Исключенная точечная топология

В математике топология исключенной точки — это топология , в которой исключение конкретной точки определяет открытость . Формально, пусть X — любое непустое множество и p ∈ X. Совокупность

${\displaystyle T=\{S\subseteq X:p\notin S\}\cup \{X\}}$

подмножеств X тогда является исключенной точечной топологией на X. Существует множество случаев, которые имеют индивидуальные названия :

• Если X имеет две точки, то оно называется пространством Серпинского . Этот случай несколько особый и рассматривается отдельно.
• Если X конечно (имеет не менее 3 точек), топология на X называется топологией конечной исключенной точки .
• Если X счетно бесконечно , то топология на X называется счетной исключенной топологией.
• Если X несчетно , то топология на X называется топологией несчетной исключенной точки.

Обобщением является топология открытого расширения ; если имеет дискретную топологию , то топология открытого расширения на является топологией исключенной точки. ${\displaystyle X\setminus \{p\}}$ ${\displaystyle (X\setminus \{p\})\cup \{p\}}$

Эта топология используется для предоставления интересных примеров и контрпримеров.

Характеристики

Пусть будет пространством с топологией исключенной точки с особой точкой ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p.}$

Пространство компактно , поскольку единственным соседством является все пространство. ${\displaystyle p}$

Топология — топология Александрова . Наименьшая окрестность — всё пространство, наименьшая окрестность точки — синглтон . Эти наименьшие окрестности компактны. Их замыкания — соответственно и , которые также компактны. Таким образом, пространство локально относительно компактно (каждая точка допускает локальную базу относительно компактных окрестностей) и локально компактно в том смысле, что каждая точка имеет локальную базу компактных окрестностей. Но точки не допускают локальную базу замкнутых компактных окрестностей. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle x\neq p}$ ${\displaystyle \{x\}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x,p\},}$ ${\displaystyle x\neq p}$

Пространство является ультрасвязным , так как любое непустое замкнутое множество содержит точку Поэтому пространство также связно и линейно связно . ${\displaystyle p.}$

Смотрите также

• Конечное топологическое пространство
• Форт-пространство
• Список топологий
• Конкретная точечная топология

Ссылки

• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, МР  0507446