Карта восстановления Petz

В квантовой теории информации , смеси квантовой механики и теории информации , карту восстановления Petz можно рассматривать как квантовый аналог теоремы Байеса . Предложенная Денесом Петцем ^[1], карта восстановления Petz представляет собой квантовый канал, связанный с заданным квантовым каналом и квантовым состоянием. Эта карта восстановления разработана таким образом, что при применении к выходному состоянию, полученному в результате воздействия заданного квантового канала на входное состояние, она позволяет сделать вывод об исходном входном состоянии. По сути, карта восстановления Petz служит инструментом для восстановления информации об исходном квантовом состоянии из его преобразованного аналога под влиянием указанного квантового канала.

Карта восстановления Petz находит применение в различных областях, включая квантовую ретродикцию, ^[2] квантовую коррекцию ошибок ^[3] и реконструкцию клина запутывания для физики черных дыр. ^{[4] [5]}

Определение

Предположим, что у нас есть квантовое состояние, которое описывается оператором плотности и квантовым каналом , карта восстановления Петца определяется как ^{[1] ​​[6]} ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\sigma ,{\mathcal {E}}}(\rho )=\sigma ^{1/2}{\mathcal {E}}^{\dagger }({\mathcal {E}}(\sigma )^{-1/2}\rho {\mathcal {E}}(\sigma )^{-1/2})\sigma ^{1/2}.}$

Обратите внимание, что является сопряженным по Гильберту-Шмидту оператором . ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Карта Петца была обобщена различными способами в области квантовой теории информации. ^{[7] [8]}

Свойства карты восстановления Petz

Важнейшим свойством карты восстановления Петца является ее способность в определенных случаях функционировать как квантовый канал, что делает ее важнейшим инструментом в квантовой теории информации.

1. Карта восстановления Петца является полностью положительной картой , поскольку (i) сэндвич с положительным полуопределенным оператором полностью положителен; (ii) также полностью положителен, когда полностью положителен; и (iii) сэндвич с положительным полуопределенным оператором полностью положителен. ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma )^{-1/2}(\cdot ){\mathcal {E}}(\sigma )^{-1/2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \sigma ^{1/2}(\cdot )\sigma ^{1/2}}$
2. Также ясно, что это след невозрастающий, так как ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\sigma ,{\mathcal {E}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} \left[{\mathcal {P}}_{\sigma ,{\mathcal {N}}}(X)\right]&=\operatorname {Tr} \left[\sigma ^{\frac {1}{2}}{\mathcal {E}}^{\dagger }\left({\mathcal {E}}(\sigma )^{-{\frac {1}{2}}}X{\mathcal {E}}(\sigma )^{-{\frac {1}{2}}}\right)\sigma ^{\frac {1}{2}}\right]\\&=\operatorname {Tr} \left[\sigma {\mathcal {E}}^{\dagger }\left({\mathcal {E}}(\sigma )^{-{\frac {1}{2}}}X{\mathcal {E}}(\sigma )^{-{\frac {1}{2}}}\right)\right]\\&=\operatorname {Tr} \left[{\mathcal {E}}(\sigma ){\mathcal {E}}(\sigma )^{-{\frac {1}{2}}}X{\mathcal {E}}(\sigma )^{-{\frac {1}{2}}}\right]\\&=\operatorname {Tr} \left[{\mathcal {E}}(\sigma )^{-{\frac {1}{2}}}{\mathcal {E}}(\sigma ){\mathcal {E}}(\sigma )^{-{\frac {1}{2}}}X\right]\\&=\operatorname {Tr} \left[\Pi _{{\mathcal {E}}(\sigma )}X\right]\\&\leq \operatorname {Tr} [X]\end{aligned}}}$

Из 1 и 2, когда является обратимым, карта восстановления Петца представляет собой квантовый канал, а именно, карту, сохраняющую полностью положительный след (CPTP). ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\sigma ,{\mathcal {E}}}}$

Ссылки

1. Petz, Dénes (1986-03-01). "Достаточные подалгебры и относительная энтропия состояний алгебры фон Неймана" (PDF) . Communications in Mathematical Physics . 105 (1): 123–131. Bibcode :1986CMaPh.105..123P. doi :10.1007/BF01212345. ISSN  1432-0916. S2CID  18836173.
2. Лейфер, М.С.; Спеккенс, Роберт В. (2013-11-27). «К формулировке квантовой теории как каузально нейтральной теории байесовского вывода». Physical Review A. 88 ( 5): 052130. arXiv : 1107.5849 . Bibcode : 2013PhRvA..88e2130L. doi : 10.1103/PhysRevA.88.052130. S2CID  43563970.
3. Фуруя, Кейитиро; Лашкари, Нима; Усеф, Шой (27 января 2022 г.). «РГ реального пространства, коррекция ошибок и карта Петца». Журнал физики высоких энергий . 2022 (1): 170. Бибкод : 2022JHEP...01..170F. дои : 10.1007/JHEP01(2022)170 . ISSN  1029-8479.
4. Чен, Чи-Фан; Пенингтон, Джеффри; Солтон, Грант (28.01.2020). «Реконструкция клина запутанности с использованием карты Петца». Журнал физики высоких энергий . 2020 (1): 168. arXiv : 1902.02844 . Bibcode : 2020JHEP...01..168C. ​​doi : 10.1007/JHEP01(2020)168. ISSN  1029-8479.
5. Котлер, Джордан; Хейден, Патрик; Пенингтон, Джеффри; Солтон, Грант; Суингл, Брайан; Уолтер, Майкл (2019-07-24). "Реконструкция клина запутывания через универсальные каналы восстановления". Physical Review X. 9 ( 3): 031011. arXiv : 1704.05839 . Bibcode : 2019PhRvX...9c1011C. doi : 10.1103/PhysRevX.9.031011.
6. Хатри, Сумит; Уайлд, Марк М. (2024-02-11), Принципы квантовой теории связи: современный подход , arXiv : 2011.04672
7. Юнге, Мариус; Реннер, Ренато; Саттер, Дэвид; Уайльд, Марк М.; Зима, Андреас (2016). Универсальная восстанавливаемость квантовой информации. стр. 2494–2498. дои : 10.1109/ISIT.2016.7541748. hdl : 20.500.11850/120060. ISBN 978-1-5090-1806-2. S2CID  18189775 . Получено 2024-01-03 .
8. Кри, Сэм; Сорс, Джонатан (01.06.2022). «Приближенное восстановление Петца из геометрии операторов плотности». Сообщения по математической физике . 392 (3): 907–919. arXiv : 2108.10893 . Bibcode : 2022CMaPh.392..907C. doi : 10.1007/s00220-022-04357-2. ISSN  1432-0916. S2CID  237292763.

Дальнейшее чтение

• Краткий обзор карты восстановления Petz и ее приложений