Константа интегрирования

Константа, выражающая неоднозначность неопределенных интегралов

В исчислении константа интегрирования , часто обозначаемая (или ), представляет собой постоянный член , добавляемый к первообразной функции , чтобы указать, что неопределенный интеграл (т. е. набор всех первообразных ) в связной области равен определяется только с точностью до аддитивной константы. ^{[1] [2] [3]} Эта константа выражает двусмысленность, присущую построению первообразных. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Более конкретно, если функция определена на интервале и является первообразной , то набор всех первообразных задается функциями где - произвольная константа (это означает, что любое значение будет считаться допустимой первообразной). По этой причине неопределенный интеграл часто записывают как ^[4] , хотя константу интегрирования иногда можно опустить в списках интегралов для простоты. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle F(x)+C,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F(x)+C}$ ${\textstyle \int f(x)\,dx=F(x)+C,}$

Источник

Производная любой постоянной функции равна нулю . Как только мы нашли одну первообразную для функции, добавление или вычитание любой константы даст нам еще одну первообразную, потому что константа — это способ выразить, что каждая функция, имеющая хотя бы одну первообразную, будет иметь их бесконечное количество. ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle C}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x).}$

Пусть и – две всюду дифференцируемые функции. Предположим, что для любого действительного числа x . Тогда существует такое действительное число, что для любого действительного числа x . ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle G:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F\,'(x)=G\,'(x)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F(x)-G(x)=C}$

Чтобы доказать это, заметьте, что So можно заменить на и на постоянную функцию, цель которой — доказать, что всюду дифференцируемая функция, производная которой всегда равна нулю, должна быть постоянной: ${\displaystyle [F(x)-G(x)]'=0.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F-G,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 0,}$

Выберите действительное число и пусть Для любого x фундаментальная теорема исчисления вместе с предположением, что производная от равна нулю, подразумевая, что ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle C=F(a).}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&0=\int _{a}^{x}F'(t)\,dt\\&0=F(x)-F(a)\\&0=F(x)-C\\&F(x)=C\\\end{aligned}}}$$

тем самым показывая, что это постоянная функция. ${\displaystyle F}$

В этом доказательстве решающее значение имеют два факта. Во-первых, реальная линия подключена . Если бы реальная линия не была соединена, мы не всегда были бы в состоянии проинтегрировать наше фиксированное a до любого заданного x . Например, если бы мы запросили функции, определенные на объединении интервалов [0,1] и [2,3], и если бы a было равно 0, то было бы невозможно интегрировать от 0 до 3, потому что функция не определено между 1 и 2. Здесь будут две константы, по одной для каждого связного компонента области . В общем, заменяя константы локально постоянными функциями , мы можем распространить эту теорему на несвязные области. Например, существует две константы интегрирования для и бесконечно много для , поэтому, например, общая форма интеграла 1/ x следующая: ^{[5] [6]} ${\textstyle \int dx/x}$ ${\textstyle \int \tan x\,dx}$

$${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}}$$

Во-вторых, и предполагались всюду дифференцируемыми. Если и не дифференцируемы хотя бы в одной точке, то теорема может оказаться неверной. В качестве примера, пусть это ступенчатая функция Хевисайда , которая равна нулю для отрицательных значений x и единице для неотрицательных значений x , и пусть Тогда производная от равна нулю там, где она определена, а производная от всегда равна нулю. Однако ясно, что и не различаются на константу, даже если предположить, что и всюду непрерывны и почти всюду дифференцируемы, теорема все равно неверна. В качестве примера возьмем функцию Кантора и снова положим ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle G(x)=0.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G=0.}$

Например, предположим, что кто-то хочет найти первообразные одной такой первообразной. Другая равна Третьей. У каждой из них есть производная, поэтому все они являются первообразными от ${\displaystyle \cos(x).}$ ${\displaystyle \sin(x).}$ ${\displaystyle \sin(x)+1.}$ ${\displaystyle \sin(x)-\pi .}$ ${\displaystyle \cos(x),}$ ${\displaystyle \cos(x).}$

Оказывается, сложение и вычитание констант — это единственная гибкость, которая у нас есть при поиске различных первообразных одной и той же функции. То есть все первообразные одинаковы с точностью до константы. Чтобы выразить этот факт, мы пишем: ${\displaystyle \cos(x),}$

$${\displaystyle \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.}$$

константой интегрирования ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \cos(x)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \cos(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}\sin(x)+{\frac {d}{dx}}C\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}}$$

Необходимость

На первый взгляд может показаться, что константа ненужна, поскольку ее можно установить в ноль. Более того, при вычислении определенных интегралов с использованием фундаментальной теоремы исчисления константа всегда будет сокращаться сама с собой.

Однако попытка установить константу равной нулю не всегда имеет смысл. Например, можно интегрировать как минимум тремя различными способами: ${\displaystyle 2\sin(x)\cos(x)}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&\sin ^{2}(x)+C=&&-\cos ^{2}(x)+1+C=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+{\frac {1}{2}}+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&-\cos ^{2}(x)+C=&&\sin ^{2}(x)-1+C=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)-{\frac {1}{2}}+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C=&&\sin ^{2}(x)+C=&&-\cos ^{2}(x)+C\\\end{alignedat}}}$$

Таким образом, установка нуля все равно может оставить константу. Это означает, что для данной функции не обязательно существует «простейшая первообразная». ${\displaystyle C}$

Другая проблема с установкой нуля заключается в том, что иногда мы хотим найти первообразную, имеющую заданное значение в данной точке (как в задаче о начальном значении ). Например, чтобы получить первообразную, имеющую значение 400 при x = π, подойдет только одно значение (в данном случае ). ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \cos(x)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=400}$

Это ограничение можно перефразировать на языке дифференциальных уравнений . Нахождение неопределенного интеграла от функции аналогично решению дифференциального уравнения. Любое дифференциальное уравнение имеет множество решений, и каждая константа представляет собой уникальное решение корректной задачи с начальными значениями . Наложение условия, что наша первообразная принимает значение 100 при x = π, является начальным условием. Каждому начальному условию соответствует одно и только одно значение, без которого решение задачи было бы невозможно. ${\displaystyle f(x)}$ ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=f(x).}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle C}$

Есть и другое обоснование, исходящее из абстрактной алгебры . Пространство всех (подходящих) вещественных функций действительных чисел является векторным пространством , а дифференциальный оператор — линейным оператором . Оператор отображает функцию в ноль тогда и только тогда, когда эта функция постоянна. Следовательно, ядро ​​функции есть пространство всех постоянных функций. Процесс неопределенного интегрирования сводится к нахождению прообраза заданной функции. Для данной функции не существует канонического прообраза, но набор всех таких прообразов образует смежный класс . Выбор константы аналогичен выбору элемента смежного класса. В этом контексте решение начальной задачи интерпретируется как лежащее в гиперплоскости , заданной начальными условиями . ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$

Рекомендации

1. Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансценденталисты (6-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 0-495-01166-5.
2. Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2009). Исчисление (9-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 0-547-16702-4.
3. «Определение константы интегрирования | Dictionary.com» . www.dictionary.com . Проверено 14 августа 2020 г.
4. Вайсштейн, Эрик В. «Константа интеграции». mathworld.wolfram.com . Проверено 14 августа 2020 г.
5. «Опрос читателей: log|x| + C», Том Ленстер, The n -category Café , 19 марта 2012 г.
6. Баннер, Адриан (2007). Спасатель в области математического анализа: все инструменты, необходимые для достижения успеха в математическом анализе . Принстон [ua]: Издательство Принстонского университета. п. 380. ИСБН 978-0-691-13088-0.