комплексной переменной $z$ вместо действительной функции действительной переменной $x$ . Когда комплексная функция интегрируется вдоль кривой в комплексной плоскости, интеграл обозначается следующим образом $\gamma$

\int _{\gamma }f(z)\,dz.

Это известно как контурный интеграл .

Интегралы дифференциальных форм

Дифференциальная форма — это математическое понятие в области многомерного исчисления , дифференциальной топологии и тензоров . Дифференциальные формы организованы по степени. Например, однократная форма — это взвешенная сумма дифференциалов координат, например:

E(x,y,z)\,dx+F(x,y,z)\,dy+G(x,y,z)\,dz

где E , F , G — функции в трех измерениях. Дифференциальная однократная форма может быть интегрирована по ориентированному пути, и полученный интеграл — это просто другой способ записи линейного интеграла. Здесь основные дифференциалы dx , dy , dz измеряют бесконечно малые ориентированные длины, параллельные трем осям координат.

Дифференциальная 2-форма представляет собой сумму вида

G(x,y,z)\,dx\wedge dy+E(x,y,z)\,dy\wedge dz+F(x,y,z)\,dz\wedge dx.

Здесь основные 2-формы измеряют ориентированные области, параллельные координатным 2-плоскостям. Символ обозначает клиновое произведение , которое похоже на векторное произведение в том смысле, что клиновое произведение двух форм, представляющих ориентированные длины, представляет ориентированную область. 2-форму можно интегрировать по ориентированной поверхности, и полученный интеграл эквивалентен поверхностному интегралу, дающему поток . $dx\wedge dy,dz\wedge dx,dy\wedge dz$ $\wedge$ $E\mathbf {i} +F\mathbf {j} +G\mathbf {k}$

В отличие от векторного произведения и трехмерного векторного исчисления, клиновое произведение и исчисление дифференциальных форм имеют смысл в произвольной размерности и на более общих многообразиях (кривых, поверхностях и их многомерных аналогах). Внешняя производная играет роль градиента и ротора векторного исчисления, а теорема Стокса одновременно обобщает три теоремы векторного исчисления: теорему о дивергенции , теорему Грина и теорему Кельвина-Стокса .

Суммирования

Дискретным эквивалентом интегрирования является суммирование . Суммирование и интегралы могут быть поставлены на одни и те же основания, используя теорию интегралов Лебега или исчисление временной шкалы .

Функциональные интегралы

Интегрирование, которое выполняется не по переменной (или, в физике, по пространственному или временному измерению), а по пространству функций , называется функциональным интегралом .

Приложения

Интегралы широко используются во многих областях. Например, в теории вероятностей интегралы используются для определения вероятности попадания некоторой случайной величины в определенный диапазон. ^[48] Более того, интеграл под всей функцией плотности вероятности должен быть равен 1, что обеспечивает проверку того, может ли функция без отрицательных значений быть функцией плотности или нет. ^[49]

Интегралы можно использовать для вычисления площади двумерной области с изогнутой границей, а также для вычисления объема трехмерного объекта с изогнутой границей. Площадь двумерной области можно вычислить с помощью вышеупомянутого определенного интеграла. ^[50] Объем трехмерного объекта, такого как диск или шайба, можно вычислить путем интегрирования диска с использованием уравнения для объема цилиндра, , где — радиус. В случае простого диска, созданного вращением кривой вокруг оси $x$ , радиус задается как $f$ $($ $x$ $)$ , а его высота — дифференциал $dx$ . Используя интеграл с границами $a$ и $b$ , объем диска равен: ^[51] Интегралы также используются в физике, в таких областях, как кинематика, для нахождения таких величин, как смещение , время и скорость . Например, при прямолинейном движении смещение объекта за интервал времени задается как $\pi r^{2}h$ $r$ $\pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx.$ $[a,b]$

x(b)-x(a)=\int _{a}^{b}v(t)\,dt,

где скорость выражена как функция времени. ^[52] Работа, совершаемая силой (заданной как функция положения) от начального положения до конечного положения, равна: ^[53] $v(t)$ $F(x)$ $A$ $B$

W_{A\rightarrow B}=\int _{A}^{B}F(x)\,dx.

Интегралы также используются в термодинамике , где термодинамическое интегрирование применяется для вычисления разницы свободной энергии между двумя заданными состояниями.

Вычисление

Аналитический

Самый простой метод вычисления определенных интегралов одной действительной переменной основан на фундаментальной теореме исчисления . Пусть $f (x)$ — функция $x$ , которую нужно проинтегрировать на заданном интервале $[a, b]$ . Затем найдите первообразную $f$ ; то есть функцию $F$ такую, что $F' = f$ на интервале. При условии, что подынтегральное выражение и интеграл не имеют особенностей на пути интегрирования, по фундаментальной теореме исчисления,

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).

Иногда необходимо использовать один из многочисленных методов, разработанных для оценки интегралов. Большинство этих методов переписывают один интеграл как другой, который, как мы надеемся, более удобен для обработки. Методы включают интегрирование путем подстановки , интегрирование по частям , интегрирование путем тригонометрической подстановки и интегрирование путем простейших дробей .

Существуют альтернативные методы вычисления более сложных интегралов. Многие неэлементарные интегралы можно разложить в ряд Тейлора и проинтегрировать почленно. Иногда полученный бесконечный ряд можно суммировать аналитически. Также можно использовать метод свертки с использованием G-функций Мейера , предполагая, что подынтегральное выражение можно записать в виде произведения G-функций Мейера. Существует также много менее распространенных способов вычисления определенных интегралов; например, тождество Парсеваля можно использовать для преобразования интеграла по прямоугольной области в бесконечную сумму. Иногда интеграл можно вычислить с помощью трюка; для примера этого см. Гауссовский интеграл .

Вычисления объемов тел вращения обычно можно выполнить с помощью интегрирования по диску или по оболочке .

Конкретные результаты, полученные с помощью различных методов, собраны в списке интегралов .

Символический

Многие задачи в математике, физике и инженерии включают интеграцию, где требуется явная формула для интеграла. Для этой цели на протяжении многих лет составлялись и публиковались обширные таблицы интегралов . С распространением компьютеров многие специалисты, преподаватели и студенты обратились к системам компьютерной алгебры , которые специально разработаны для выполнения сложных или утомительных задач, включая интеграцию. Символическая интеграция была одной из мотиваций для разработки первых таких систем, таких как Macsyma и Maple .

Основная математическая трудность в символьном интегрировании заключается в том, что во многих случаях относительно простая функция не имеет интегралов, которые могут быть выражены в замкнутой форме , включающей только элементарные функции , включая рациональные и показательные функции, логарифм , тригонометрические функции и обратные тригонометрические функции , а также операции умножения и композиции. Алгоритм Риша предоставляет общий критерий для определения того, является ли первообразная элементарной функции элементарной, и для вычисления интеграла, если она элементарна. Однако функции с замкнутыми выражениями первообразных являются исключением, и, следовательно, компьютерные алгебраические системы не имеют никакой надежды найти первообразную для случайно построенной элементарной функции. С положительной стороны, если «строительные блоки» для первообразных зафиксированы заранее, все еще может быть возможно решить, может ли первообразная данной функции быть выражена с использованием этих блоков и операций умножения и композиции, и найти символический ответ, когда он существует. Алгоритм Риша, реализованный в системах Mathematica , Maple и других системах компьютерной алгебры , делает именно это для функций и первообразных, построенных из рациональных функций, радикалов , логарифмов и показательных функций.

Некоторые специальные интегранты встречаются достаточно часто, чтобы заслуживать специального изучения. В частности, может быть полезно иметь в наборе первообразных специальные функции (такие как функции Лежандра , гипергеометрическая функция , гамма-функция , неполная гамма-функция и т. д.). Расширение алгоритма Риша для включения таких функций возможно, но является сложной задачей и является предметом активного исследования.

Совсем недавно появился новый подход, использующий D -конечные функции , которые являются решениями линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами. Большинство элементарных и специальных функций являются D -конечными, и интеграл D -конечной функции также является D -конечной функцией. Это дает алгоритм для выражения первообразной D -конечной функции как решения дифференциального уравнения. Эта теория также позволяет вычислять определенный интеграл D -функции как сумму ряда, заданного первыми коэффициентами, и дает алгоритм для вычисления любого коэффициента.

Системы интегрирования на основе правил облегчают интеграцию. Rubi, интегратор на основе правил компьютерной алгебры, сопоставляет шаблон с обширной системой правил символического интегрирования для интегрирования широкого спектра подынтегральных выражений. Эта система использует более 6600 правил интегрирования для вычисления интегралов. ^[54] Метод скобок является обобщением основной теоремы Рамануджана, которая может быть применена к широкому диапазону одномерных и многомерных интегралов. Набор правил применяется к коэффициентам и экспоненциальным членам разложения степенного ряда подынтегральной функции для определения интеграла. Этот метод тесно связан с преобразованием Меллина . ^[55]

Числовой

Определенные интегралы могут быть аппроксимированы с использованием нескольких методов численного интегрирования . Метод прямоугольников основан на делении области под функцией на ряд прямоугольников, соответствующих значениям функции, и умножении на ширину шага для нахождения суммы. Лучший подход, правило трапеций , заменяет прямоугольники, используемые в сумме Римана, трапециями. Правило трапеций взвешивает первое и последнее значения на половину, затем умножает на ширину шага для получения лучшего приближения. ^[56] Идея, лежащая в основе правила трапеций, что более точные приближения к функции дают лучшие приближения к интегралу, может быть развита дальше: правило Симпсона аппроксимирует подынтегральное выражение кусочно-квадратичной функцией. ^[57]

Сумма Римана, правило трапеций и правило Симпсона являются примерами семейства квадратурных правил, называемых формулами Ньютона–Котеса . Правило квадратуры Ньютона–Котеса степени $n$ аппроксимирует полином на каждом подынтервале полиномом степени $n$ . Этот полином выбирается для интерполяции значений функции на интервале. ^[58] Приближения Ньютона–Котеса более высокой степени могут быть более точными, но они требуют большего количества оценок функций и могут страдать от числовой неточности из-за явления Рунге . Одним из решений этой проблемы является квадратура Кленшоу–Кертиса , в которой подынтегральное выражение аппроксимируется путем его разложения по полиномам Чебышёва .

Метод Ромберга уменьшает ширину шага пополам постепенно, давая трапециевидные приближения, обозначаемые как $T (h 0)$ , $T (h 1)$ и т. д., где $h k +1$ — это половина $h k$ . Для каждого нового размера шага необходимо вычислить только половину новых значений функции; остальные переносятся из предыдущего размера. Затем он интерполирует полином через приближения и экстраполирует к $T (0)$ . Гауссов квадратурный метод оценивает функцию в корнях набора ортогональных полиномов . ^[59] Гауссовский метод $n$ точек является точным для полиномов степени до $2 n - 1$ .

Вычисление многомерных интегралов (например, вычисление объема) делает важным использование таких альтернатив, как интегрирование Монте-Карло . ^[60]

Механический

Площадь произвольной двумерной фигуры можно определить с помощью измерительного прибора, называемого планиметром . Объем нерегулярных объектов можно точно измерить по объему жидкости, вытесняемой при погружении объекта.

Геометрический

Площадь иногда можно найти с помощью геометрических построений эквивалентного квадрата с помощью циркуля и линейки .

Интеграция через дифференциацию

Кемпф, Джексон и Моралес продемонстрировали математические соотношения, которые позволяют вычислять интеграл посредством дифференцирования . Их исчисление включает в себя дельта-функцию Дирака и оператор частной производной . Это также может быть применено к функциональным интегралам , позволяя вычислять их посредством функционального дифференцирования . ^[61] $\partial _{x}$

Примеры

Используя основную теорему исчисления

Основная теорема исчисления позволяет производить простые вычисления основных функций:

\int _{0}^{\pi }\sin(x)\,dx=-\cos(x){\big |}_{x=0}^{x=\pi }=-\cos(\pi )-{\big (}-\cos(0){\big )}=2.

Смотрите также

Интегральное уравнение – Уравнения с неизвестной функцией под знаком интеграла
Символ интеграла – математический символ, используемый для обозначения интегралов и первообразных.
Списки интегралов

Примечания

^ Интегральное исчисление — очень хорошо устоявшаяся математическая дисциплина, для которой существует множество источников. См., например, Apostol 1967 и Anton, Bivens & Davis 2016.

Ссылки

^ Бертон 2011, стр. 117.
^ Хит 2002.
^ Кац 2009, стр. 201–204.
^ Кац 2009, стр. 284–285.
^ Деннис, Дэвид; Крейнович, Владик; Рамп, Зигфрид М. (1998-05-01). «Интервалы и истоки исчисления». Reliable Computing . 4 (2): 191–197. doi :10.1023/A:1009989211143. ISSN 1573-1340.
^ Кац 2009, стр. 305–306.
^ Кац 2009, стр. 516–517.
↑ Струик 1986, стр. 215–216.
^ Кац 2009, стр. 536–537.
^ Бертон 2011, стр. 385–386.
^ Стиллвелл 1989, стр. 131.
^ Кац 2009, стр. 628–629.
^ Кац 2009, стр. 785.
^ Бертон 2011, с. 414; Лейбниц 1899, с. 154.
↑ Cajori 1929, стр. 249–250; Fourier 1822, §231.
↑ Каджори 1929, стр. 246.
^ Каджори 1929, стр. 182.
^ ab Apostol 1967, стр. 74.
^ Антон, Бивенс и Дэвис 2016, стр. 259.
↑ Апостол 1967, стр. 69.
^ Антон, Бивенс и Дэвис 2016, стр. 286−287.
^ Кранц 1991, стр. 173.
^ Рудин 1987, стр. 5.
^ Зигмунд-Шульце 2008, с. 796.
^ Фолланд 1999, стр. 57–58.
^ Бурбаки 2004, стр. IV.43.
^ Либ и Лосс 2001, стр. 14.
^ Фолланд 1999, стр. 53.
^ ab Rudin 1987, стр. 25.
^ ab Apostol 1967, стр. 80.
^ Рудин 1987, стр. 54.
↑ Апостол 1967, стр. 81.
^ ab Rudin 1987, стр. 63.
↑ Апостол 1967, стр. 202.
↑ Апостол 1967, стр. 205.
^ Монтесинос, Зизлер и Зизлер 2015, с. 355.
↑ Апостол 1967, стр. 416.
↑ Апостол 1967, стр. 418.
^ Антон, Бивенс и Дэвис 2016, стр. 895.
^ аб Антон, Бивенс и Дэвис 2016, с. 896.
^ Антон, Бивенс и Дэвис 2016, стр. 897.
^ Антон, Бивенс и Дэвис 2016, стр. 980.
^ Антон, Бивенс и Дэвис 2016, стр. 981.
^ Антон, Бивенс и Дэвис 2016, стр. 697.
^ Антон, Бивенс и Дэвис 2016, стр. 991.
^ Антон, Бивенс и Дэвис 2016, стр. 1014.
^ Антон, Бивенс и Дэвис 2016, стр. 1024.
↑ Феллер 1966, стр. 1.
↑ Феллер 1966, стр. 3.
↑ Апостол 1967, стр. 88–89.
↑ Апостол 1967, стр. 111–114.
^ Антон, Бивенс и Дэвис 2016, стр. 306.
↑ Апостол 1967, стр. 116.
^ Рич, Шайбе и Аббаси 2018.
^ Гонсалес, Джиу и Молл 2020.
^ Далквист и Бьорк 2008, стр. 519–520.
^ Далквист и Бьорк 2008, стр. 522–524.
^ Каханер, Молер и Нэш 1989, стр. 144.
^ Каханер, Молер и Нэш 1989, стр. 147.
^ Каханер, Молер и Нэш 1989, стр. 139–140.
^ Кемпф, Джексон и Моралес 2015.

Библиография

Антон, Ховард; Бивенс, Ирл К.; Дэвис, Стивен (2016), Исчисление: Ранние трансцендентали (11-е изд.), John Wiley & Sons, ISBN 978-1-118-88382-2
Апостол, Том М. (1967), Исчисление, т. 1: Однопеременное исчисление с введением в линейную алгебру (2-е изд.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
Бурбаки, Николя (2004), Интеграция I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-41129-1. В частности главы III и IV.
Бертон, Дэвид М. (2011), История математики: Введение (7-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-338315-6
Каджори, Флориан (1929), История математических обозначений, том II, Open Court Publishing, ISBN 978-0-486-67766-8
Дальквист, Герман ; Бьёрк, Оке (2008), «Глава 5: Численное интегрирование», Численные методы в научных вычислениях, том I , Филадельфия: SIAM , архивировано из оригинала 15.06.2007
Феллер, Уильям (1966), Введение в теорию вероятностей и ее приложения , John Wiley & Sons
Фолланд, Джеральд Б. (1999), Реальный анализ: современные методы и их применение (2-е изд.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-31716-0
Фурье, Жан Батист Жозеф (1822), Аналитическая теория счастья, Chez Firmin Didot, père et fils, père et fils, p. §231
Доступно в переводе как Фурье, Жозеф (1878), Аналитическая теория тепла, Фримен, Александр (перевод), Cambridge University Press, стр. 200–201
Гонсалес, Иван; Джиу, Линь; Молл, Виктор Х. (1 января 2020 г.), «Расширение метода скобок. Часть 2», Open Mathematics , 18 (1): 983–995, arXiv : 1707.08942 , doi : 10.1515/math-2020-0062 , ISSN 2391-5455, S2CID 222004668
Хит, Т.Л. , ред. (2002), Труды Архимеда, Дувр, ISBN 978-0-486-42084-4
(Первоначально опубликовано издательством Кембриджского университета в 1897 году на основе греческой версии Дж. Л. Хейберга.)
Хильдебрандт, TH (1953), «Интеграция в абстрактных пространствах», Бюллетень Американского математического общества , 59 (2): 111–139, doi : 10.1090/S0002-9904-1953-09694-X , ISSN 0273-0979
Каханер, Дэвид; Молер, Клив ; Нэш, Стивен (1989), «Глава 5: Численная квадратура», Численные методы и программное обеспечение , Prentice Hall, ISBN 978-0-13-627258-8
Каллио, Брюс Виктор (1966), История определенного интеграла (PDF) (диссертация магистра), Университет Британской Колумбии, архивировано из оригинала 2014-03-05 , извлечено 2014-02-28
Кац, Виктор Дж. (2009), История математики: Введение , Addison-Wesley , ISBN 978-0-321-38700-4
Kempf, Achim; Jackson, David M.; Morales, Alejandro H. (2015), "Как интегрировать (путь-) с помощью дифференцирования", Journal of Physics: Conference Series , 626 (1), IOP Publishing : 012015, arXiv : 1507.04348 , Bibcode : 2015JPhCS.626a2015K, doi : 10.1088/1742-6596/626/1/012015, S2CID 119642596
Кранц, Стивен Г. (1991), Реальный анализ и основы, CRC Press, ISBN 0-8493-7156-2
Лейбниц, Готфрид Вильгельм (1899), Герхардт, Карл Иммануэль (ред.), Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band, Берлин: Майер и Мюллер
Либ, Эллиотт ; Лосс, Майкл (2001), Анализ , Graduate Studies in Mathematics , т. 14 (2-е изд.), Американское математическое общество , ISBN 978-0821827833
Монтесинос, Висенте; Зизлер, Питер; Зизлер, Вацлав (2015), Введение в современный анализ (иллюстрированное издание), Springer, ISBN 978-3-319-12481-0
Пол Дж. Нахин (2015), «Интересные интегралы изнутри» , Springer, ISBN 978-1-4939-1276-6.
Рич, Альберт; Шайбе, Патрик; Аббаси, Нассер (16 декабря 2018 г.), «Интеграция на основе правил: обширная система правил символической интеграции», Журнал программного обеспечения с открытым исходным кодом , 3 (32): 1073, Bibcode : 2018JOSS....3.1073R, doi : 10.21105/joss.01073 , S2CID 56487062
Рудин, Уолтер (1987), «Глава 1: Абстрактная интеграция», Действительный и комплексный анализ (международное издание), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-100276-9
Сакс, Станислав (1964), Теория интеграла (перевод на английский язык Л.К. Янга. С двумя дополнительными примечаниями Стефана Банаха. Второе исправленное издание), Нью-Йорк: Довер
Зигмунд-Шульце, Рейнхард (2008), «Анри Лебег», Тимоти Гауэрс; Джун Барроу-Грин; Имре Лидер (ред.), Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11880-2.
Стиллвелл, Джон (1989), Математика и ее история , Springer, ISBN 0-387-96981-0
Стоер, Йозеф ; Булирш, Роланд (2002), «Вопросы интеграции», Введение в численный анализ (3-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-95452-3.
Струик, Дирк Ян , ред. (1986), Справочник по математике, 1200-1800 , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 0-691-08404-1
Корнел Иоан Валеан (2019), (Почти невозможно) Интегралы, суммы и ряды , Springer, ISBN 978-3-030-02461-1.
Корнел Иоан Валеан (2023), Еще больше (почти невозможных) интегралов, сумм и рядов , Springer, ISBN 978-3-031-21261-1.
«Арабская математическая нотация», W3C , 2006

Внешние ссылки

В Wikibooks есть книга по теме: Исчисление

«Интеграл», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Онлайн-калькулятор интегралов, Wolfram Alpha .

Онлайн книги

Кейслер, Х. Джером, Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых величин, Висконсинский университет
Строян, К.Д., Краткое введение в исчисление бесконечно малых величин, Университет Айовы
Маух, Шон, «Книга прикладной математики Шона», CIT, онлайн-учебник, включающий полное введение в исчисление
Кроуэлл, Бенджамин, «Исчисление», колледж Фуллертона, онлайн-учебник
Гарретт, Пол, Заметки о первокурсниках по исчислению
Хуссейн, Фараз, «Понимание исчисления», онлайн-учебник
Джонсон, Уильям Вулси (1909) Элементарный трактат по интегральному исчислению, ссылка с HathiTrust .
Ковальк, ВП, Теория интеграции, Университет Ольденбурга. Новая концепция старой проблемы. Онлайн-учебник
Слоутер, Дэн, Разностные уравнения в дифференциальных уравнениях, введение в исчисление
Численные методы интеграции в Институте целостных численных методов
PS Wang, «Вычисление определенных интегралов с помощью символических манипуляций» (1972) — кулинарная книга методов вычисления определенных интегралов