В абстрактной алгебре каждая подгруппа циклической группы является циклической. Более того, для конечной циклической группы порядка n порядок каждой подгруппы является делителем n , и для каждого делителя существует ровно одна подгруппа. [1] [2] Этот результат был назван основной теоремой циклических групп . [3] [4]
Для любой конечной группы G порядка n следующие утверждения эквивалентны:
Если одно из них (и, следовательно, оба) истинны, то отсюда следует, что существует ровно одна подгруппа порядка d для любого делителя n . Это утверждение известно под разными названиями, такими как характеристика подгруппами . [5] [6] [7] (См. также циклическую группу для некоторой характеристики.)
Существуют конечные группы, отличные от циклических групп, со свойством, что все собственные подгруппы являются циклическими; группа Клейна является примером. Однако группа Клейна имеет более одной подгруппы порядка 2, поэтому она не удовлетворяет условиям характеризации.
Бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной подгруппе Z целых чисел. Для каждого целого числа d (состоящего из кратных d ) существует одна подгруппа d Z , и за исключением тривиальной группы (порождённой d = 0) каждая такая подгруппа сама по себе является бесконечной циклической группой. Поскольку бесконечная циклическая группа является свободной группой с одним порождающим элементом (а тривиальная группа является свободной группой без порождающих элементов), этот результат можно рассматривать как частный случай теоремы Нильсена–Шрайера о том, что каждая подгруппа свободной группы сама по себе свободна. [8]
Основная теорема для конечных циклических групп может быть установлена из той же теоремы для бесконечных циклических групп, если рассматривать каждую конечную циклическую группу как фактор-группу бесконечной циклической группы. [8]
Как в конечном, так и в бесконечном случае решетка подгрупп циклической группы изоморфна двойственной решетке делимости . В конечном случае решетка подгрупп циклической группы порядка n изоморфна двойственной решетке делителей n , с подгруппой порядка n / d для каждого делителя d . Подгруппа порядка n / d является подгруппой подгруппы порядка n / e тогда и только тогда, когда e является делителем d . Решетка подгрупп бесконечной циклической группы может быть описана таким же образом, как двойственная решетке делимости всех положительных целых чисел. Если бесконечная циклическая группа представлена как аддитивная группа на целых числах, то подгруппа, порожденная d , является подгруппой подгруппы, порожденной e , тогда и только тогда, когда e является делителем d . [8]
Решетки делимости являются дистрибутивными решетками , и, следовательно, таковыми являются решетки подгрупп циклических групп. Это дает еще одну альтернативную характеристику конечных циклических групп: они являются в точности конечными группами, решетки подгрупп которых дистрибутивны. В более общем смысле, конечно порожденная группа является циклической тогда и только тогда, когда ее решетка подгрупп дистрибутивна, а произвольная группа является локально циклической тогда и только тогда, когда ее решетка подгрупп дистрибутивна. [9] Аддитивная группа рациональных чисел дает пример группы, которая является локально циклической и которая имеет дистрибутивную решетку подгрупп, но сама не является циклической.