Вертикальная касательная

Вертикальная касательная к функции ƒ ( x ) в точке x  =  c .

В математике , особенно в исчислении , вертикальная касательная — это касательная , вертикальная . Поскольку вертикальная линия имеет бесконечный наклон , функция , график которой имеет вертикальную касательную, не дифференцируема в точке касания.

Определение предела

Функция ƒ имеет вертикальную касательную в точке x  =  a , если коэффициент разности, используемый для определения производной, имеет бесконечный предел :

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={+\infty }\quad {\text{or}}\quad \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={-\infty }.}$

Первый случай соответствует наклонной вертикальной касательной вверх, а второй случай - вертикальной касательной, наклоненной вниз. График ƒ имеет вертикальную касательную в точке x  =  a , если производная ƒ в точке a равна положительной или отрицательной бесконечности.

Для непрерывной функции часто можно обнаружить вертикальную касательную, взяв предел производной. Если

${\displaystyle \lim _{x\to a}f'(x)={+\infty }{\text{,}}}$

тогда ƒ должна иметь наклоненную вверх вертикальную касательную в точке x  =  a . Аналогично, если

${\displaystyle \lim _{x\to a}f'(x)={-\infty }{\text{,}}}$

тогда ƒ должна иметь наклоненную вниз вертикальную касательную в точке x  =  a . В этих ситуациях вертикальная касательная к ƒ отображается как вертикальная асимптота на графике производной.

Вертикальные выступы

С вертикальными касательными тесно связаны вертикальные точки возврата . Это происходит, когда обе односторонние производные бесконечны, но одна положительна, а другая отрицательна. Например, если

${\displaystyle \lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={+\infty }\quad {\text{and}}\quad \lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={-\infty }{\text{,}}}$

тогда график ƒ будет иметь вертикальную точку возврата, наклоненную вверх с левой стороны и вниз с правой стороны.

Как и в случае с вертикальными касательными, вертикальные точки возврата иногда можно обнаружить для непрерывной функции, исследуя предел производной. Например, если

${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f'(x)={-\infty }\quad {\text{and}}\quad \lim _{x\to a^{+}}f'(x)={+\infty }{\text{,}}}$

тогда график ƒ будет иметь вертикальную точку возврата в точке x  =  a , которая имеет наклон вниз с левой стороны и вверх с правой стороны.

Пример

Функция

${\displaystyle f(x)={\sqrt[{3}]{x}}}$

имеет вертикальную касательную в точке x  = 0, поскольку она непрерывна и

${\displaystyle \lim _{x\to 0}f'(x)\;=\;\lim _{x\to 0}{\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}}\;=\;\infty .}$

Аналогично, функция

${\displaystyle g(x)={\sqrt[{3}]{x^{2}}}}$

имеет вертикальный излом в точке x  = 0, поскольку он непрерывен,

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}g'(x)\;=\;\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {2}{3{\sqrt[{3}]{x}}}}\;=\;{-\infty }{\text{,}}}$

и

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}g'(x)\;=\;\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {2}{3{\sqrt[{3}]{x}}}}\;=\;{+\infty }{\text{.}}}$

Рекомендации

• Вертикальные касательные и точки возврата. Проверено 12 мая 2006 г.