В теории моделей интерпретация структуры M в другой структуре N (обычно другой сигнатуры ) является техническим понятием , которое приближается к идее представления M внутри N. Например, каждое сокращение или дефинициональное расширение структуры N имеет интерпретацию в N.
Многие теоретико-модельные свойства сохраняются при интерпретируемости. Например , если теория N стабильна и M интерпретируема в N , то теория M также стабильна.
Обратите внимание, что в других областях математической логики термин «интерпретация» может относиться к структуре [ 1] [2], а не использоваться в том смысле, который определен здесь. Эти два понятия «интерпретации» родственны, но тем не менее различны.
Интерпретацией структуры M в структуре N с параметрами (или без параметров соответственно) является пара, где n — натуральное число и является сюръективным отображением подмножества N n на M такое, что -прообраз (точнее, -прообраз) каждого множества X ⊆ M k , определяемого в M формулой первого порядка без параметров, определяется (в N ) формулой первого порядка с параметрами (или без параметров соответственно) [ необходимы пояснения ] . Поскольку значение n для интерпретации часто ясно из контекста, сама карта также называется интерпретацией.
Чтобы убедиться, что прообраз каждого определимого (без параметров) множества в M определим в N (с параметрами или без них), достаточно проверить прообразы следующих определимых множеств:
В теории моделей термин «определяемый» часто относится к определяемости с помощью параметров; если используется это соглашение, определимость без параметров выражается термином 0-определяемый . Аналогично, интерпретацию с параметрами можно назвать просто интерпретацией, а интерпретацию без параметров — 0-интерпретацией .
Если L, M и N — три структуры, L интерпретируется в M, а M интерпретируется в N, то естественно можно построить составную интерпретацию L в N. Если две структуры M и N интерпретируются друг в друге, то по формуле комбинируя интерпретации двумя возможными способами, получают интерпретацию каждой из двух структур саму по себе. Это наблюдение позволяет определить отношение эквивалентности между структурами, напоминающее гомотопическую эквивалентность топологических пространств .
Две структуры M и N являются биинтерпретируемыми, если существуют интерпретация M в N и интерпретация N в M такие, что составные интерпретации M в себе и N в себе определимы в M и в N соответственно ( составные интерпретации рассматриваются как операции над M и над N ).
Частичное отображение f из Z × Z на Q , которое отображает ( x , y ) в x / y , если y ≠ 0, обеспечивает интерпретацию поля Q рациональных чисел в кольце Z целых чисел ( точнее, интерпретация имеет вид ( 2, е )). Фактически, эта конкретная интерпретация часто используется для определения рациональных чисел. Чтобы убедиться, что это интерпретация (без параметров), нужно проверить следующие прообразы определимых множеств в Q :
