Итерированная функция

Result of repeatedly applying a mathematical function

Итерированные преобразования объекта слева.
Сверху — поворот по часовой стрелке на 90°. Он имеет порядок 4, поскольку это наименьший положительный показатель, который производит тождество. Ниже — отображение сдвига с бесконечным порядком.
Ниже — их композиции , которые оба имеют порядок 3.

В математике итерируемая функция — это функция, которая получается путем составления другой функции с собой два или несколько раз. Процесс многократного применения одной и той же функции называется итерацией . В этом процессе, начиная с некоторого начального объекта, результат применения данной функции снова подается в функцию в качестве входных данных, и этот процесс повторяется.

Например, на изображении справа:

${\displaystyle L=F(K),\ M=F\circ F(K)=F^{2}(K).}$

Итеративные функции изучаются в информатике , фракталах , динамических системах , математике и физике ренормгруппы .

Определение

Ниже приведено формальное определение итерационной функции на множестве X.

Пусть X — множество, а f : X → X — функция .

Определим f ⁿ как n -ю итерацию f , где n — неотрицательное целое число, следующим образом: и $${\displaystyle f^{0}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~\operatorname {id} _{X}}$$ $${\displaystyle f^{n+1}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~f\circ f^{n},}$$

где id _X — это тождественная функция на X , а ( f g )( x ) = f ( g ( x )) ${\displaystyle \circ }$ обозначает композицию функций . Эта нотация восходит к Джону Фредерику Уильяму Гершелю в 1813 году. ^{[1] [2] [3] [4]} Гершель приписывал ее Гансу Генриху Бюрманну , но не давал конкретной ссылки на работу Бюрманна, которая остается нераскрытой. ^[5]

Поскольку обозначение f ⁿ может относиться как к итерации (композиции) функции f , так и к возведению в степень функции f (последнее обычно используется в тригонометрии ), некоторые математики ^{[ требуется ссылка ]} предпочитают использовать ∘ для обозначения композиционного значения, записывая f ^{∘ n} ( x ) для n -й итерации функции f ( x ) , как, например, f ^∘3 ( x ) означает f ( f ( f ( x ))) . Для той же цели f ^{[ n ]} ( x ) использовал Бенджамин Пирс ^{[6] [4] [примечание 1]} , тогда как Альфред Прингсхайм и Жюль Молк предложили вместо этого ⁿ f ( x ) . ^{[7] [4] [примечание 2]}

Абелево свойство и итерационные последовательности

В общем случае для всех неотрицательных целых чисел m и n справедливо следующее тождество :

${\displaystyle f^{m}\circ f^{n}=f^{n}\circ f^{m}=f^{m+n}~.}$

Это структурно идентично свойству возведения в степень : a ^m a ⁿ = a ^{m + n} .

В общем случае для произвольных общих (отрицательных, нецелых и т. д.) индексов m и n это соотношение называется уравнением функционального переноса , ср. уравнение Шредера и уравнение Абеля . В логарифмическом масштабе это сводится к свойству вложенности полиномов Чебышёва , T _m ( T _n ( x )) = T _{m n} ( x ) , поскольку T _n ( x ) = cos( n arccos( x )) .

Также справедливо соотношение ( f ^m ) ⁿ ( x ) = ( f ⁿ ) ^m ( x ) = f ^mn ( x ) , аналогичное свойству возведения в степень: ( a ^m ) ⁿ = ( a ⁿ ) ^m = a ^mn .

Последовательность функций f ⁿ называется последовательностью Пикара ^{[8] [9],} названной в честь Шарля Эмиля Пикара .

Для заданного x из X последовательность значений f ⁿ ( x ) называется орбитой x . ​

Если f ⁿ ( x ) = f ^{n + m} ( x ) для некоторого целого числа m > 0 , орбита называется периодической орбитой . Наименьшее такое значение m для заданного x называется периодом орбиты . Сама точка x называется периодической точкой . Задача обнаружения цикла в информатике — это алгоритмическая задача нахождения первой периодической точки на орбите и периода орбиты.

Фиксированные точки

Если x = f ( x ) для некоторого x из X (то есть период орбиты x равен 1 ), то x называется неподвижной точкой итерированной последовательности. Множество неподвижных точек часто обозначается как Fix ( f ) . Существует ряд теорем о неподвижных точках , которые гарантируют существование неподвижных точек в различных ситуациях, включая теорему Банаха о неподвижной точке и теорему Брауэра о неподвижной точке .

Существует несколько методов ускорения сходимости последовательностей, полученных с помощью итерации фиксированной точки . ^[10] Например, метод Эйткена, примененный к итерированной фиксированной точке, известен как метод Стеффенсена и обеспечивает квадратичную сходимость.

Ограничивающее поведение

При итерации можно обнаружить, что есть множества, которые сжимаются и сходятся к одной точке. В таком случае точка, к которой происходит сходимость, известна как притягивающая неподвижная точка . И наоборот, итерация может создать видимость точек, расходящихся от одной точки; это будет иметь место для нестабильной неподвижной точки . ^[11]

Когда точки орбиты сходятся к одному или нескольким пределам, множество точек накопления орбиты известно как предельное множество или ω-предельное множество .

Идеи притяжения и отталкивания обобщаются аналогичным образом; можно разделить итерации на устойчивые и неустойчивые множества в соответствии с поведением малых окрестностей при итерации. См. также бесконечные композиции аналитических функций .

Возможны и другие ограничивающие поведения; например, блуждающие точки — это точки, которые перемещаются и никогда не возвращаются даже близко к тому месту, где они находились в начальной точке.

Инвариантная мера

Если рассматривать эволюцию распределения плотности, а не динамику отдельных точек, то предельное поведение задается инвариантной мерой . Ее можно визуализировать как поведение облака точек или пылевого облака при повторяющейся итерации. Инвариантная мера является собственным состоянием оператора Рюэля-Фробениуса-Перрона или оператора переноса , соответствующим собственному значению 1. Меньшие собственные значения соответствуют нестабильным, распадающимся состояниям.

В общем, поскольку повторная итерация соответствует сдвигу, оператор переноса и его сопряженный оператор Купмана могут быть интерпретированы как операторы сдвига, действующие на сдвиговом пространстве . Теория подсдвигов конечного типа дает общее представление о многих итерируемых функциях, особенно тех, которые приводят к хаосу.

Дробные итерации и потоки, а также отрицательные итерации

g : R → R является тривиальным функциональным корнем 5-й степени из f : R ⁺ → R ⁺ , f ( x ) = sin( x ) . Показановычисление f ( π ⁄ 6 ) = 1 ⁄ 2 = g ⁵ ( π ⁄ 6 ).

Понятие f ^{1/ n} следует использовать с осторожностью, когда уравнение g ⁿ ( x ) = f ( x ) имеет несколько решений, что обычно и происходит, как в уравнении Бэббиджа функциональных корней тождественного отображения. Например, для n = 2 и f ( x ) = 4 x − 6 оба g ( x ) = 6 − 2 x и g ( x ) = 2 x − 2 являются решениями; поэтому выражение f ^1/2 ( x ) не обозначает уникальную функцию, так же как числа имеют несколько алгебраических корней. Тривиальный корень f всегда можно получить, если область определения f может быть достаточно расширена, см. рисунок. Выбранные корни обычно принадлежат исследуемой орбите.

Дробная итерация функции может быть определена: например, половинная итерация функции f — это функция g, такая что g ( g ( x )) = f ( x ) . ^[12] Эта функция g ( x ) может быть записана с использованием индексной нотации как f ^1/2 ( x ) . Аналогично, f ^1/3 ( x ) — это функция, определенная таким образом, что f ^1/3 ( f ^1/3 ( f ^1/3 ( x ))) = f ( x ) , в то время как f ^2/3 ( x ) может быть определена как равная f ^1/3 ( f ^1/3 ( x )) , и так далее, все основано на принципе, упомянутом ранее, что f ^m ○ f ⁿ = f ^{m + n} . Эту идею можно обобщить так, что количество итераций n станет непрерывным параметром , своего рода непрерывным «временем» непрерывной орбиты . ^{[13] [14]}

В таких случаях систему называют потоком ( см. раздел о сопряженности ниже).

Если функция биективна (и, следовательно, обладает обратной функцией), то отрицательные итерации соответствуют обратным функциям и их композициям. Например, f ⁻¹ ( x ) является нормальной обратной функцией f , в то время как f ⁻² ( x ) является обратной функцией, составленной самой с собой, т. е. f ⁻² ( x ) = f ⁻¹ ( f ⁻¹ ( x )) . Дробные отрицательные итерации определяются аналогично дробным положительным; например, f ^−1/2 ( x ) определяется таким образом, что f ^−1/2 ( f ^−1/2 ( x )) = f ⁻¹ ( x ) , или, что эквивалентно, таким образом, что f ^−1/2 ( f ^1/2 ( x )) = f ⁰ ( x ) = x .

Некоторые формулы для дробной итерации

Один из нескольких методов нахождения формулы ряда для дробной итерации с использованием фиксированной точки заключается в следующем. ^[15]

1. Сначала определите неподвижную точку для функции, такую, что f ( a ) = a .
2. Определим f ⁿ ( a ) = a для всех n, принадлежащих действительным числам. Это, в некотором смысле, наиболее естественное дополнительное условие для дробных итераций.
3. Разложим f ⁿ ( x ) вокруг неподвижной точки a в ряд Тейлора , $${\displaystyle f^{n}(x)=f^{n}(a)+(x-a)\left.{\frac {d}{dx}}f^{n}(x)\right|_{x=a}+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}\left.{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f^{n}(x)\right|_{x=a}+\cdots }$$
4. Расширить $${\displaystyle f^{n}(x)=f^{n}(a)+(x-a)f'(a)f'(f(a))f'(f^{2}(a))\cdots f'(f^{n-1}(a))+\cdots }$$
5. Подставим вместо f ^k ( a ) = a , для любого k , $${\displaystyle f^{n}(x)=a+(x-a)f'(a)^{n}+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(f''(a)f'(a)^{n-1})\left(1+f'(a)+\cdots +f'(a)^{n-1}\right)+\cdots }$$
6. Воспользуйтесь геометрической прогрессией для упрощения терминов. Существует особый случай, когда f '(a) = 1 , $${\displaystyle f^{n}(x)=a+(x-a)f'(a)^{n}+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(f''(a)f'(a)^{n-1}){\frac {f'(a)^{n}-1}{f'(a)-1}}+\cdots }$$ $${\displaystyle f^{n}(x)=x+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(nf''(a))+{\frac {(x-a)^{3}}{6}}\left({\frac {3}{2}}n(n-1)f''(a)^{2}+nf'''(a)\right)+\cdots }$$

Это можно продолжать бесконечно, хотя и неэффективно, поскольку последние термины становятся все более сложными. Более систематическая процедура изложена в следующем разделе о сопряженности .

Пример 1

Например, установив f ( x ) = Cx + D, получим неподвижную точку a = D /(1 − C ) , поэтому приведенная выше формула заканчивается на , что легко проверить. $${\displaystyle f^{n}(x)={\frac {D}{1-C}}+\left(x-{\frac {D}{1-C}}\right)C^{n}=C^{n}x+{\frac {1-C^{n}}{1-C}}D~,}$$

Пример 2

Найдите значение , где это сделано n раз (и, возможно, интерполированные значения, когда n не является целым числом). Имеем f ( x ) = √ 2 ^x . Неподвижная точка — это a = f (2) = 2 . ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdots }}}}$

Итак, установим x = 1 и f ⁿ (1) , расширенную вокруг значения фиксированной точки 2, получим бесконечный ряд, который, если брать только первые три члена, верен до первого десятичного знака, когда n положительно. См. также Тетрация : f ⁿ (1) = ⁿ √ 2 . Использование другой фиксированной точки a = f (4) = 4 приводит к тому, что ряд расходится. $${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdots }}}=f^{n}(1)=2-(\ln 2)^{n}+{\frac {(\ln 2)^{n+1}((\ln 2)^{n}-1)}{4(\ln 2-1)}}-\cdots }$$

При n = −1 ряд вычисляет обратную функцию ⁠2+ln x/в 2⁠ .

Пример 3

Используя функцию f ( x ) = x ^b , разложим ее вокруг фиксированной точки 1, чтобы получить ряд , который является просто рядом Тейлора функции x ^{( b n ),} разложенной вокруг 1. $${\displaystyle f^{n}(x)=1+b^{n}(x-1)+{\frac {1}{2}}b^{n}(b^{n}-1)(x-1)^{2}+{\frac {1}{3!}}b^{n}(b^{n}-1)(b^{n}-2)(x-1)^{3}+\cdots ~,}$$

Спряжение

Если f и g — две итерированные функции и существует гомеоморфизм h такой, что g = h ⁻¹ ○ f ○ h , то f и g называются топологически сопряженными .

Очевидно, топологическая сопряженность сохраняется при итерации, так как g ⁿ  =  h ⁻¹  ○  f ⁿ ○ h . Таким образом, если можно решить для одной итерированной системы функций, то также есть решения для всех топологически сопряженных систем. Например, отображение палатки топологически сопряжено с логистическим отображением . В качестве особого случая, взяв f ( x ) = x  + 1 , мы имеем итерацию g ( x ) = h ⁻¹ ( h ( x ) + 1) как

g ⁿ ( x ) = h ⁻¹ ( h ( x ) +  n ) для любой функции h .

Сделав замену x = h ⁻¹ ( y ) = ϕ ( y ), получим

g ( ϕ ( y )) = ϕ ( y +1) , форма, известная как уравнение Абеля .

Даже при отсутствии строгого гомеоморфизма вблизи фиксированной точки, здесь взятой за x = 0, f (0) = 0, часто можно решить ^[16] уравнение Шредера для функции Ψ, что делает f ( x ) локально сопряженной с простым растяжением, g ( x ) = f '(0) x , то есть

ж ( Икс ) знак равно Ψ ^-1 ( ж '(0) Ψ( Икс )) .

Таким образом, его итерационная орбита, или поток, при соответствующих условиях (например, f '(0) ≠ 1 ), представляет собой сопряженную орбиту монома,

Ψ ⁻¹ ( f '(0) ⁿ Ψ( x )) ,

где n в этом выражении служит в качестве простого показателя степени: функциональная итерация была сведена к умножению! Здесь, однако, показатель степени n больше не должен быть целым или положительным, и является непрерывным «временем» эволюции для полной орбиты: ^[17] моноид последовательности Пикара (ср. полугруппа преобразований ) обобщился до полной непрерывной группы . ^[18]

Итерации функции синуса ( синяя ) в первом полупериоде. Полуитерация ( оранжевая ), т. е. функциональный квадратный корень синуса; функциональный квадратный корень этого, четвертная итерация (черная) над ней; и дальнейшие дробные итерации до 1/64. Функции ниже ( синего ) синуса представляют собой шесть целых итераций под ним, начиная со второй итерации ( красной ) и заканчивая 64-й итерацией. Зеленый огибающий треугольник представляет собой предельную нулевую итерацию, пилообразная функция служит отправной точкой, ведущей к функции синуса. Пунктирная линия представляет собой отрицательную первую итерацию, т. е. обратную синусу (arcsin). (С веб-сайта общей педагогики. ^[19] Для обозначения см. [2].)

Этот метод (пертурбативное определение главной собственной функции Ψ, ср. матрицу Карлемана ) эквивалентен алгоритму предыдущего раздела, хотя на практике более мощный и систематический.

цепи Маркова

Если функция линейна и может быть описана стохастической матрицей , то есть матрицей, сумма строк или столбцов которой равна единице, то итеративная система известна как цепь Маркова .

Примеры

Существует множество хаотических отображений . Известные итерационные функции включают множество Мандельброта и итерационные системы функций .

Эрнст Шредер ^[20] в 1870 году разработал особые случаи логистического отображения , такие как хаотический случай f ( x ) = 4 x (1 − x ) , так что Ψ( x ) = arcsin( √ x ) ² , следовательно, f ⁿ ( x ) = sin(2 ⁿ arcsin( √ x )) ² .

Нехаотический случай, который Шредер также проиллюстрировал своим методом, f ( x ) = 2 x (1 − x ) , дал Ψ( x ) = − ⁠1/2⁠ ln(1 − 2 x ) , и, следовательно, f ⁿ ( x ) = − ⁠1/2⁠ ((1 − 2 x ) ^{2 n} − 1) .

Если f — действие элемента группы на множество, то итерированная функция соответствует свободной группе .

Большинство функций не имеют явных общих выражений замкнутой формы для n -й итерации. В таблице ниже перечислены некоторые ^[20] , которые имеют. Обратите внимание, что все эти выражения действительны даже для нецелых и отрицательных n , а также неотрицательных целых n .

Примечание: эти два особых случая ax ² + bx + c являются единственными случаями, имеющими решение в замкнутой форме. Выбор b = 2 = – a и b = 4 = – a , соответственно, еще больше сводит их к нехаотическим и хаотическим логистическим случаям, обсуждавшимся до таблицы.

Некоторые из этих примеров связаны между собой простыми сопряжениями.

Средства обучения

Итерированные функции можно изучать с помощью дзета-функции Артина–Мазура и операторов переноса .

В области компьютерных наук

В информатике итеративные функции являются частным случаем рекурсивных функций , которые, в свою очередь, лежат в основе изучения таких широких тем, как лямбда-исчисление , или более узких, таких как денотационная семантика компьютерных программ.

Определения в терминах итерационных функций

Два важных функционала можно определить в терминах итерационных функций. Это суммирование :

${\displaystyle \left\{b+1,\sum _{i=a}^{b}g(i)\right\}\equiv \left(\{i,x\}\rightarrow \{i+1,x+g(i)\}\right)^{b-a+1}\{a,0\}}$

и эквивалентный продукт:

${\displaystyle \left\{b+1,\prod _{i=a}^{b}g(i)\right\}\equiv \left(\{i,x\}\rightarrow \{i+1,xg(i)\}\right)^{b-a+1}\{a,1\}}$

Функциональная производная

Функциональная производная итерированной функции определяется рекурсивной формулой:

${\displaystyle {\frac {\delta f^{N}(x)}{\delta f(y)}}=f'(f^{N-1}(x)){\frac {\delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)}}+\delta (f^{N-1}(x)-y)}$

Уравнение переноса данных Ли

Итеративные функции возникают при разложении в ряд комбинированных функций, таких как g ( f ( x )) .

Учитывая скорость итерации , или бета-функцию (физика) ,

${\displaystyle v(x)=\left.{\frac {\partial f^{n}(x)}{\partial n}}\right|_{n=0}}$

для n ^-й итерации функции f имеем ^[22]

${\displaystyle g(f(x))=\exp \left[v(x){\frac {\partial }{\partial x}}\right]g(x).}$

Например, для жесткой адвекции, если f ( x ) = x + t , то v ( x ) = t . Следовательно, g ( x + t ) = exp( t ∂/∂ x ) g ( x ) , действие простым оператором сдвига .

И наоборот, можно определить f ( x ) при произвольном v ( x ) с помощью общего уравнения Абеля , рассмотренного выше,

${\displaystyle f(x)=h^{-1}(h(x)+1),}$

где

${\displaystyle h(x)=\int {\frac {1}{v(x)}}\,dx.}$

Это очевидно, если отметить, что

${\displaystyle f^{n}(x)=h^{-1}(h(x)+n)~.}$

Для непрерывного индекса итерации t , теперь записанного как нижний индекс, это равнозначно знаменитой экспоненциальной реализации Ли непрерывной группы,

${\displaystyle e^{t~{\frac {\partial ~~}{\partial h(x)}}}g(x)=g(h^{-1}(h(x)+t))=g(f_{t}(x)).}$

Начальная скорость потока v достаточна для определения всего потока, учитывая эту экспоненциальную реализацию, которая автоматически обеспечивает общее решение уравнения функционального переноса , ^[23]

${\displaystyle f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x)~.}$

Смотрите также

• Иррациональное вращение
• Система итерированных функций
• Итеративный метод
• Номер вращения
• Теорема Сарковского
• Дробное исчисление
• Рекуррентное соотношение
• Уравнение Шредера
• Функциональный квадратный корень
• функция Абеля
• Уравнение Шредера
• Уравнение Бёттхера
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Поток (математика)
• Тетрация
• Функциональное уравнение

Примечания

1. в то время как f ^{( n )} берется для n- й производной
2. ⁿ f ( x ) Альфреда Прингсхайма и Жюля Молька (1907) для обозначения композиций функций не следует путать с обозначением ⁿ x Рудольфа фон Биттера Рюккера (1982) , введенным Гансом Маурером (1901) и Рубеном Луисом Гудштейном (1947) для тетрации , или с обозначением ⁿ x с предварительным надстрочным индексом для корней Дэвида Паттерсона Эллермана (1995) .

Ссылки

1. Гершель, Джон Фредерик Уильям (1813) [1812-11-12]. «О замечательном применении теоремы Котеса». Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 103 (часть 1). Лондон: Royal Society of London , напечатано W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, продано G. and W. Nicol, Pall-Mall: 8–26 [10]. doi : 10.1098/rstl.1813.0005 . JSTOR  107384. S2CID  118124706.
2. Гершель, Джон Фредерик Уильям (1820). «Часть III. Раздел I. Примеры прямого метода разностей». Сборник примеров приложений исчисления конечных разностей . Кембридж, Великобритания: напечатано Дж. Смитом, продано Дж. Дейтоном и сыновьями. стр. 1–13 [5–6]. Архивировано из оригинала 2020-08-04 . Получено 2020-08-04 .[1] (Примечание. Здесь Гершель ссылается на свою работу 1813 года и упоминает более раннюю работу Ганса Генриха Бюрмана .)
3. Пеано, Джузеппе (1903). Formulaire mathématique (на французском языке). Том. IV. п. 229.
4. Cajori, Florian (1952) [март 1929]. "§472. Степень логарифма / §473. Повторные логарифмы / §533. Нотация Джона Гершеля для обратных функций / §535. Сохранение конкурирующих нотаций для обратных функций / §537. Степени тригонометрических функций". История математических обозначений. Т. 2 (3-е исправленное издание выпуска 1929 года, 2-е изд.). Чикаго, США: Open court publishing company . стр. 108, 176–179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Получено 2016-01-18 . […] §473. Повторные логарифмы […] Здесь мы отмечаем символику, использованную Прингсхаймом и Мольком в их совместной статье в Encyclopédie : « ² log _b  a = log _b (log _b  a ), …, ^{k +1} log _b  a = log _b ( ^k log _b  a )». ^[a] […] §533. Обозначение Джона Гершеля для обратных функций, sin ⁻¹  x , tan ⁻¹  x и т. д., было опубликовано им в Philosophical Transactions of London за 1813 год. Он говорит (стр. 10): «Эту запись cos. ⁻¹  e не следует понимать как обозначение 1/cos.  e , но то, что обычно записывается так, arc (cos.= e )». Он признает, что некоторые авторы используют cos. ^m  A вместо (cos.  A ) ^m , но он оправдывает свою собственную нотацию, указывая, что поскольку d ²  x , Δ ³  x , Σ ²  x означают dd  x , ΔΔΔ  x , ΣΣ  x , мы должны писать sin. ²  x вместо sin. sin.  x , log. ³  x вместо log. log. log.  x . Так же, как мы пишем d ^{− n}  V=∫ ⁿ  V , мы можем аналогично записать sin. ⁻¹  x =arc (sin.= x ), log. ⁻¹  x .=c ^​​x . Несколько лет спустя Гершель объяснил, что в 1813 году он использовал f ⁿ ( x ), f ^{− n} ( x ), sin. ⁻¹  x и т. д., «как он тогда впервые предположил. Однако в течение этих нескольких месяцев ему стала известна работа немецкого аналитика Бурманна , в которой то же самое объясняется в значительно более раннюю дату. Однако он [Бурманн], похоже, не заметил удобства применения этой идеи к обратным функциям tan ⁻¹и т. д., и он, по-видимому, вообще не знаком с обратным исчислением функций, которое оно порождает». Гершель добавляет: «Симметрия этой нотации и, прежде всего, новые и самые обширные взгляды, которые она открывает на природу аналитических операций, по-видимому, оправдывают ее всеобщее принятие». ^[b] […] §535. Сохранение конкурирующих нотаций для обратной функции. — […] Использование нотаций Гершеля претерпело небольшие изменения в книгах Бенджамина Пирса , чтобы устранить главное возражение против них; Пирс писал: «cos ^[−1]  x », «log ^[−1]  x ». ^[c] […] §537. Степени тригонометрических функций. — Для обозначения, скажем, квадрата sin x использовались три основных нотации  , а именно, (sin  x ) ² , sin  x ² , sin ²  x . В настоящее время преобладающей нотацией является sin ²  x , хотя первая из них, по всей вероятности, быть неверно истолкована. В случае sin ²  x напрашиваются две интерпретации; во-первых, sin  x ⋅ sin  x ; во-вторых, ^[d] sin (sin  x ). Поскольку функции последнего типа обычно не встречаются, опасность неверной интерпретации гораздо меньше, чем в случае log ²  x , где log  x ⋅ log  x и log (log  x ) часто встречаются в анализе. […] Обозначение sin ⁿ  x для (sin  x ) ⁿ широко использовалось и в настоящее время является преобладающим. […](xviii+367+1 страниц, включая 1 страницу приложений) (Примечание. ISBN и ссылка на переиздание 2-го издания Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)
5. Гулик, Денни; Форд, Джефф (2024). Встречи с хаосом и фракталами (3-е изд.). CRC Press. стр. 2. ISBN 9781003835776.
6. Пирс, Бенджамин (1852). Кривые, функции и силы . Т. I (новое издание). Бостон, США. С. 203.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
7. Прингсхайм, Альфред ; Молк, Жюль (1907). Энциклопедия чистых и прикладных математических наук (на французском языке). Том. И. п. 195. Часть I.
8. Кучма, Марек (1968). Функциональные уравнения с одной переменной . Монография Математическая. Варшава: PWN – Польское научное издательство.
9. Kuczma, M., Choczewski B., and Ger, R. (1990). Итеративные функциональные уравнения . Cambridge University Press. ISBN 0-521-35561-3.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
10. Карлесон, Л.; Гамелен, TDW (1993). Сложная динамика . Университетский текст: Трактаты по математике. Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-97942-5.
11. Истратеску, Василе (1981). Теория неподвижной точки, Введение , Д. Рейдель, Голландия. ISBN 90-277-1224-7 . 
12. "Нахождение f, такого что f(f(x))=g(x) при заданном g". MathOverflow .
13. Aldrovandi, R.; Freitas, LP (1998). "Непрерывная итерация динамических отображений". J. Math. Phys . 39 (10): 5324. arXiv : physics/9712026 . Bibcode : 1998JMP....39.5324A. doi : 10.1063/1.532574. hdl : 11449/65519 . S2CID  119675869.
14. Берколайко, Г.; Рабинович, С.; Хавлин, С. (1998). «Анализ представления Карлемана аналитических рекурсий». J. Math. Anal. Appl . 224 : 81–90. doi : 10.1006/jmaa.1998.5986 .
15. "Tetration.org".
16. Кимура, Тосихуса (1971). «Об итерации аналитических функций», Funkcialaj Ekvacioj Архивировано 26.04.2012 на Wayback Machine 14 , 197-238.
17. Curtright, TL ; Zachos, CK (2009). "Профили эволюции и функциональные уравнения". Journal of Physics A . 42 (48): 485208. arXiv : 0909.2424 . Bibcode :2009JPhA...42V5208C. doi :10.1088/1751-8113/42/48/485208. S2CID  115173476.
18. Для явного примера, пример 2 выше сводится просто к f ⁿ ( x ) = Ψ ⁻¹ ((ln 2) ⁿ Ψ( x )) , для любого n , не обязательно целого, где Ψ является решением соответствующего уравнения Шредера , Ψ( √ 2 ^x ) = ln 2 Ψ( x ) . Это решение также является бесконечным пределом m для ( f ^m ( x ) − 2)/(ln 2) ^m .
19. Куртрайт, Т.Л. Эволюционные поверхности и функциональные методы Шредера.
20. Шредер, Эрнст (1870). "Ueber iterirte Functionen". Математика. Энн . 3 (2): 296–322. дои : 10.1007/BF01443992. S2CID  116998358.
21. Бранд, Луис, «Последовательность, определяемая разностным уравнением», American Mathematical Monthly 62 , сентябрь 1955 г., стр. 489–492. онлайн
22. Берксон, Э.; Порта, Х. (1978). «Полугруппы аналитических функций и операторы композиции». The Michigan Mathematical Journal . 25 : 101–115. doi : 10.1307/mmj/1029002009 . Curtright, TL; Zachos, CK (2010). "Хаотические отображения, гамильтоновы потоки и голографические методы". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 43 (44): 445101. arXiv : 1002.0104 . Bibcode :2010JPhA...43R5101C. doi :10.1088/1751-8113/43/44/445101. S2CID  115176169.
23. Aczel, J. (2006), Лекции по функциональным уравнениям и их приложениям (Dover Books on Mathematics, 2006), Гл. 6, ISBN 978-0486445236 . 

Внешние ссылки

• Гилл, Джон (январь 2017 г.). «Учебник по элементарной теории бесконечных композиций комплексных функций». Университет штата Колорадо.