Интерполяционное пространство

В области математического анализа интерполяционное пространство — это пространство, которое лежит «между» двумя другими банаховыми пространствами . Основные приложения находятся в пространствах Соболева , где пространства функций, имеющих нецелое число производных, интерполируются из пространств функций с целым числом производных.

История

Теория интерполяции векторных пространств началась с наблюдения Юзефа Марцинкевича , позже обобщенного и теперь известного как теорема Рисса-Торина . Проще говоря, если линейная функция непрерывна на некотором пространстве L ^p , а также на некотором пространстве L ^q , то она также непрерывна на пространстве L ^r , для любого промежуточного r между p и q . Другими словами, L ^r — это пространство, которое является промежуточным между L ^p и L ^q .

При разработке пространств Соболева стало ясно, что пространства следов не являются обычными функциональными пространствами (с целым числом производных), и Жак-Луи Лионс обнаружил, что эти пространства следов действительно состоят из функций, которые имеют нецелую степень дифференцируемости.

Для генерации таких пространств функций было разработано множество методов, включая преобразование Фурье , комплексную интерполяцию, ^[1] действительную интерполяцию, ^[2], а также другие инструменты (см., например, дробную производную ).

Настройка интерполяции

Банахово пространство X называется непрерывно вложенным в хаусдорфово топологическое векторное пространство Z , когда X является линейным подпространством Z , таким, что отображение включения из X в Z является непрерывным. Совместимая пара ( X ₀ , X ₁ ) банаховых пространств состоит из двух банаховых пространств X ₀ и X ₁ , которые непрерывно вложены в одно и то же хаусдорфово топологическое векторное пространство Z . ^[3] Вложение в линейное пространство Z позволяет рассматривать два линейных подпространства

${\displaystyle X_{0}\cap X_{1}}$

и

${\displaystyle X_{0}+X_{1}=\left\{z\in Z:z=x_{0}+x_{1},\ x_{0}\in X_{0},\,x_{1}\in X_{1}\right\}.}$

Интерполяция зависит не только от изоморфных (и не изометрических) классов эквивалентности X ₀ и X ₁ . Она существенно зависит от конкретного относительного положения, которое X ₀ и X ₁ занимают в большем пространстве Z .

Можно определить нормы на X ₀ ∩ X ₁ и X ₀ + X ₁ следующим образом:

${\displaystyle \|x\|_{X_{0}\cap X_{1}}:=\max \left(\left\|x\right\|_{X_{0}},\left\|x\right\|_{X_{1}}\right),}$

${\displaystyle \|x\|_{X_{0}+X_{1}}:=\inf \left\{\left\|x_{0}\right\|_{X_{0}}+\left\|x_{1}\right\|_{X_{1}}\ :\ x=x_{0}+x_{1},\;x_{0}\in X_{0},\;x_{1}\in X_{1}\right\}.}$

Снабженные этими нормами, пересечение и сумма являются банаховыми пространствами. Следующие включения все непрерывны:

${\displaystyle X_{0}\cap X_{1}\subset X_{0},\ X_{1}\subset X_{0}+X_{1}.}$

Интерполяция изучает семейство пространств X , которые являются промежуточными пространствами между X ₀ и X ₁ в том смысле, что

${\displaystyle X_{0}\cap X_{1}\subset X\subset X_{0}+X_{1},}$

где две карты включений непрерывны.

Примером такой ситуации является пара ( L ¹ ( R ), L ^∞ ( R )) , где два банаховых пространства непрерывно вложены в пространство Z измеримых функций на действительной прямой, снабженное топологией сходимости по мере. В этой ситуации пространства L ^p ( R ) , для 1 ≤ p ≤ ∞ являются промежуточными между L ¹ ( R ) и L ^∞ ( R ) . В более общем случае,

${\displaystyle L^{p_{0}}(\mathbf {R} )\cap L^{p_{1}}(\mathbf {R} )\subset L^{p}(\mathbf {R} )\subset L^{p_{0}}(\mathbf {R} )+L^{p_{1}}(\mathbf {R} ),\ \ {\text{when}}\ \ 1\leq p_{0}\leq p\leq p_{1}\leq \infty ,}$

с непрерывными инъекциями, так что при заданных условиях L ^p ( R ) занимает промежуточное положение между L ^{p ₀} ( R ) и L ^{p ₁} ( R ) .

Определение. Для двух совместимых пар ( X ₀ , X ₁ ) и ( Y ₀ , Y ₁ ) интерполяционная пара — это пара ( X , Y ) банаховых пространств с двумя следующими свойствами:

• Пространство X является промежуточным между X ₀ и X ₁ , а Y является промежуточным между Y ₀ и Y ₁ .
• Если L — любой линейный оператор из X ₀ + X ₁ в Y ₀ + Y ₁ , который непрерывно отображает X ₀ в Y ₀ и X ₁ в Y ₁ , то он также непрерывно отображает X в Y .

Говорят, что интерполяционная пара ( X , Y ) имеет показатель θ (при 0 < θ < 1 ), если существует константа C такая, что

${\displaystyle \|L\|_{X,Y}\leq C\|L\|_{X_{0},Y_{0}}^{1-\theta }\;\|L\|_{X_{1},Y_{1}}^{\theta }}$

для всех операторов L, как указано выше. Обозначение || L || _{X , Y} относится к норме L как отображению из X в Y . Если C = 1 , мы говорим, что ( X , Y ) является точной интерполяционной парой показателя θ .

Комплексная интерполяция

Если скаляры являются комплексными числами , свойства комплексных аналитических функций используются для определения интерполяционного пространства. При наличии совместимой пары ( X ₀ , X ₁ ) банаховых пространств линейное пространство состоит из всех функций f   : C → X ₀ + X ₁ , которые являются аналитическими на S = { z  : 0 < Re( z ) < 1}, непрерывными на S = { z  : 0 ≤ Re( z ) ≤ 1}, и для которых все следующие подмножества ограничены: ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})}$ 

{  f  ( z ) : z∈S } ⊂X0 + X1 _,​​_​

{  f  ( it ) : t ∈ R } ⊂ X ₀ ,

{  f  (1 + it ) : t ∈ R } ⊂ X ₁ .

${\displaystyle {\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})}$является банаховым пространством по норме

${\displaystyle \|f\|_{{\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})}=\max \left\{\sup _{t\in \mathbf {R} }\|f(it)\|_{X_{0}},\;\sup _{t\in \mathbf {R} }\|f(1+it)\|_{X_{1}}\right\}.}$

Определение. ^[4] При 0 < θ < 1 комплексное интерполяционное пространство ( X ₀ , X ₁ ) _θ представляет собой линейное подпространство X ₀ + X _{1 ,} состоящее из всех значений f ( θ ), когда f изменяется в предыдущем пространстве функций,

${\displaystyle (X_{0},X_{1})_{\theta }=\left\{x\in X_{0}+X_{1}:x=f(\theta ),\;f\in {\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})\right\}.}$

Норма на комплексном интерполяционном пространстве ( X ₀ , X ₁ ) _θ определяется как

${\displaystyle \ \|x\|_{\theta }=\inf \left\{\|f\|_{{\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})}\ :\ f(\theta )=x,\;f\in {\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})\right\}.}$

С этой нормой комплексное интерполяционное пространство ( X ₀ , X ₁ ) _θ является банаховым пространством.

Теорема. ^[5] Для двух совместимых пар банаховых пространств ( X ₀ , X ₁ ) и ( Y ₀ , Y ₁ ) пара (( X ₀ , X ₁ ) _θ , ( Y ₀ , Y ₁ ) _θ ) является точной интерполяционной парой показателя θ , т. е. если T  : X ₀ + X ₁ → Y ₀ + Y ₁ , является линейным оператором, ограниченным от X _j до Y _j , j = 0, 1 , то T ограничен от ( X ₀ , X ₁ ) _θ до ( Y ₀ , Y ₁ ) _θ и $${\displaystyle \|T\|_{\theta }\leq \|T\|_{0}^{1-\theta }\|T\|_{1}^{\theta }.}$$

Семейство пространств L ^p (состоящих из комплекснозначных функций) хорошо ведет себя при комплексной интерполяции. ^[6] Если ( R , Σ, μ ) — произвольное мерное пространство , если 1 ≤ p ₀ , p ₁ ≤ ∞ и 0 < θ < 1 , то

${\displaystyle \left(L^{p_{0}}(R,\Sigma ,\mu ),L^{p_{1}}(R,\Sigma ,\mu )\right)_{\theta }=L^{p}(R,\Sigma ,\mu ),\qquad {\frac {1}{p}}={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}},}$

с равенством норм. Этот факт тесно связан с теоремой Рисса–Торина .

Реальная интерполяция

Существует два способа введения метода реальной интерполяции . Первый и наиболее часто используемый при фактическом выявлении примеров интерполяционных пространств — это K-метод. Второй метод, J-метод, дает те же интерполяционные пространства, что и K-метод, когда параметр θ находится в (0, 1) . То, что J- и K-методы совпадают, важно для изучения двойственных интерполяционных пространств: в основном, двойственное пространство интерполяции, построенное K-методом, по-видимому, является пространством, построенным из двойственной пары J-методом; см. ниже.

К-метод

Для банаховых пространств над полем R действительных чисел можно использовать K-метод действительной интерполяции ^[7] .

Определение. Пусть ( X ₀ , X ₁ ) — совместимая пара банаховых пространств. Для t > 0 и любого x ∈ X ₀ + X ₁ пусть

${\displaystyle K(x,t;X_{0},X_{1})=\inf \left\{\left\|x_{0}\right\|_{X_{0}}+t\left\|x_{1}\right\|_{X_{1}}\ :\ x=x_{0}+x_{1},\;x_{0}\in X_{0},\,x_{1}\in X_{1}\right\}.}$

Изменение порядка двух пробелов приводит к следующему: ^[8]

${\displaystyle K(x,t;X_{0},X_{1})=tK\left(x,t^{-1};X_{1},X_{0}\right).}$

Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}\|x\|_{\theta ,q;K}&=\left(\int _{0}^{\infty }\left(t^{-\theta }K(x,t;X_{0},X_{1})\right)^{q}\,{\tfrac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}},&&0<\theta <1,1\leq q<\infty ,\\\|x\|_{\theta ,\infty ;K}&=\sup _{t>0}\;t^{-\theta }K(x,t;X_{0},X_{1}),&&0\leq \theta \leq 1.\end{aligned}}}$

K-метод вещественной интерполяции состоит в том, что в качестве K _{θ , q} ( X ₀ , X ₁ ) принимается линейное подпространство X ₀ + X _{1 ,} состоящее из всех x таких, что || x || _{θ , q ; K} < ∞ .

Пример

Важным примером является пара ( L ¹ ( R , Σ, μ ), L ^∞ ( R , Σ, μ )) , где функционал K ( t , f  ; L ¹ , L ^∞ ) может быть вычислен явно. Мера μ предполагается σ -конечной . В этом контексте наилучший способ разрезать функцию f   ∈ L ¹ + L ^∞ как сумму двух функций f ₀ ∈ L ¹ и f ₁ ∈ L ^∞ состоит в том, чтобы для некоторого s > 0 выбрать в качестве функции t , позволить f ₁ ( x ) быть заданной для всех x ∈ R следующим образом:      

${\displaystyle f_{1}(x)={\begin{cases}f(x)&|f(x)|<s,\\{\frac {sf(x)}{|f(x)|}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Оптимальный выбор s приводит к формуле ^[9]

${\displaystyle K\left(f,t;L^{1},L^{\infty }\right)=\int _{0}^{t}f^{*}(u)\,du,}$

где f  ^∗ — убывающая перестановка f .   

J-метод

Как и K-метод, J-метод можно использовать для действительных банаховых пространств.

Определение. Пусть ( X ₀ , X ₁ ) — совместимая пара банаховых пространств. Для t > 0 и для каждого вектора x ∈ X ₀ ∩ X ₁ пусть $${\displaystyle J(x,t;X_{0},X_{1})=\max \left(\|x\|_{X_{0}},t\|x\|_{X_{1}}\right).}$$

Вектор x из X ₀ + X ₁ принадлежит интерполяционному пространству J _{θ , q} ( X ₀ , X ₁ ) тогда и только тогда, когда его можно записать в виде

${\displaystyle x=\int _{0}^{\infty }v(t)\,{\frac {dt}{t}},}$

где v ( t ) измерима со значениями в X ₀ ∩ X ₁ и такая, что

${\displaystyle \Phi (v)=\left(\int _{0}^{\infty }\left(t^{-\theta }J(v(t),t;X_{0},X_{1})\right)^{q}\,{\tfrac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}<\infty .}$

Норма x в J _{θ , q} ( X ₀ , X ₁ ) определяется по формуле

${\displaystyle \|x\|_{\theta ,q;J}:=\inf _{v}\left\{\Phi (v)\ :\ x=\int _{0}^{\infty }v(t)\,{\tfrac {dt}{t}}\right\}.}$

Соотношения между методами интерполяции

Два метода реальной интерполяции эквивалентны, когда 0 < θ < 1. ^[10 ]

Теорема. Пусть ( X ₀ , X ₁ ) — совместимая пара банаховых пространств. Если 0 < θ < 1 и 1 ≤ q ≤ ∞ , то с эквивалентностью норм . $${\displaystyle J_{\theta ,q}(X_{0},X_{1})=K_{\theta ,q}(X_{0},X_{1}),}$$

Теорема охватывает вырожденные случаи, которые не были исключены: например, если X ₀ и X ₁ образуют прямую сумму, то пересечение и J-пространства являются нулевым пространством, а простое вычисление показывает, что K-пространства также являются нулевыми.

При 0 < θ < 1 можно говорить, с точностью до эквивалентной перенормировки, о банаховом пространстве, полученном методом вещественной интерполяции с параметрами θ и q . Обозначение для этого вещественного интерполяционного пространства есть ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} . Имеем, что

${\displaystyle (X_{0},X_{1})_{\theta ,q}=(X_{1},X_{0})_{1-\theta ,q},\qquad 0<\theta <1,1\leq q\leq \infty .}$

Для заданного значения θ действительные интерполяционные пространства увеличиваются с ростом q : ^[11] если 0 < θ < 1 и 1 ≤ q ≤ r ≤ ∞ , справедливо следующее непрерывное включение:

${\displaystyle (X_{0},X_{1})_{\theta ,q}\subset (X_{0},X_{1})_{\theta ,r}.}$

Теорема. При 0 < θ < 1 , 1 ≤ q ≤ ∞ и двух совместимых парах ( X ₀ , X ₁ ) и ( Y ₀ , Y ₁ ) пара (( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} , ( Y ₀ , Y ₁ ) _{θ , q} ) является точной интерполяционной парой показателя θ . ^[12]

Комплексное интерполяционное пространство обычно не изоморфно одному из пространств, заданных методом вещественной интерполяции. Однако существует общая связь.

Теорема. Пусть ( X ₀ , X ₁ ) — совместимая пара банаховых пространств. Если 0 < θ < 1 , то $${\displaystyle (X_{0},X_{1})_{\theta ,1}\subset (X_{0},X_{1})_{\theta }\subset (X_{0},X_{1})_{\theta ,\infty }.}$$

Примеры

Когда X ₀ = C ([0, 1]) и X ₁ = C ¹ ([0, 1]) , пространство непрерывно дифференцируемых функций на [0, 1] , метод интерполяции ( θ , ∞ ) для 0 < θ < 1 дает пространство Гельдера C ^{0, θ} с показателем θ . Это происходит потому, что K-функционал K ( f , t ; X ₀ , X ₁ ) этой пары эквивалентен

${\displaystyle \sup \left\{|f(u)|,\,{\frac {|f(u)-f(v)|}{1+t^{-1}|u-v|}}\ :\ u,v\in [0,1]\right\}.}$

Здесь интерес представляют только значения 0 < t < 1 .

Действительная интерполяция между пространствами L ^p дает ^[13] семейство пространств Лоренца . Предполагая 0 < θ < 1 и 1 ≤ q ≤ ∞ , имеем:

${\displaystyle \left(L^{1}(\mathbf {R} ,\Sigma ,\mu ),L^{\infty }(\mathbf {R} ,\Sigma ,\mu )\right)_{\theta ,q}=L^{p,q}(\mathbf {R} ,\Sigma ,\mu ),\qquad {\text{where }}{\tfrac {1}{p}}=1-\theta ,}$

с эквивалентными нормами. Это следует из неравенства Харди и из приведенного выше значения K-функционала для этой совместимой пары. Когда q = p , пространство Лоренца L ^{p , p} равно L ^p , с точностью до перенормировки. Когда q = ∞ , пространство Лоренца L ^{p ,∞} равно слабому L ^p .

Теорема повторения

Промежуточное пространство X совместимой пары ( X ₀ , X ₁ ) называется пространством класса θ, если ^[14]

${\displaystyle (X_{0},X_{1})_{\theta ,1}\subset X\subset (X_{0},X_{1})_{\theta ,\infty },}$

с непрерывными инъекциями. Помимо всех действительных интерполяционных пространств ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} с параметром θ и 1 ≤ q ≤ ∞ , комплексное интерполяционное пространство ( X ₀ , X ₁ ) _θ является промежуточным пространством класса θ совместимой пары ( X ₀ , X ₁ ) .

Теоремы повторения, по сути, утверждают, что интерполяция с параметром θ ведет себя, в некотором роде, как образование выпуклой комбинации a = (1 − θ ) x ₀ + θx ₁ : взятие еще одной выпуклой комбинации из двух выпуклых комбинаций дает еще одну выпуклую комбинацию.

Теорема. ^[15] Пусть A ₀ , A ₁ — промежуточные пространства совместимой пары ( X ₀ , X ₁ ) класса θ ₀ и θ ₁ соответственно, причем 0 < θ ₀ ≠ θ ₁ < 1. Когда 0 < θ < 1 и 1 ≤ q ≤ ∞ , имеем $${\displaystyle (A_{0},A_{1})_{\theta ,q}=(X_{0},X_{1})_{\eta ,q},\qquad \eta =(1-\theta )\theta _{0}+\theta \theta _{1}.}$$

Примечательно, что при интерполяции вещественным методом между A ₀ = ( X ₀ , X ₁ ) _{θ 0 , q 0} и A ₁ = ( X ₀ , X ₁ ) _{θ 1 , q 1} имеют значение только значения θ ₀ и θ _1. Кроме того, A ₀ и A ₁ могут быть комплексными интерполяционными пространствами между X ₀ и X ₁ с параметрами θ ₀ и θ ₁ соответственно.

Для комплексного метода также существует теорема о повторении.

Теорема. ^[16] Пусть ( X ₀ , X ₁ ) — совместимая пара комплексных банаховых пространств, и предположим, что X ₀ ∩ X ₁ плотно в X ₀ и в X ₁ . Пусть A ₀ = ( X ₀ , X ₁ ) _{θ 0} и A ₁ = ( X ₀ , X ₁ ) _{θ 1} , где 0 ≤ θ ₀ ≤ θ ₁ ≤ 1 . Предположим далее, что X ₀ ∩ X ₁ плотно в A ₀ ∩ A ₁ . Тогда для любого 0 ≤ θ ≤ 1 , $${\displaystyle \left(\left(X_{0},X_{1}\right)_{\theta _{0}},\left(X_{0},X_{1}\right)_{\theta _{1}}\right)_{\theta }=(X_{0},X_{1})_{\eta },\qquad \eta =(1-\theta )\theta _{0}+\theta \theta _{1}.}$$

Условие плотности всегда выполняется, когда X ₀ ⊂ X ₁ или X ₁ ⊂ X ₀ .

Двойственность

Пусть ( X ₀ , X ₁ ) — совместимая пара, и предположим, что X ₀ ∩ X ₁ плотно в X ₀ и в X ₁ . В этом случае отображение ограничения с (непрерывного) двойственного к X _j , j = 0, 1, на двойственный к X ₀ ∩ X ₁ является взаимно однозначным. Отсюда следует, что пара двойственных элементов является совместимой парой, непрерывно вложенной в двойственный к ( X ₀ ∩ X ₁ )′ . ${\displaystyle X'_{j}}$ ${\displaystyle \left(X'_{0},X'_{1}\right)}$

Для метода комплексной интерполяции справедлив следующий результат двойственности:

Теорема. ^[17] Пусть ( X ₀ , X ₁ ) — совместимая пара комплексных банаховых пространств, и предположим, что X 0 _∩ X 1 _плотно в X ₀ и в X ₁ . Если X ₀ и X ₁ рефлексивны , то двойственное пространство комплексной интерполяции получается путем интерполяции двойственных пространств, $${\displaystyle ((X_{0},X_{1})_{\theta })'=\left(X'_{0},X'_{1}\right)_{\theta },\qquad 0<\theta <1.}$$

В общем случае, двойственное пространство ( X ₀ , X ₁ ) _θ равно ^[17] пространству , определенному вариантом комплексного метода. ^[18] Методы верхнего θ и нижнего θ в общем случае не совпадают, но они совпадают, если хотя бы одно из X ₀ , X ₁ является рефлексивным пространством. ^[19] ${\displaystyle \left(X'_{0},X'_{1}\right)^{\theta },}$

Для метода вещественной интерполяции двойственность имеет место при условии, что параметр  q конечен:

Теорема. ^[20] Пусть 0 < θ < 1, 1 ≤ q < ∞ и ( X ₀ , X ₁ ) — совместимая пара действительных банаховых пространств. Предположим, что X ₀ ∩ X ₁ плотно в X ₀ и в X ₁ . Тогда где $${\displaystyle \left(\left(X_{0},X_{1}\right)_{\theta ,q}\right)'=\left(X'_{0},X'_{1}\right)_{\theta ,q'},}$$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{q'}}=1-{\tfrac {1}{q}}.}$

Дискретные определения

Так как функция t → K ( x , t ) регулярно меняется (она возрастает, но ⁠1/т⁠ K ( x , t ) убывает), определение K _{θ , q} -нормы вектора n , ранее заданного интегралом, эквивалентно определению, заданному рядом. ^[21] Этот ряд получается путем разбиения (0, ∞) на части (2 ⁿ , 2 ^{n +1} ) равной массы для меры ⁠д т/т⁠ ,

${\displaystyle \|x\|_{\theta ,q;K}\simeq \left(\sum _{n\in \mathbf {Z} }\left(2^{-\theta n}K\left(x,2^{n};X_{0},X_{1}\right)\right)^{q}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

В частном случае, когда X ₀ непрерывно вложено в X ₁ , можно опустить часть ряда с отрицательными индексами n . В этом случае каждая из функций x → K ( x , 2 ⁿ ; X ₀ , X ₁ ) определяет эквивалентную норму на X ₁ .

Интерполяционное пространство ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} является «диагональным подпространством» ℓ ^{q -суммы последовательности банаховых пространств  (} каждое из которых изоморфно X ₀ + X ₁ ). Поэтому, когда q конечно, двойственное к ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} является частным ℓ p -суммы двойственных пространств, ⁠1/п⁠ + ⁠1/д⁠ = 1 , что приводит к следующей формуле для дискретной J _{θ , p} -нормы функционала x' в двойственном к ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} :

${\displaystyle \|x'\|_{\theta ,p;J}\simeq \inf \left\{\left(\sum _{n\in \mathbf {Z} }\left(2^{\theta n}\max \left(\left\|x'_{n}\right\|_{X'_{0}},2^{-n}\left\|x'_{n}\right\|_{X'_{1}}\right)\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\ :\ x'=\sum _{n\in \mathbf {Z} }x'_{n}\right\}.}$

Обычная формула для дискретной J _{θ , p} -нормы получается путем замены n на − n .

Дискретное определение облегчает изучение нескольких вопросов, среди которых уже упомянутая идентификация двойственного. Другие такие вопросы — компактность или слабая компактность линейных операторов. Лионс и Питер доказали, что:

Теорема. ^[22] Если линейный оператор T компактен из X ₀ в банахово пространство Y и ограничен от X ₁ до Y , то T компактен из ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} в Y при 0 < θ < 1 , 1 ≤ q ≤ ∞ .

Дэвис, Фигель, Джонсон и Пелчинский использовали интерполяцию в своем доказательстве следующего результата:

Теорема. ^[23] Ограниченный линейный оператор между двумя банаховыми пространствами слабо компактен тогда и только тогда, когда он факторизуется через рефлексивное пространство .

Общий метод интерполяции

Пространство ℓ ^{q ,} используемое для дискретного определения, можно заменить произвольным пространством последовательностей Y с безусловным базисом , а веса a _n = 2 ^{− θn} , b _n = 2 ^{(1− θ ) n} , которые используются для K _{θ , q} -нормы, можно заменить общими весами

${\displaystyle a_{n},b_{n}>0,\ \ \sum _{n=1}^{\infty }\min(a_{n},b_{n})<\infty .}$

Интерполяционное пространство K ( X ₀ , X ₁ , Y , { a _n }, { b _n }) состоит из векторов x в X ₀ + X ₁ таких, что ^[24]

${\displaystyle \|x\|_{K(X_{0},X_{1})}=\sup _{m\geq 1}\left\|\sum _{n=1}^{m}a_{n}K\left(x,{\tfrac {b_{n}}{a_{n}}};X_{0},X_{1}\right)\,y_{n}\right\|_{Y}<\infty ,}$

где { y _n } — безусловный базис Y. Этот абстрактный метод можно использовать, например, для доказательства следующего результата:

Теорема. ^[25] Банахово пространство с безусловным базисом изоморфно дополняемому подпространству пространства с симметричным базисом .

Интерполяция пространств Соболева и Бесова

Несколько результатов интерполяции доступны для пространств Соболева и пространств Бесова на R ⁿ , ^[26]

${\displaystyle {\begin{aligned}&H_{p}^{s}&&s\in \mathbf {R} ,1\leq p\leq \infty \\&B_{p,q}^{s}&&s\in \mathbf {R} ,1\leq p,q\leq \infty \end{aligned}}}$

Эти пространства являются пространствами измеримых функций на R ^{n ,} когда s ≥ 0 , и умеренных распределений на R ^{n ,} когда s < 0 . В оставшейся части раздела будут использоваться следующие настройки и обозначения:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&<\theta <1,\\1&\leq p,p_{0},p_{1},q,q_{0},q_{1}\leq \infty ,\\s,&s_{0},s_{1}\in \mathbf {R} ,\\s_{\theta }&=(1-\theta )s_{0}+\theta s_{1},\\[4pt]{\frac {1}{p_{\theta }}}&={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}},\\[4pt]{\frac {1}{q_{\theta }}}&={\frac {1-\theta }{q_{0}}}+{\frac {\theta }{q_{1}}}.\end{aligned}}}$

Комплексная интерполяция хорошо работает в классе пространств Соболева ( пространства потенциалов Бесселя ), а также пространств Бесова: ${\displaystyle H_{p}^{s}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(H_{p_{0}}^{s_{0}},H_{p_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta }&=H_{p_{\theta }}^{s_{\theta }},&&s_{0}\neq s_{1},1<p_{0},p_{1}<\infty .\\\left(B_{p_{0},q_{0}}^{s_{0}},B_{p_{1},q_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta }&=B_{p_{\theta },q_{\theta }}^{s_{\theta }},&&s_{0}\neq s_{1}.\end{aligned}}}$

Действительная интерполяция между пространствами Соболева может дать пространства Бесова, за исключением случая, когда s ₀ = s ₁ ,

${\displaystyle \left(H_{p_{0}}^{s},H_{p_{1}}^{s}\right)_{\theta ,p_{\theta }}=H_{p_{\theta }}^{s}.}$

Когда s ₀ ≠ s ₁ , но p ₀ = p ₁ , действительная интерполяция между пространствами Соболева дает пространство Бесова:

${\displaystyle \left(H_{p}^{s_{0}},H_{p}^{s_{1}}\right)_{\theta ,q}=B_{p,q}^{s_{\theta }},\qquad s_{0}\neq s_{1}.}$

Также,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(B_{p,q_{0}}^{s_{0}},B_{p,q_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta ,q}&=B_{p,q}^{s_{\theta }},&&s_{0}\neq s_{1}.\\\left(B_{p,q_{0}}^{s},B_{p,q_{1}}^{s}\right)_{\theta ,q}&=B_{p,q_{\theta }}^{s}.\\\left(B_{p_{0},q_{0}}^{s_{0}},B_{p_{1},q_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta ,q_{\theta }}&=B_{p_{\theta },q_{\theta }}^{s_{\theta }},&&s_{0}\neq s_{1},p_{\theta }=q_{\theta }.\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Теорема Рисса–Торина
• Интерполяционная теорема Марцинкевича

Примечания

1. Основополагающие работы в этом направлении: Lions, Jacques-Louis (1960), "Une construction d'espaces d'interpolation", CR Acad. Sci. Paris (на французском), 251 : 1853–1855и Кальдерон (1964).
2. впервые определено в Lions, Жак-Луи; Пеэтре, Яак (1961), «Свойства интерполяции», CR Acad. наук. Париж (на французском языке), 253 : 1747–1749., разработанный в Lions & Peetre (1964), с нотацией, немного отличающейся (и более сложной, с четырьмя параметрами вместо двух) от сегодняшней нотации. Позднее он был представлен в сегодняшней форме в Peetre, Jaak (1963), "Nouvelles propriétés d'espaces d'interpolation", CR Acad. Sci. Paris (на французском), 256 : 1424–1426и Пеэтре, Яак (1968), Теория интерполяции нормированных пространств , Notas de Matemática, vol. 39, Рио-де-Жанейро: Instituto de Matematica Pura e Aplicada, Conselho Nacional de Pesquisas, стр. iii+86..
3. см. Беннетт и Шарпли (1988), стр. 96–105.
4. см. стр. 88 в Берге и Лёфстреме (1976).
5. см. теорему 4.1.2, с. 88 в Берге и Лёфстреме (1976).
6. см. главу 5, с. 106 в Берге и Лёфстреме (1976).
7. см. стр. 293–302 в Bennett & Sharpley (1988).
8. см. Предложение 1.2, стр. 294 в Bennett & Sharpley (1988).
9. см. стр. 298 в Bennett & Sharpley (1988).
10. см. теорему 2.8, стр. 314 в Bennett & Sharpley (1988).
11. см. Предложение 1.10, стр. 301 в Bennett & Sharpley (1988)
12. см. теорему 1.12, стр. 301–302 в книге Беннетта и Шарпли (1988).
13. см. теорему 1.9, стр. 300 в книге Беннетта и Шарпли (1988).
14. см. Определение 2.2, стр. 309–310 в Bennett & Sharpley (1988)
15. см. теорему 2.4, стр. 311 в Bennett & Sharpley (1988)
16. см. 12.3, с. 121 в Кальдероне (1964).
17. см. 12.1 и 12.2, стр. 121 в Calderón (1964).
18. Теорема 4.1.4, с. 89 в Берге и Лёфстреме (1976).
19. Теорема 4.3.1, с. 93 в Берге и Лёфстреме (1976).
20. см. Теорему 3.1, с. 23 в Lions & Peetre (1964) или теорема 3.7.1, с. 54 в Берге и Лёфстреме (1976).
21. см. главу II в Lions & Peetre (1964).
22. см. гл. 5, Теорема 2.2, с. 37 в фильме «Лайонс и Питер» (1964).
23. Дэвис, Уильям Дж.; Фигель, Тадеуш; Джонсон, Уильям Б .; Пелчинский, Александр (1974), «Факторизация слабо компактных операторов», Журнал функционального анализа , 17 (3): 311–327, doi : 10.1016/0022-1236(74)90044-5, см. также теорему 2.g.11, стр. 224 в Lindenstrauss & Tzafriri (1979).
24. Джонсон, Уильям Б.; Линденштраус, Йорам (2001), «Основные понятия геометрии банаховых пространств», Справочник по геометрии банаховых пространств, т. I , Амстердам: Северная Голландия, стр. 1–84и раздел 2.g в Lindenstrauss & Tzafriri (1979).
25. см. теорему 3.б.1, с. 123 в Линденштраусе, Йорам ; Цафрири, Лиор (1977), Классические банаховые пространства I, Пространства последовательностей , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 92, Берлин: Springer-Verlag, стр. xiii+188, ISBN. 978-3-540-08072-5.
26. Теорема 6.4.5, с. 152 в Берге и Лёфстреме (1976).

Ссылки

• Кальдерон, Альберто П. (1964), «Промежуточные пространства и интерполяция, комплексный метод», Studia Math. , 24 (2): 113–190, doi : 10.4064/sm-24-2-113-190.
• Львы, Жак-Луи. ; Пеэтре, Яак (1964), "Sur une classe d'espaces d'interpolation", Inst. Hautes Études Sci. Опубл. Математика. (на французском языке), 19 : 5–68, doi : 10.1007/bf02684796, S2CID  124471748.
• Беннетт, Колин; Шарпли, Роберт (1988), Интерполяция операторов , Чистая и прикладная математика, т. 129, Academic Press, Inc., Бостон, Массачусетс, стр. xiv+469, ISBN 978-0-12-088730-9.
• Берг, Йоран; Лёфстрем, Йорген (1976), Интерполяционные пространства. Введение , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 223, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+207, ISBN. 978-3-540-07875-3.
• Леони, Джованни (2017). Первый курс по пространствам Соболева: Второе издание . Аспирантура по математике . 181. Американское математическое общество. стр. 734. ISBN 978-1-4704-2921-8 . 
• Линденштраусс, Йорам ; Цафрири, Лиор (1979), Классические банаховы пространства. II. Функциональные пространства , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Результаты по математике и смежным областям], том. 97, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+243, ISBN. 978-3-540-08888-2.
• Тартар, Люк (2007), Введение в пространства Соболева и интерполяцию , Springer, ISBN 978-3-540-71482-8.