Дифференцируемая кривая

Исследование кривых с дифференциальной точки зрения

Дифференциальная геометрия кривых — раздел геометрии , изучающий гладкие кривые на плоскости и в евклидовом пространстве методами дифференциального и интегрального исчисления .

Многие конкретные кривые были тщательно исследованы с использованием синтетического подхода . Дифференциальная геометрия идет другим путем: кривые представляются в параметризованной форме , а их геометрические свойства и различные связанные с ними величины, такие как кривизна и длина дуги , выражаются через производные и интегралы с помощью векторного исчисления . Одним из наиболее важных инструментов, используемых для анализа кривой, является система Френе , движущаяся система координат, которая обеспечивает систему координат в каждой точке кривой, которая «наилучшим образом адаптирована» к кривой вблизи этой точки.

Теория кривых гораздо проще и уже по объему, чем теория поверхностей и ее многомерные обобщения, поскольку регулярная кривая в евклидовом пространстве не имеет внутренней геометрии. Любая регулярная кривая может быть параметризована длиной дуги ( естественная параметризация ). С точки зрения теоретической точечной частицы на кривой, которая ничего не знает об окружающем пространстве, все кривые выглядели бы одинаково. Различные пространственные кривые отличаются только тем, как они изгибаются и скручиваются. Количественно это измеряется дифференциально-геометрическими инвариантами, называемыми кривизной и кручением кривой. Фундаментальная теорема о кривых утверждает, что знание этих инвариантов полностью определяет кривую.

Определения

Параметрическая C ^r - кривая или C ^r - параметризация - это векторная функция.

${\displaystyle \gamma :I\to \mathbb {R} ^{n}}$

то есть r -раз непрерывно дифференцируемо (т.е. функции-компоненты γ непрерывно дифференцируемы), где , и I - непустой интервал действительных чисел. Изображение параметрической кривой . Параметрическую кривую γ и ее образ γ [ I ] необходимо различать, поскольку данное подмножество может быть образом многих различных параметрических кривых. Параметр t в γ ( t ) можно рассматривать как представляющий время, а γ — траекторию движущейся точки в пространстве. Когда I — замкнутый интервал [ a , b ] , γ ( a ) называется начальной точкой, а γ ( b ) — конечной точкой γ . Если начальная и конечная точки совпадают (т. е. γ ( a ) = γ ( b ) ), то γ — замкнутая кривая или петля . Чтобы быть C ^r -петлей, функция γ должна быть r -кратно непрерывно дифференцируемой и удовлетворять условию γ ^{( k )} ( a ) = γ ^{( k )} ( b ) для 0 ⩽ k ⩽ r . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle r\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \gamma [I]\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Параметрическая кривая является простой , если

${\displaystyle \gamma |_{(a,b)}:(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}}$

является инъективным . Оно аналитично , если каждая составляющая функция γ является аналитической функцией , то есть принадлежит классу C ^ω .

Кривая γ является регулярной порядка m (где m ⩽ r ) , если для каждого t ∈ I

${\displaystyle \left\{\gamma '(t),\gamma ''(t),\ldots ,{\gamma ^{(m)}}(t)\right\}}$

является линейно независимым подмножеством . В частности, параметрическая C ¹ -кривая γ является регулярной тогда и только тогда, когда γ ′ ( t ) ≠ 0 для любого t ∈ I . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Репараметризация и отношение эквивалентности

Учитывая изображение параметрической кривой, существует несколько различных параметризаций параметрической кривой. Дифференциальная геометрия стремится описать свойства параметрических кривых, которые инвариантны при определенных перепараметризациях. Должно быть определено подходящее отношение эквивалентности на множестве всех параметрических кривых. Дифференциально-геометрические свойства параметрической кривой (такие как ее длина, рамка Френе и ее обобщенная кривизна) инвариантны при перепараметризации и, следовательно, свойства самого класса эквивалентности . Классы эквивалентности называются Cr ^- кривыми и являются центральными объектами, изучаемыми в дифференциальной геометрии кривых.

Две параметрические C ^r -кривые и называются эквивалентными тогда и только тогда, когда существует биективное C ^r -отображение φ  : I ₁ → I ₂ такое, что ${\displaystyle \gamma _{1}:I_{1}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}:I_{2}\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \forall t\in I_{1}:\quad \varphi '(t)\neq 0}$

и

${\displaystyle \forall t\in I_{1}:\quad \gamma _{2}{\bigl (}\varphi (t){\bigr )}=\gamma _{1}(t).}$

Тогда говорят, что γ 2 _{является} перепараметризацией γ ₁ .

Перепараметризация определяет отношение эквивалентности на множестве всех параметрических C ^r -кривых класса C ^r . Класс эквивалентности этого отношения — просто Cr ^- кривая.

Еще более тонкое отношение эквивалентности ориентированных параметрических C ^r -кривых можно определить, потребовав, чтобы φ удовлетворяла φ ′ ( t ) > 0 .

Эквивалентные параметрические C ^r -кривые имеют одно и то же изображение, а эквивалентные ориентированные параметрические C ^r -кривые даже пересекают изображение в одном и том же направлении.

Длина и естественная параметризация

Длина l параметрической C ¹ -кривой определяется как ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle l~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|\,\mathrm {d} {t}.}$

Длина параметрической кривой инвариантна при перепараметризации и, следовательно, является дифференциально-геометрическим свойством параметрической кривой.

Для каждой регулярной параметрической C ^r -кривой , где r ≥ 1 , определяется функция ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \forall t\in [a,b]:\quad s(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{t}\left\|\gamma '(x)\right\|\,\mathrm {d} {x}.}$

Записывая γ (s) = γ ( t ( s )) , где t ( s ) — обратная функция s ( t ) . Это перепараметризация γ для γ , которая называетсяпараметризация длины дуги , естественная параметризация,параметризация единичной скорости. Параметр s ( t )называетсяестественнымпараметромγ.

Эта параметризация предпочтительна, потому что естественный параметр s ( t ) пересекает изображение γ с единичной скоростью, так что

${\displaystyle \forall t\in I:\quad \left\|{\overline {\gamma }}'{\bigl (}s(t){\bigr )}\right\|=1.}$

На практике часто очень сложно вычислить естественную параметризацию параметрической кривой, но это полезно для теоретических рассуждений.

Для данной параметрической кривой γ естественная параметризация единственна с точностью до сдвига параметра.

Количество

${\displaystyle E(\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|^{2}~\mathrm {d} {t}}$

иногда называют энергией или действием кривой; это название оправдано, поскольку уравнения геодезических представляют собой уравнения движения Эйлера – Лагранжа для этого действия.

рамка Френе

Иллюстрация системы Френе для точки на пространственной кривой. T — единичный тангенс, P — единичная нормаль, а B — единичная бинормаль.

Кадр Френе — это движущаяся система отсчета из n ортонормированных векторов ei ( _t ) , которые используются для локального описания кривой в каждой точке γ ( t ) . Это основной инструмент дифференциально-геометрической обработки кривых, поскольку гораздо проще и естественнее описывать локальные свойства (например, кривизну, кручение) в терминах локальной системы отсчета, чем использовать глобальную, например, евклидовы координаты.

Для C ^{n + 1} -кривой γ , регулярной порядка n, рамка Френе для кривой представляет собой набор ортонормированных векторов ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)}$

называемые векторами Френе . Они строятся из производных γ ( t ) с использованием алгоритма ортогонализации Грама – Шмидта с

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}(t)&={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}\\[8px]\mathbf {e} _{j}(t)&={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)\right\|}},\quad {\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t)-\sum _{i=1}^{j-1}\left\langle {\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t),\mathbf {e} _{i}(t)\right\rangle \,\mathbf {e} _{i}(t)\end{aligned}}}$

Действительные функции χ _i ( t ) называются обобщенными кривизнами и определяются как

${\displaystyle \chi _{i}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}^{'}(t)\right\|}}}$

Система Френе и обобщенные кривизны инвариантны относительно перепараметризации и, следовательно, являются дифференциально-геометрическими свойствами кривой. Для кривых in – кривизна, – кручение. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \chi _{1}(t)}$ ${\displaystyle \chi _{2}(t)}$

Кривая Бертрана

Кривая Бертрана — это правильная кривая с тем дополнительным свойством, что существует вторая кривая, в которой главные векторы нормали к этим двум кривым идентичны в каждой соответствующей точке. Другими словами, если γ ₁ ( t ) и γ ₂ ( t ) — две кривые такие, что для любого t две главные нормали N ₁ ( t ), N ₂ (t) равны, то γ ₁ и γ ₂ являются кривыми Бертрана, а γ ₂ называется сопряжением Бертрана γ ₁ . Мы можем написать γ ₂ ( t ) = γ ₁ ( t ) + r N ₁ ( t ) для некоторой константы r . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Согласно задаче 25 в книге Кюнеля «Кривые дифференциальной геометрии – поверхности – многообразия» также верно, что две кривые Бертрана, не лежащие в одной и той же двумерной плоскости, характеризуются существованием линейного соотношения a κ ( t ) + b τ ( t ) = 1 , где κ ( t ) и τ ( t ) — кривизна и кручение γ ₁ ( t ) , а a и b — вещественные константы с a ≠ 0 . ^[2] Кроме того, произведение кручений пары кривых Бертрана постоянно. ^[3] Если γ ₁ имеет более одного партнера по Бертрану, то их их бесконечно много. Это происходит только тогда, когда γ ₁ представляет собой круглую спираль. ^[1]

Специальные векторы Френе и обобщенные кривизны

Первые три вектора Френе и обобщенные кривизны можно визуализировать в трехмерном пространстве. К ним прикреплены дополнительные имена и дополнительная смысловая информация.

Касательный вектор

Если кривая γ представляет путь частицы, то мгновенная скорость частицы в данной точке P выражается вектором , называемым вектором касательной к кривой в точке P. Математически, учитывая параметризованную кривую C ¹ γ = γ ( t ) , для каждого значения t = t ₀ параметра вектор

${\displaystyle \gamma '(t_{0})=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {\gamma }}(t)\right|_{t=t_{0}}}$

— касательный вектор в точке P знак равно γ ( т ₀ ) . Вообще говоря, касательный вектор может быть равен нулю . Величина касательного вектора

${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t_{0})\right\|}$

— скорость в момент времени t ₀ .

Первый вектор Френе e ₁ ( t ) представляет собой единичный касательный вектор в том же направлении, определенный в каждой регулярной точке γ :

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t)={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}.}$

Если t = s — натуральный параметр, то касательный вектор имеет единичную длину. Формула упрощается:

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(s)={\boldsymbol {\gamma }}'(s)}$.

Единичный касательный вектор определяет ориентацию кривой или прямое направление, соответствующее возрастающим значениям параметра. Единичный касательный вектор, взятый в виде кривой, повторяет сферическое изображение исходной кривой.

Вектор нормали или вектор кривизны

Вектор нормали кривой , иногда называемый вектором кривизны , указывает на отклонение кривой от прямой линии. Он определяется как

${\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}''(t)-{\bigl \langle }{\boldsymbol {\gamma }}''(t),\mathbf {e} _{1}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{1}(t).}$

Его нормализованная форма, единичный вектор нормали, представляет собой второй вектор Френе e ₂ ( t ) и определяется как

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)\right\|}}.}$

Касательная и вектор нормали в точке t определяют соприкасающуюся плоскость в точке t .

Можно показать, что ē ₂ ( т ) ∝ е ′ ₁ ( т ) . Поэтому,

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}(t)={\frac {\mathbf {e} _{1}'(t)}{\left\|\mathbf {e} _{1}'(t)\right\|}}.}$

Кривизна

Первая обобщенная кривизна χ ₁ ( t ) называется кривизной и измеряет отклонение γ от прямой линии относительно соприкасающейся плоскости. Он определяется как

${\displaystyle \kappa (t)=\chi _{1}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{1}'(t),\mathbf {e} _{2}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}}$

и называется кривизной γ в точке t . Можно показать, что

${\displaystyle \kappa (t)={\frac {\left\|\mathbf {e} _{1}'(t)\right\|}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}.}$

обратная кривизне _

${\displaystyle {\frac {1}{\kappa (t)}}}$

называется радиусом кривизны .

Круг радиуса r имеет постоянную кривизну

${\displaystyle \kappa (t)={\frac {1}{r}}}$

тогда как линия имеет кривизну 0.

Бинормальный вектор

Единичный вектор бинормали — это третий вектор Френе e ₃ ( t ) . Он всегда ортогонален единичному касательному и нормальному векторам в точке t . Это определяется как

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)\|}},\quad {\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}'''(t)-{\bigr \langle }{\boldsymbol {\gamma }}'''(t),\mathbf {e} _{1}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{1}(t)-{\bigl \langle }{\boldsymbol {\gamma }}'''(t),\mathbf {e} _{2}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{2}(t)}$

В трехмерном пространстве уравнение упрощается до

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)=\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t)}$

или чтобы

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)=-\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t),}$

То, что может иметь место любой из этих знаков, иллюстрируется примерами правосторонней и левой спиралей.

Торсион

Вторая обобщенная кривизна χ2 ₍ t ) называется кручением и измеряет отклонение γ от плоской кривой . Другими словами, если кручение равно нулю, кривая полностью лежит в одной и той же соприкасающейся плоскости (для каждой точки t существует только одна соприкасающаяся плоскость ). Это определяется как

${\displaystyle \tau (t)=\chi _{2}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{2}'(t),\mathbf {e} _{3}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}}$

и называется кручением γ в точке t .

Аберрантность

Третья производная может использоваться для определения отклонения — показателя некруглости кривой. ^{[4] [5] [6]}

Основная теорема теории кривых

Даны n - 1 функции:

${\displaystyle \chi _{i}\in C^{n-i}([a,b],\mathbb {R} ^{n}),\quad \chi _{i}(t)>0,\quad 1\leq i\leq n-1}$

тогда существует единственная (с точностью до преобразований с помощью евклидовой группы ) C ^{n + 1} -кривая γ , регулярная порядка n и обладающая следующими свойствами:

${\displaystyle {\begin{aligned}\|\gamma '(t)\|&=1&t\in [a,b]\\\chi _{i}(t)&={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\|}}\end{aligned}}}$

где набор

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)}$

— система Френе для кривой.

Дополнительно обеспечивая начало t ₀ в I , начальную точку p ₀ in и начальную положительную ортонормированную рамку Френе { e ₁ , ..., e _{n − 1} } с ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\gamma }}(t_{0})&=\mathbf {p} _{0}\\\mathbf {e} _{i}(t_{0})&=\mathbf {e} _{i},\quad 1\leq i\leq n-1\end{aligned}}}$

евклидовы преобразования устраняются, чтобы получить единственную кривую γ .

Формулы Френе – Серре

Формулы Френе–Серре представляют собой совокупность обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Решением является набор векторов Френе, описывающих кривую, заданную обобщенными функциями кривизны χ _i .

2 измерения

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '\left(t\right)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)\\-\kappa (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\end{bmatrix}}}$

3 измерения

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\mathbf {e} _{3}'(t)\\\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '\left(t\right)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)&0\\-\kappa (t)&0&\tau (t)\\0&-\tau (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\mathbf {e} _{3}(t)\\\end{bmatrix}}}$

n измерений (общая формула)

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n-1}'(t)\\\mathbf {e} _{n}'(t)\\\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '\left(t\right)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&\cdots &0&0\\-\chi _{1}(t)&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &0&\chi _{n-1}(t)\\0&0&\cdots &-\chi _{n-1}(t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n-1}(t)\\\mathbf {e} _{n}(t)\\\end{bmatrix}}}$

Смотрите также

• Список тем кривых

Рекомендации

1. до Карму, Манфредо П. (2016). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей (переработанное и обновленное 2-е изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., стр. 27–28. ISBN 978-0-486-80699-0.
2. Кюнель, Вольфганг (2005). Дифференциальная геометрия: кривые, поверхности, многообразия . Провиденс: AMS. п. 53. ИСБН 0-8218-3988-8.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Кривые Бертрана». mathworld.wolfram.com .
4. Шот, Стивен (ноябрь 1978 г.). «Аберрантность: геометрия третьей производной». Журнал «Математика» . 5. 51 (5): 259–275. дои : 10.2307/2690245. JSTOR  2690245.
5. Кэмерон Байерли; Рассел А. Гордон (2007). «Меры аберрантности». Обмен реальным анализом . Издательство Мичиганского государственного университета. 32 (1): 233. doi : 10.14321/realanalexch.32.1.0233 . ISSN  0147-1937.
6. Гордон, Рассел А. (2004). «Аберрантность плоских кривых». Математический вестник . Издательство Кембриджского университета (CUP). 89 (516): 424–436. дои : 10.1017/s0025557200178271. ISSN  0025-5572. S2CID  118533002.

дальнейшее чтение

• Крейциг, Эрвин (1991). Дифференциальная геометрия . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-66721-9.Глава II представляет собой классическое рассмотрение теории кривых в трех измерениях.