В математике кардинал Рамсея — это определенный вид большого кардинального числа, введенный Эрдёшем и Хайналом (1962) и названный в честь Фрэнка П. Рамсея , чья теорема, называемая теоремой Рамсея, устанавливает, что ω обладает определенным свойством, которое кардиналы Рамсея обобщают на несчетный случай.
Пусть [ κ ] <ω обозначает множество всех конечных подмножеств κ . Кардинальное число κ называется числом Рамсея, если для каждой функции
существует множество A мощности κ , однородное для f . То есть, для каждого n функция f постоянна на подмножествах мощности n из A . Кардинал κ называется невыразимо рамсеевским, если A можно выбрать в качестве стационарного подмножества κ . Кардинал κ называется виртуально рамсеевским, если для каждой функции
существует C , замкнутое и неограниченное подмножество κ , так что для каждого λ из C несчетной конфинальности существует неограниченное подмножество λ , однородное для f ; немного слабее понятие почти Рамсея , где однородные множества для f требуются с типом порядка λ для каждого λ < κ .
Существование любого из этих видов кардинала Рамсея достаточно для доказательства существования 0 # , или того, что каждое множество с рангом меньше κ имеет диез . Это, в свою очередь, подразумевает ложность Аксиомы конструктивности Курта Гёделя .
Каждый измеримый кардинал является кардиналом Рамсея, а каждый кардинал Рамсея является кардиналом Роуботтома .
Промежуточным по силе свойством между рамсеевостью и измеримостью является существование κ -полного нормального неглавного идеала I на κ такого, что для любого A ∉ I и для любой функции
существует множество B ⊂ A, не лежащее в I , которое однородно для f . Это строго сильнее, чем κ, являющееся невыразимо Рамсеевским.
Регулярный кардинал κ является рамсеевским тогда и только тогда, когда [1] [ требуется лучший источник ] для любого множества A ⊂ κ существует транзитивное множество M ⊨ ZFC - (т.е. ZFC без аксиомы степенного множества) размера κ с A ∈ M и неглавный ультрафильтр U на булевой алгебре P(κ) ∩ M такие, что: