stringtranslate.com

Принцип двузначности

В логике семантический принцип (или закон ) двузначности гласит, что каждое повествовательное предложение, выражающее суждение (проверяемой теории), имеет ровно одно истинностное значение : либо истинное , либо ложное . [1] [2] Логика, удовлетворяющая этому принципу, называется двузначной логикой [3] или двузначной логикой . [2] [4]

В формальной логике принцип двузначности становится свойством, которым семантика может обладать или не обладать. Однако это не то же самое, что закон исключенного третьего , и семантика может удовлетворять этому закону, не будучи двузначной. [2]

Принцип двузначности изучается в философской логике для решения вопроса о том, какие утверждения на естественном языке имеют четко определенное истинностное значение. Предложения, которые предсказывают события в будущем, и предложения, которые кажутся открытыми для интерпретации, особенно трудны для философов, которые считают, что принцип двузначности применим ко всем декларативным утверждениям на естественном языке. [2] Многозначные логики формализуют идеи о том, что реалистичная характеристика понятия следствия требует допустимости предпосылок, которые из-за неопределенности, временной или квантовой неопределенности или отсутствия ссылок не могут считаться классически двузначными. Отсутствие ссылок также может быть рассмотрено свободной логикой . [5]

Связь с законом исключенного третьего

Принцип бивалентности связан с законом исключенного третьего , хотя последний является синтаксическим выражением языка логики формы «P ∨ ¬P». Разница между принципом бивалентности и законом исключенного третьего важна, поскольку существуют логики, которые подтверждают закон, но не принцип. [2] Например, трехзначная Логика Парадокса (LP) подтверждает закон исключенного третьего, но не закон непротиворечивости , ¬(P ∧ ¬P), и ее предполагаемая семантика не является бивалентной. [6] В интуиционистской логике закон исключенного третьего не выполняется. В классической двузначной логике выполняются как закон исключенного третьего, так и закон непротиворечивости . [1]

Классическая логика

Предполагаемая семантика классической логики является двузначной, но это не относится ко всем семантическим конструкциям классической логики. В булевозначной семантике (для классической пропозициональной логики ) значения истинности являются элементами произвольной булевой алгебры , «истина» соответствует максимальному элементу алгебры, а «ложь» соответствует минимальному элементу. Промежуточные элементы алгебры соответствуют значениям истинности, отличным от «истина» и «ложь». Принцип двузначности выполняется только тогда, когда булева алгебра рассматривается как двухэлементная алгебра , не имеющая промежуточных элементов.

Назначение булевой семантики классическому исчислению предикатов требует, чтобы модель была полной булевой алгеброй , поскольку квантор всеобщности отображается в операцию инфимума , а квантор существования отображается в супремум ; [7] это называется булевозначной моделью . Все конечные булевы алгебры являются полными.

Диссертация Сушко

Чтобы оправдать свое утверждение о том, что истина и ложь являются единственными логическими значениями, Роман Сушко (1977) замечает, что каждая структурная многозначная пропозициональная логика Тарского может быть снабжена двухвалентной семантикой. [8]

Критика

Будущие контингенты

Известным примером [2] является случай условного морского сражения , описанный в труде Аристотеля « Об истолковании» , глава 9:

Представьте себе, что P относится к утверждению «Завтра состоится морское сражение».

Принцип бивалентности здесь утверждает:

Либо правда, что завтра произойдет морское сражение, либо ложь, что завтра произойдет морское сражение.

Аристотель отрицает принятие двузначности для таких будущих контингентов; [9] Хрисипп , стоический логик, принял двузначность для этого и всех других предложений. Спор продолжает иметь центральное значение как в философии времени , так и в философии логики . [ необходима цитата ]

Одной из ранних мотиваций для изучения многозначных логик была именно эта проблема. В начале 20-го века польский формальный логик Ян Лукасевич предложил три истинностных значения: истинное, ложное и пока еще неопределенное . Этот подход был позже развит Арендами Гейтингом и Л.Э. Брауэром ; [2] см. Логика Лукасевича .

Подобные вопросы также рассматривались в различных временных логиках , где можно утверждать, что « В конце концов , либо завтра произойдет морское сражение, либо его не произойдет». (Что верно, если «завтра» в конечном итоге наступит.)

Неопределенность

Такие головоломки, как парадокс Сорита и связанная с ним ошибка континуума, вызвали сомнения относительно применимости классической логики и принципа двузначности к концепциям, которые могут быть неопределенными в своем применении. Нечеткая логика и некоторые другие многозначные логики были предложены в качестве альтернатив, которые лучше справляются с неопределенными концепциями. Истина (и ложность) в нечеткой логике, например, приходит в разной степени. Рассмотрим следующее утверждение в обстоятельствах сортировки яблок на движущейся ленте:

Это яблоко красное. [10]

При наблюдении яблоко имеет неопределенный цвет между желтым и красным, или оно пятнистое в обоих цветах. Таким образом, цвет не попадает ни в категорию «красный», ни в категорию «желтый», но это единственные категории, доступные нам при сортировке яблок. Мы могли бы сказать, что оно «50% красное». Это можно перефразировать: на 50% верно, что яблоко красное. Следовательно, P на 50% верно и на 50% ложно. Теперь рассмотрим:

Это яблоко красное и не красное.

Другими словами, P и не-P. Это нарушает закон непротиворечия и, в более широком смысле, двузначность. Однако это лишь частичное отрицание этих законов, поскольку P является лишь частично истинным. Если бы P было на 100% истинным, не-P было бы на 100% ложным, и противоречия нет, поскольку P и не-P больше не выполняются.

Однако закон исключенного третьего сохраняется, поскольку P и не-P подразумевают P или не-P, поскольку "или" является включающим. Единственные два случая, когда P и не-P ложны (когда P на 100% истинно или ложно), являются теми же случаями, которые рассматриваются двузначной логикой, и применяются те же правила.

Пример 3-значной логики, применяемой к неопределенным (неопределенным) случаям : Kleene 1952 [11] (§64, стр. 332–340) предлагает 3-значную логику для случаев, когда алгоритмы, включающие частично рекурсивные функции, могут не возвращать значения, а скорее заканчиваться обстоятельствами "u" = неопределено. Он допускает "t" = "истина", "f" = "ложь", "u" = "неопределено" и перепроектирует все пропозициональные связки. Он замечает, что:

Мы были интуиционистски оправданы в использовании классической 2-значной логики, когда использовали связки при построении примитивных и общерекурсивных предикатов, поскольку для каждого общерекурсивного предиката существует процедура принятия решения; т. е. интуиционистски доказано, что закон исключенного третьего применим к общерекурсивным предикатам.

Теперь, если Q(x) является частично рекурсивным предикатом, то существует процедура принятия решения для Q(x) в его области определения, поэтому закон исключенного третьего или исключенного «третьего» (утверждающий, что Q(x) является либо t, либо f) применяется интуиционистски в области определения. Но может не быть алгоритма для принятия решения, заданного x, определен ли Q(x) или нет. [...] Следовательно, только классически, а не интуиционистски, у нас есть закон исключенного четвертого (утверждающий, что для каждого x Q(x) является либо t, f, либо u).

Третье «значение истинности» u, таким образом, не находится на одном уровне с двумя другими t и f в нашей теории. Рассмотрение его статуса покажет, что мы ограничены особым видом таблицы истинности».

Ниже приведены его «сильные таблицы»: [12]

Например, если невозможно определить, красное яблоко или некрасное, то истинностное значение утверждения Q: «Это яблоко красное» равно «u». Аналогично истинностное значение утверждения R «Это яблоко некрасное» равно «u». Таким образом, операция AND этих утверждений в утверждении Q AND R, то есть «Это яблоко красное И это яблоко некрасное», согласно таблицам, даст «u». А утверждение Q ИЛИ R, то есть «Это яблоко красное ИЛИ это яблоко некрасное», также даст «u».

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ab Lou Goble (2001). Руководство Блэквелла по философской логике. Wiley-Blackwell. стр. 309. ISBN 978-0-631-20693-4.
  2. ^ abcdefg Пол Томасси (1999). Логика. Routledge. стр. 124. ISBN 978-0-415-16696-6.
  3. ^ Лу Гобл (2001). Руководство Блэквелла по философской логике. Wiley-Blackwell. стр. 4. ISBN 978-0-631-20693-4.
  4. ^ Марк Хюрлиманн (2009). Работа со сложностью реального мира: ограничения, усовершенствования и новые подходы для политиков. Gabler Verlag. стр. 42. ISBN 978-3-8349-1493-4.
  5. ^ Дов М. Габбей; Джон Вудс (2007). Многозначный и немонотонный поворот в логике. Справочник по истории логики. Том 8. Elsevier. стр. vii. ISBN 978-0-444-51623-7.
  6. ^ Грэм Прист (2008). Введение в неклассическую логику: от if к is. Cambridge University Press. С. 124–125. ISBN 978-0-521-85433-7.
  7. ^ Мортен Хейне Соренсен; Павел Ужичин (2006). Лекции по изоморфизму Карри-Говарда. Эльзевир. стр. 206–207. ISBN 978-0-444-52077-7.
  8. ^ Шрамко, Ю.; Вансинг, Х. (2015). «Истинные ценности, Стэнфордская энциклопедия философии».
  9. ^ Джонс, Рассел Э. (2010). «Истина и противоречие в De Interpretatione 6-9 Аристотеля». Фронезис . 55 (1): 26–67. дои : 10.1163/003188610X12589452898804. JSTOR  20720827. S2CID  53398648 – через JSTOR.
  10. ^ Обратите внимание на использование (крайне) определенного артикля: «This» в отличие от более неопределенного «The». Если используется «The», его нужно сопровождать указательным жестом, чтобы сделать его определенным. Ff Principia Mathematica (2-е издание), стр. 91. Рассел и Уайтхед отмечают, что это «this» указывает на «что-то данное в ощущении» и как таковое должно считаться «элементарным».
  11. ↑ Стивен К. Клини 1952 Введение в метаматематику , 6-е переиздание 1971, North-Holland Publishing Company, Амстердам, штат Нью-Йорк, ISBN 0-7294-2130-9 . 
  12. ^ «Сильные таблицы» — это слова, выбранные Клини. Обратите внимание, что хотя «u» может появляться для значения Q или R, «t» или «f» могут в этих случаях появляться как значение в «QVR», «Q & R» и «Q → R». «Слабые таблицы», с другой стороны, являются «регулярными», то есть в них «u» появляется во всех случаях, когда значение «u» применяется либо к Q, либо к R, либо к обоим. Клини отмечает, что эти таблицы не совпадают с исходными значениями таблиц Лукасевича 1920 года. (Клин приводит эти различия на странице 335). Он также приходит к выводу, что «u» может означать любое или все из следующих: «неопределенный», «неизвестный (или значение несущественно)», «значение, игнорируемое на данный момент», т. е. это третья категория, которая (в конечном итоге) не исключает «t» и «f» (страница 335).

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки