Первообразный

Неопределенный интеграл

Поле наклона , показывающее три из бесконечного множества решений, которые можно получить, изменяя произвольную константу c . ${\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+c}$

В исчислении первообразная , обратная производная , примитивная функция , примитивный интеграл или неопределенный интеграл ^{[Примечание 1]} непрерывной функции f — это дифференцируемая функция F, производная которой равна исходной функции f . Это можно символически записать как F' = f . ^{[1] [2]} Процесс решения для первообразных называется антидифференцированием (или неопределенным интегрированием ), а его обратная операция называется дифференцированием , то есть процессом нахождения производной. Первообразные часто обозначаются заглавными латинскими буквами, такими как F и G.

Первообразные связаны с определенными интегралами посредством второй основной теоремы исчисления : определенный интеграл функции на замкнутом интервале , где функция интегрируема по Риману, равен разности между значениями первообразной, вычисленными в конечных точках интервала.

В физике первообразные возникают в контексте прямолинейного движения (например, при объяснении связи между положением , скоростью и ускорением ). ^[3] Дискретным эквивалентом понятия первообразной является антиразность .

Примеры

Функция является первообразной , так как производная от равна . Так как производная константы равна нулю , будет иметь бесконечное число первообразных, таких как , и т.д. Таким образом, все первообразные от могут быть получены путем изменения значения c в , где c — произвольная константа, известная как константа интегрирования . Графики первообразных заданной функции являются вертикальными переносами друг друга, причем вертикальное положение каждого графика зависит от значения c . ${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+c}$

В более общем случае степенная функция имеет первообразную , если n ≠ −1 и если n = −1 . ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ ${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+c}$ ${\displaystyle F(x)=\ln |x|+c}$

В физике интегрирование ускорения дает скорость плюс константу. Константа — это начальный член скорости, который будет потерян при вычислении производной скорости, поскольку производная постоянного члена равна нулю. Эта же закономерность применима к дальнейшим интегрированиям и производным движения (положение, скорость, ускорение и т. д.). ^[3] Таким образом, интегрирование дает соотношения ускорения, скорости и смещения : $${\displaystyle {\begin{aligned}\int a\,\mathrm {d} t&=v+C\\\int v\,\mathrm {d} t&=s+C\end{aligned}}}$$

Использование и свойства

Первообразные можно использовать для вычисления определенных интегралов , используя основную теорему исчисления : если F является первообразной непрерывной функции f на интервале , то: ${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a).}$$

По этой причине каждую из бесконечного множества первообразных данной функции f можно назвать «неопределенным интегралом» функции f и записать с использованием символа интеграла без ограничений: $${\displaystyle \int f(x)\,\mathrm {d} x.}$$

Если F является первообразной функции f , и функция f определена на некотором интервале, то любая другая первообразная G функции f отличается от F константой: существует число c такое, что для всех x . c называется константой интегрирования . Если область определения F является несвязным объединением двух или более (открытых) интервалов, то для каждого из интервалов может быть выбрана своя константа интегрирования. Например, ${\displaystyle G(x)=F(x)+c}$ $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{x}}+c_{1}&x<0\\[1ex]-{\dfrac {1}{x}}+c_{2}&x>0\end{cases}}}$$

является наиболее общей первообразной в ее естественной области определения ${\displaystyle f(x)=1/x^{2}}$ ${\displaystyle (-\infty ,0)\cup (0,\infty ).}$

Каждая непрерывная функция f имеет первообразную, и одна первообразная F задается определенным интегралом f с переменной верхней границей: для любого a в области определения f . Изменение нижней границы дает другие первообразные, но не обязательно все возможные первообразные. Это еще одна формулировка основной теоремы исчисления . $${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t~,}$$

Существует много функций, чьи первообразные, хотя они и существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (например, полиномы , показательные функции , логарифмы , тригонометрические функции , обратные тригонометрические функции и их комбинации). Примерами этого являются

• функция ошибки $${\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x,}$$
• функция Френеля $${\displaystyle \int \sin x^{2}\,\mathrm {d} x,}$$
• интегральный синус $${\displaystyle \int {\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x,}$$
• логарифмическая интегральная функция и $${\displaystyle \int {\frac {1}{\log x}}\,\mathrm {d} x,}$$
• мечта второкурсника $${\displaystyle \int x^{x}\,\mathrm {d} x.}$$

Более подробное обсуждение см. также в разделе Дифференциальная теория Галуа .

Методы интеграции

Нахождение первообразных элементарных функций часто значительно сложнее, чем нахождение их производных (действительно, не существует предопределенного метода вычисления неопределенных интегралов). ^[4] Для некоторых элементарных функций невозможно найти первообразную в терминах других элементарных функций. Чтобы узнать больше, см. элементарные функции и неэлементарный интеграл .

Существует множество свойств и методов поиска первообразных. К ним относятся, среди прочего:

• Линейность интегрирования (которая разбивает сложные интегралы на более простые)
• Интеграция путем подстановки , часто в сочетании с тригонометрическими тождествами или натуральным логарифмом
• Метод обратного цепного правила (частный случай интегрирования путем подстановки)
• Интеграция по частям (интегрировать произведения функций)
• Интегрирование обратной функции (формула, выражающая первообразную обратной функции f ⁻¹ обратимой и непрерывной функции f через первообразную f и f ⁻¹ ).
• Метод простейших дробей в интегрировании (позволяющий интегрировать все рациональные функции — дроби двух многочленов)
• Алгоритм Риша
• Дополнительные методы для многократного интегрирования (см., например, двойные интегралы , полярные координаты , якобиан и теорему Стокса )
• Численное интегрирование (метод приближения определенного интеграла, когда не существует элементарной первообразной, как в случае exp(− x ² ) )
• Алгебраическая манипуляция подынтегральным выражением (чтобы можно было использовать другие методы интегрирования, такие как интегрирование путем подстановки)
• Формула Коши для повторного интегрирования (для вычисления n -кратной первообразной функции) $${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}\int _{x_{0}}^{x_{1}}\cdots \int _{x_{0}}^{x_{n-1}}f(x_{n})\,\mathrm {d} x_{n}\cdots \,\mathrm {d} x_{2}\,\mathrm {d} x_{1}=\int _{x_{0}}^{x}f(t){\frac {(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}}\,\mathrm {d} t.}$$

Системы компьютерной алгебры могут использоваться для автоматизации части или всей работы, связанной с символическими методами, описанными выше, что особенно полезно, когда задействованные алгебраические манипуляции очень сложны или длинны. Интегралы, которые уже были выведены, можно найти в таблице интегралов .

Ненепрерывных функций

Ненепрерывные функции могут иметь первообразные. Хотя в этой области все еще есть открытые вопросы, известно, что:

• Некоторые высокопатологические функции с большими наборами разрывов могут, тем не менее, иметь первообразные.
• В некоторых случаях первообразные таких патологических функций могут быть найдены путем интегрирования по Риману , в то время как в других случаях эти функции не интегрируются по Риману.

Предполагая, что области определения функций представляют собой открытые интервалы:

• Необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы функция f имела первообразную, является наличие у f свойства промежуточного значения . То есть, если [ a , b ] — подынтервал области определения f , а y — любое действительное число между f ( a ) и f ( b ) , то существует c между a и b, такое что f ( c ) = y . Это следствие теоремы Дарбу .
• Множество разрывов функции f должно быть разреженным множеством . Это множество также должно быть множеством F-сигма (поскольку множество разрывов любой функции должно быть этого типа). Более того, для любого разреженного множества F-сигма можно построить некоторую функцию f, имеющую первообразную, которая имеет заданное множество в качестве своего множества разрывов.
• Если f имеет первообразную, ограничена на замкнутых конечных подынтервалах области и имеет множество разрывов меры Лебега 0, то первообразная может быть найдена путем интегрирования в смысле Лебега. Фактически, используя более мощные интегралы, такие как интеграл Хенстока–Курцвейля , каждая функция, для которой существует первообразная, интегрируема, и ее общий интеграл совпадает с ее первообразной.
• Если f имеет первообразную F на замкнутом интервале , то для любого выбора разбиения , если выбрать точки выборки , как указано в теореме о среднем значении , то соответствующая сумма Римана сжимается до значения . Однако, если f неограничена или если f ограничена, но множество разрывов f имеет положительную меру Лебега, другой выбор точек выборки может дать существенно другое значение для суммы Римана, независимо от того, насколько мелко разбиение. См. пример 4 ниже. ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b,}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$ ${\displaystyle F(b)-F(a)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})&=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\\&=F(x_{n})-F(x_{0})=F(b)-F(a)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x_{i}^{*}}$

Некоторые примеры

1. Функция

   $${\displaystyle f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-\cos \left({\frac {1}{x}}\right)}$$с не является непрерывным при , но имеет первообразную ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$$

   с . Поскольку f ограничена на замкнутых конечных интервалах и разрывна только в точке 0, первообразная F может быть получена путем интегрирования: . ${\displaystyle F(0)=0}$ ${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$
2. Функция при не является непрерывной при , но имеет первообразную при . В отличие от примера 1, f ( x ) не ограничена в любом интервале, содержащем 0, поэтому интеграл Римана не определен. $${\displaystyle f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)-{\frac {2}{x}}\cos \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)}$$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)}$$ ${\displaystyle F(0)=0}$
3. Если f ( x ) — функция из примера 1, а F — ее первообразная, и является плотным счетным подмножеством открытого интервала , то функция имеет первообразную Множество разрывов функции g — это в точности множество . Поскольку функция g ограничена на замкнутых конечных интервалах, а множество разрывов имеет меру 0, первообразная G может быть найдена путем интегрирования. ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle (-1,1),}$ $${\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(x-x_{n})}{2^{n}}}}$$ $${\displaystyle G(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F(x-x_{n})}{2^{n}}}.}$$ ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}}$
4. Пусть — плотное счетное подмножество открытого интервала. Рассмотрим всюду непрерывную строго возрастающую функцию. Можно показать, что ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle (-1,1).}$ $${\displaystyle F(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}(x-x_{n})^{1/3}.}$$ $${\displaystyle F'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3\cdot 2^{n}}}(x-x_{n})^{-2/3}}$$

   

   Рисунок 1.

   

   Рисунок 2.

   для всех значений x , где ряд сходится, и что график F ( x ) имеет вертикальные касательные линии при всех других значениях x . В частности, график имеет вертикальные касательные линии во всех точках множества . ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}}$

   Более того , для всех x , где определена производная. Отсюда следует, что обратная функция дифференцируема всюду и что ${\displaystyle F(x)\geq 0}$ ${\displaystyle G=F^{-1}}$ $${\displaystyle g(x)=G'(x)=0}$$

   для всех x в множестве , которое плотно в интервале Таким образом, g имеет первообразную G. С другой стороны, не может быть верным, что ${\displaystyle \{F(x_{n})\}_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle [F(-1),F(1)].}$ $${\displaystyle \int _{F(-1)}^{F(1)}g(x)\,\mathrm {d} x=GF(1)-GF(-1)=2,}$$

   так как для любого разбиения , можно выбрать точки выборки для суммы Римана из множества , задавая значение 0 для суммы. Отсюда следует, что g имеет множество разрывов положительной меры Лебега. На рисунке 1 справа показано приближение к графику g ( x ) , где и ряд усечен до 8 членов. На рисунке 2 показан график приближения к первообразной G ( x ) , также усеченной до 8 членов. С другой стороны, если интеграл Римана заменить интегралом Лебега , то лемма Фату или теорема о доминируемой сходимости показывают, что g удовлетворяет основной теореме исчисления в этом контексте. ${\displaystyle [F(-1),F(1)]}$ ${\displaystyle \{F(x_{n})\}_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle \{x_{n}=\cos(n)\}_{n\geq 1}}$
5. В примерах 3 и 4 множества разрывов функций g плотны только на конечном открытом интервале Однако эти примеры можно легко модифицировать так, чтобы иметь множества разрывов, плотные на всей действительной прямой . Пусть Тогда имеет плотное множество разрывов на и имеет первообразную ${\displaystyle (a,b).}$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ $${\displaystyle \lambda (x)={\frac {a+b}{2}}+{\frac {b-a}{\pi }}\tan ^{-1}x.}$$ ${\displaystyle g(\lambda (x))\lambda '(x)}$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle G\cdot \lambda .}$
6. Используя аналогичный метод, как в примере 5, можно изменить g в примере 4 так, чтобы он обращался в нуль при всех рациональных числах . Если использовать наивную версию интеграла Римана, определяемую как предел левых или правых сумм Римана по регулярным разбиениям, то получится, что интеграл такой функции g по интервалу равен 0, когда a и b оба рациональны, вместо . Таким образом, фундаментальная теорема исчисления будет полностью нарушена. ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle G(b)-G(a)}$
7. Функция, имеющая первообразную, может все еще не быть интегрируемой по Риману. Примером может служить производная функции Вольтерра .

Основные формулы

• Если , то . ${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}f(x)=g(x)}$ ${\displaystyle \int g(x)\mathrm {d} x=f(x)+C}$
• ${\displaystyle \int 1\ \mathrm {d} x=x+C}$
• ${\displaystyle \int a\ \mathrm {d} x=ax+C}$
• ${\displaystyle \int x^{n}\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C;\ n\neq -1}$
• ${\displaystyle \int \sin {x}\ \mathrm {d} x=-\cos {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \cos {x}\ \mathrm {d} x=\sin {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec ^{2}{x}\ \mathrm {d} x=\tan {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \csc ^{2}{x}\ \mathrm {d} x=-\cot {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec {x}\tan {x}\ \mathrm {d} x=\sec {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \csc {x}\cot {x}\ \mathrm {d} x=-\csc {x}+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x=\ln |x|+C}$
• ${\displaystyle \int \mathrm {e} ^{x}\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{x}+C}$
• ${\displaystyle \int a^{x}\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C;\ a>0,\ a\neq 1}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\ \mathrm {d} x=\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\ \mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C}$

Смотрите также

• Первообразная (комплексный анализ)
• Формальная первообразная
• интеграл Джексона
• Списки интегралов
• Символическая интеграция
• Область

Примечания

1. Первообразные также называются общими интегралами , а иногда и интегралами . Последний термин является общим и относится не только к неопределенным интегралам (первообразным), но и к определенным интегралам . Когда слово интеграл используется без дополнительных уточнений, читатель должен вывести из контекста, относится ли оно к определенному или неопределенному интегралу. Некоторые авторы определяют неопределенный интеграл функции как множество ее бесконечно многих возможных первообразных. Другие определяют его как произвольно выбранный элемент этого множества. В этой статье принят последний подход. В английских учебниках по математике уровня A можно встретить термин полный примитив - L. Bostock и S. Chandler (1978) Pure Mathematics 1 ; Решение дифференциального уравнения, включающее произвольную константу, называется общим решением (или иногда полным примитивом) .

Ссылки

1. Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: Ранние трансцендентали (6-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 978-0-495-01166-8.
2. Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2009). Исчисление (9-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 978-0-547-16702-2.
3. "4.9: Первообразные". Mathematics LibreTexts . 2017-04-27 . Получено 2020-08-18 .
4. "Первообразная и неопределенная интеграция | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org . Получено 18.08.2020 .

Дальнейшее чтение

• Введение в классический вещественный анализ , Карл Р. Стромберг; Уодсворт, 1981 (см. также)
• Историческое эссе о непрерывности производных инструментов Дэйва Л. Ренфро

Внешние ссылки

• Wolfram Integrator — бесплатная онлайн-символьная интеграция с Mathematica
• Калькулятор функций от WIMS
• Интеграл в HyperPhysics
• Первообразные и неопределенные интегралы в Академии Хана
• Интегральный калькулятор в Symbolab
• Антипроизводная в Массачусетском технологическом институте
• Введение в интегралы в SparkNotes
• Первообразные в колледже Харви Мадда