Касательные линии к окружностям

В евклидовой плоской геометрии касательная к окружности — это линия , которая касается окружности ровно в одной точке , никогда не входя внутрь окружности. Касательные к окружностям являются предметом нескольких теорем и играют важную роль во многих геометрических построениях и доказательствах . Поскольку касательная к окружности в точке $P$ перпендикулярна радиусу к этой точке, теоремы, включающие касательные, часто включают радиальные линии и ортогональные окружности .

Касательные линии к одной окружности

Касательная прямая $t$ к окружности $C$ пересекает окружность в одной точке $T.$ Для сравнения, секущие прямые пересекают окружность в двух точках, тогда как другая прямая может вообще не пересекать окружность. Это свойство касательных прямых сохраняется при многих геометрических преобразованиях , таких как масштабирование , вращение , перенос , инверсия и проекция карты . На техническом языке эти преобразования не изменяют структуру инцидентности касательной прямой и окружности, хотя прямая и окружность могут быть деформированы.

Радиус окружности перпендикулярен касательной, проходящей через ее конечную точку на окружности. И наоборот, перпендикуляр к радиусу, проходящий через ту же конечную точку, является касательной. Полученная геометрическая фигура окружности и касательной имеет зеркальную симметрию относительно оси радиуса.

Касательная не может быть проведена через точку внутри окружности, поскольку любая такая линия должна быть секущей. Однако две касательные можно провести к окружности из точки $P$ вне окружности. Геометрическая фигура окружности и обе касательные также имеют зеркальную симметрию относительно радиальной оси, соединяющей $P$ с центральной точкой $O$ окружности. Таким образом, длины отрезков от $P$ до двух точек касания равны. По теореме о секущей-касательной квадрат этой длины касательной равен мощности точки P в окружности $C.$ Эта мощность равна произведению расстояний от $P$ до любых двух точек пересечения окружности с секущей, проходящей через $P.$

Касательная прямая $t$ и точка касания $T$ имеют сопряженное отношение друг к другу, которое было обобщено в идею полюсных точек и полярных линий . Такое же взаимное отношение существует между точкой $P$ вне окружности и секущей прямой, соединяющей две ее точки касания.

Если точка $P$ является внешней по отношению к окружности с центром $O$ и если касательные из $P$ касаются окружности в точках $T$ и $S$ , то $∠ TPS$ и $∠ TOS$ являются дополнительными (в сумме дают 180°).

Если из точки касания $T$ внешней точки $P$ проведена хорда $TM$ и $∠$ $PTM$ $\leq 90°$ , то $∠$ $PTM$ $= ½ ∠$ $TOM$ .

Декартово уравнение

$Предположим ,$ $что$ уравнение окружности в декартовых координатах имеет центр в точке $($ $a$ $,$ $b$ $)$ . Тогда касательная к окружности в точке $($ $x1$ $,$ $y1$ $)$ имеет декартово уравнение $(xa)^{2}+(yb)^{2}=r^{2}$

$(x-x_{1})(x_{1}-a)+(y-y_{1})(y_{1}-b)=0$

Это можно доказать, взяв неявную производную окружности. Предположим, что окружность имеет уравнение и мы находим наклон касательной в точке $($ $x$ $1$ $,$ $y$ $1$ $)$ , где Начнем с взятия неявной производной по $x$ : $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},$ $(x_{1}-a)^{2}+(y_{1}-b)^{2}=r^{2}.$

${\begin{aligned}{\overset {}{(}}x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\[4pt]2(x-a)+2(y-b){\frac {dy}{dx}}&=0\\[2pt]{\frac {dy}{dx}}&=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\end{aligned}}$

Теперь, когда у нас есть наклон касательной, мы можем подставить наклон и координату точки касания в уравнение линии $y = kx + m$ .

${\begin{aligned}y&=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}x+y_{1}+x_{1}{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\\y-y_{1}&=(x_{1}-x){\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\\[2pt](y-y_{1})(y_{1}-b)&=-(x-x_{1})(x_{1}-a)\\[8pt](x-x_{1})(x_{1}-a)+(y-y_{1})(y_{1}-b)&=0\end{aligned}}$

Построения с помощью циркуля и линейки

Сравнительно просто построить прямую $t,$ касательную к окружности в точке $T$ на ее окружности:

$Из точки O$ , центра окружности, через радиальную точку $T$ проводится линия $a$ ;
Линия $t$ является перпендикулярной к $a$ .

Теорему Фалеса можно использовать для построения касательных к точке $P,$ внешней по отношению к окружности $C$ :

Начертим окружность с центром в середине отрезка $OP$ , имеющую диаметр $OP$ , где $O$ снова является центром окружности $C.$
Точки пересечения $T 1$ и $T 2$ окружности $C$ и новой окружности являются точками касания для прямых, проходящих через $точку P$ , по следующему аргументу.

Отрезки прямых $OT 1$ и $OT 2$ являются радиусами окружности $C$ ; поскольку оба они вписаны в полуокружность, они перпендикулярны отрезкам прямых $PT 1$ и $PT 2$ соответственно. Но только касательная прямая перпендикулярна радиальной прямой. Следовательно, две прямые из $P$ и проходящие через $T 1$ и $T 2$ касаются окружности $C$ .

Другой метод построения касательных к точке $P,$ лежащей вне окружности, с использованием только линейки :

Проведите через заданную точку $P$ любые три различные прямые , пересекающие окружность дважды.
Пусть $A 1, A 2, B 1, B 2, C 1, C 2$ — шесть точек пересечения, при этом одна и та же буква соответствует одной и той же линии, а индекс 1 соответствует точке, более близкой к $P$ .
Пусть $D$ — точка пересечения прямых $A 1 B 2$ и $A 2 B 1$ ,
Аналогично $E$ для линий $B 1 C 2$ и $B 2 C 1$ .
Проведите линию через точки $D$ и $E.$
Эта линия пересекает окружность в двух точках : $F$ и $G.$
Касательными являются линии $PF$ и $PG$ . ^[1]

С аналитической геометрией

Пусть будет точкой окружности с уравнением Касательная в точке $P$ имеет уравнение , поскольку $P$ лежит на обеих кривых и является нормальным вектором прямой. Касательная пересекает ось $x$ в точке с $P=(a,b)$ $x^{2}+y^{2}=r^{2}.$ $ax+by=r^{2},$ ${\vec {OP}}=(a,b)^{T}$ $P_{0}=(x_{0},0)$ $ax_{0}=r^{2}.$

Наоборот, если начать с точки , то две касательные, проходящие через $P$ $0 ,$ пересекают окружность в двух точках , что записано в векторной форме: $P_{0}=(x_{0},0),$ $P_{1/2}=(a,b_{\pm })$ $a={\frac {r^{2}}{x_{0}}},\qquad b_{\pm }=\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}}=\pm {\frac {r}{x_{0}}}{\sqrt {x_{0}^{2}-r^{2}}}.$ ${\binom {a}{b_{\pm }}}={\frac {r^{2}}{x_{0}}}{\binom {1}{0}}\pm {\frac {r}{x_{0}}}{\sqrt {x_{0}^{2}-r^{2}}}{\binom {0}{1}}\ .$

Если точка не лежит на оси $x$ : В векторной форме заменяем $x$ $0$ на расстояние , а единичные базовые векторы на ортогональные единичные векторы. Тогда касательные, проходящие через точку $P$ $0,$ касаются окружности в точках $P_{0}=(x_{0},y_{0})$ ${\textstyle d_{0}={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}}$ ${\textstyle {\vec {e}}_{1}={\frac {1}{d_{0}}}{\binom {x_{0}}{y_{0}}},\ {\vec {e}}_{2}={\frac {1}{d_{0}}}{\binom {-y_{0}}{x_{0}}}.}$ ${\binom {x_{1/2}}{y_{1/2}}}={\frac {r^{2}}{d_{0}^{2}}}{\binom {x_{0}}{y_{0}}}\pm {\frac {r}{d_{0}^{2}}}{\sqrt {d_{0}^{2}-r^{2}}}{\binom {-y_{0}}{x_{0}}}.$

При $d 0 < r$ касательных не существует.
При $d 0 = r$ точка $P 0$ лежит на окружности и существует только одна касательная с уравнением $x_{0}x+y_{0}y=r^{2}.$
В случае $d 0 > r$ имеются 2 касательные с уравнениями $x_{1}x+y_{1}y=r^{2},\ x_{2}x+y_{2}y=r^{2}.$

Отношение к инверсии окружности : Уравнение описывает инверсию окружности точки $ax_{0}=r^{2}$ $(x_{0},0).$

Отношение к полюсу и поляре : Поляра точки имеет уравнение $(x_{0},0)$ $xx_{0}=r^{2}.$

Касательные многоугольники

Касательный многоугольник — это многоугольник , каждая из сторон которого касается определенной окружности, называемой вписанной окружностью . Каждый треугольник является касательным многоугольником, как и каждый правильный многоугольник с любым числом сторон; кроме того, для каждого числа сторон многоугольника существует бесконечное число неконгруэнтных касательных многоугольников.

Теорема о касательном четырехугольнике и вписанные окружности

Описанный четырехугольник $ABCD$ — это замкнутая фигура из четырех прямых сторон, которые касаются данной окружности $C.$ Эквивалентно, окружность $C$ вписана в четырехугольник $ABCD$ . По теореме Пито , суммы противоположных сторон любого такого четырехугольника равны, т.е.

${\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {BC}}+{\overline {DA}}.$

Этот вывод следует из равенства отрезков касательных из четырех вершин четырехугольника. Обозначим точки касания как $P$ (на отрезке $AB$ ), $Q$ (на отрезке $BC$ ), $R$ (на отрезке $CD$ ) и $S$ (на отрезке $DA$ ). Симметричные отрезки касательных относительно каждой точки $ABCD$ равны: Но каждая сторона четырехугольника состоит из двух таких отрезков касательных ${\begin{aligned}{\overline {BP}}={\overline {BQ}}=b,&\quad {\overline {CQ}}={\overline {CR}}=c,\\{\overline {DR}}={\overline {DS}}=d,&\quad {\overline {AS}}={\overline {AP}}=a.\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{\overline {AB}}+{\overline {CD}}=(a+b)+(c+d)\\={}&{\overline {BC}}+{\overline {DA}}=(b+c)+(d+a)\end{aligned}}$

Доказательство теоремы.

Обратное также верно: окружность можно вписать в любой четырехугольник, в котором длины противоположных сторон в сумме равны одному и тому же значению. ^[2]

Эта теорема и ее обратная теорема имеют различные применения. Например, они немедленно показывают, что никакой прямоугольник не может иметь вписанную окружность, если он не является квадратом , и что каждый ромб имеет вписанную окружность, тогда как общий параллелограмм не имеет.

Касательные линии к двум окружностям

Для двух окружностей обычно существует четыре различных линии, которые касаются обеих ( бикасательные ) — если две окружности находятся вне друг друга — но в вырожденных случаях может быть любое число от нуля до четырех бикасательных линий; они рассматриваются ниже. Для двух из них, внешних касательных линий, окружности лежат по одну сторону от линии; для двух других, внутренних касательных линий, окружности лежат по разные стороны от линии. Внешние касательные линии пересекаются во внешнем гомотетическом центре , тогда как внутренние касательные линии пересекаются во внутреннем гомотетическом центре. Как внешний, так и внутренний гомотетические центры лежат на линии центров (линии, соединяющей центры двух окружностей), ближе к центру меньшей окружности: внутренний центр находится в сегменте между двумя окружностями, в то время как внешний центр находится не между точками, а снаружи, на стороне центра меньшей окружности. Если две окружности имеют одинаковый радиус, то все еще есть четыре двойные касательные, но внешние касательные линии параллельны и нет внешнего центра в аффинной плоскости ; в проективной плоскости внешний гомотетический центр лежит в точке на бесконечности, соответствующей наклону этих линий. ^[3]

Внешний тангенс

Красная линия, соединяющая точки $(x 3, y 3)$ и $(x 4, y 4),$ является внешней касательной между двумя окружностями. Учитывая точки $(x 1, y 1)$ , $(x 2, y 2)$ точки $(x 3, y 3)$ , $(x 4, y 4)$ можно легко вычислить с помощью угла $α$ :

${\begin{aligned}x_{3}&=x_{1}\pm r\sin \alpha \\y_{3}&=y_{1}\pm r\cos \alpha \\x_{4}&=x_{2}\pm R\sin \alpha \\y_{4}&=y_{2}\pm R\cos \alpha \\\end{aligned}}$

Здесь $R$ и $r$ обозначают радиусы двух окружностей, а угол $α$ можно вычислить с помощью базовой тригонометрии. У вас есть $α = γ - β$ с ^[4] ^{[ неудачная проверка – см. обсуждение ],} где atan2 – арктангенс с 2 аргументами. ${\begin{aligned}\gamma &=-{\text{atan2}}\left({y_{2}-y_{1}},{x_{2}-x_{1}}\right)\\[2pt]\beta &=\pm \arcsin \left({\frac {R-r}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}\right)\end{aligned}}$

Расстояния между центрами ближней и дальней окружностей, $O 2$ и $O 1$ , и точкой пересечения двух внешних касательных двух окружностей ( центр гомеотезии ), $S$ соответственно, можно найти с помощью подобия следующим образом: Здесь $r$ может быть $r$ $1$ или $r$ $2$ в зависимости от необходимости найти расстояния от центров ближней или дальней окружности, $O$ $2$ и $O$ $1$ . $d$ — это расстояние $O$ $1$ $O$ $2$ между центрами двух окружностей. ${\frac {dr}{r_{1}-r_{2}}}$

Внутренняя касательная

Внутренняя касательная — это касательная, которая пересекает отрезок, соединяющий центры двух окружностей. Обратите внимание, что внутренняя касательная не будет определена для случаев, когда две окружности перекрываются.

Строительство

Бикасательные линии могут быть построены либо путем построения гомотетических центров, как описано в этой статье, а затем путем построения касательных линий через гомотетический центр, который касается одной окружности, одним из методов, описанных выше. Полученная линия будет касательной и к другой окружности. В качестве альтернативы, касательные линии и точки касания могут быть построены более непосредственно, как подробно описано ниже. Обратите внимание, что в вырожденных случаях эти построения ломаются; для упрощения изложения это не обсуждается в этом разделе, но форма построения может работать в предельных случаях (например, две окружности, касающиеся в одной точке).

Синтетическая геометрия

Пусть $O 1$ и $O 2$ будут центрами двух окружностей, $C 1$ и $C 2$ , и пусть $r 1$ и $r 2$ будут их радиусами , причем $r 1 > r 2$ ; другими словами, окружность $C 1$ определяется как большая из двух окружностей. Для построения внешних и внутренних касательных линий можно использовать два различных метода.

Внешние касательные

Новая окружность $C 3$ радиуса $r 1 - r 2$ рисуется с центром в точке $O 1$ . Используя описанный выше метод, из точки $O 2$ рисуются две линии , которые касаются этой новой окружности. Эти линии параллельны желаемым касательным линиям, поскольку ситуация соответствует сжатию обеих окружностей $C 1$ и $C 2$ на постоянную величину $r 2$ , что сжимает $C 2$ до точки. Две радиальные линии могут быть проведены из центра $O 1$ через точки касания на $C 3$ ; они пересекают $C 1$ в желаемых точках касания. Желаемые внешние касательные линии — это линии, перпендикулярные этим радиальным линиям в этих точках касания, которые могут быть построены, как описано выше.

Внутренние касательные

Новая окружность $C 3$ радиуса $r 1 + r 2$ рисуется с центром в $O 1$ . Используя метод выше, из $O 2$ рисуются две линии , которые касаются этой новой окружности. Эти линии параллельны желаемым касательным линиям, поскольку ситуация соответствует сжатию $C 2$ до точки при расширении $C 1$ на постоянную величину $r 2$ . Две радиальные линии могут быть проведены из центра $O 1$ через точки касания на $C 3$ ; они пересекают $C 1$ в желаемых точках касания. Желаемые внутренние касательные линии — это линии, перпендикулярные этим радиальным линиям в этих точках касания, которые могут быть построены, как описано выше.

Аналитическая геометрия

Пусть окружности имеют центры $c 1 = (x 1, y 1)$ и $c 2 = (x 2, y 2)$ с радиусами $r 1$ и $r 2$ соответственно. Выражая прямую уравнением с нормализацией , тогда бикасательная прямая удовлетворяет: Решение относительно $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $)$ путем вычитания первого из второго дает где и для внешней касательной или для внутренней касательной. $ax+by+c=0,$ $a^{2}+b^{2}=1,$ ${\begin{aligned}ax_{1}+by_{1}+c&=r_{1}\\ax_{2}+by_{2}+c&=r_{2}\\\end{aligned}}$ $a\Delta x+b\Delta y=\Delta r,\qquad (1)$ $\Delta x=x_{2}-x_{1},\quad \Delta y=y_{2}-y_{1}$ $\Delta r=r_{2}-r_{1}$ $\Delta r=r_{2}+r_{1}$

Если — расстояние от $c$ $1$ до $c$ $2 ,$ мы можем нормализовать с помощью , чтобы упростить уравнение (1), что приводит к следующей системе уравнений: решить их, чтобы получить два решения ( $k$ $= \pm1$ ) для двух внешних касательных линий: Геометрически это соответствует вычислению угла, образованного касательными линиями и линией центров, а затем использовать это для поворота уравнения для линии центров, чтобы получить уравнение для касательной линии. Угол вычисляется путем вычисления тригонометрических функций прямоугольного треугольника, вершинами которого являются (внешний) гомотетический центр, центр окружности и точка касания; гипотенуза лежит на касательной линии, радиус противолежит углу, а прилегающая сторона лежит на линии центров. ${\textstyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}}$ $X={\frac {\Delta x}{d}},\quad Y={\frac {\Delta y}{d}},\quad R={\frac {\Delta r}{d}}$ ${\begin{aligned}aX+bY&=R,\\a^{2}+b^{2}&=1;\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a&=RX-kY{\sqrt {1-R^{2}}}\\b&=RY+kX{\sqrt {1-R^{2}}}\\c&=r_{1}-(ax_{1}+by_{1})\end{aligned}}$

$(X, Y)$ — единичный вектор, направленный от $c1 к c2$ $,$ $тогда$ как $R$ — $это$ cos $θ,$ где $θ$ — угол между линией центров и касательной. Тогда $sin θ$ (в зависимости от знака $θ$ , что эквивалентно направлению вращения) и приведенные выше уравнения представляют собой вращение $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ на $\pm$ $θ$ с использованием матрицы вращения: $\pm {\sqrt {1-R^{2}}}$ ${\begin{pmatrix}R&\mp {\sqrt {1-R^{2}}}\\\pm {\sqrt {1-R^{2}}}&R\end{pmatrix}}$

$k = 1$ — касательная справа от окружностей, направленная от $c 1$ к $c 2$ .
$k = -1$ — касательная справа от окружностей, смотрящая из $c 2$ в $c 1$ .

Вышеизложенное предполагает, что каждая окружность имеет положительный радиус. Если $r 1$ положительно, а $r 2$ отрицательно, то $c 1$ будет лежать слева от каждой прямой, а $c 2$ — справа, и две касательные линии пересекутся. Таким образом, получены все четыре решения. Переключение знаков обоих радиусов меняет $k = 1$ и $k = -1$ .

Векторы

В общем случае точки касания $t 1$ и $t 2$ для четырех прямых, касающихся двух окружностей с центрами $v 1$ и $v 2$ и радиусами $r 1$ и $r 2,$ находятся путем решения систем уравнений:

${\begin{aligned}(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{1}-v_{1})&=r_{1}^{2}\\(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-v_{2})&=r_{2}^{2}\\\end{aligned}}$

Эти уравнения выражают, что касательная, параллельная радиусам, перпендикулярна им, и что точки касания лежат на соответствующих окружностях. $t_{2}-t_{1},$

Это четыре квадратных уравнения относительно двух двумерных векторных переменных, которые в общем положении будут иметь четыре пары решений.

Вырожденные случаи

Две различные окружности могут иметь от нуля до четырех касательных прямых, в зависимости от конфигурации; их можно классифицировать по расстоянию между центрами и радиусами. Если подсчитать с кратностью (учитывая общую касательную дважды), то получится ноль, две или четыре касательных прямых. Касательные прямые также можно обобщить на окружности с отрицательным или нулевым радиусом. Вырожденные случаи и кратности также можно понимать в терминах пределов других конфигураций — например, предела двух почти соприкасающихся окружностей и перемещения одной так, чтобы они соприкоснулись, или окружности с малым радиусом, сжимающейся до окружности с нулевым радиусом.

Если окружности находятся вне друг друга ( ), что является общим положением , то существует четыре касательные к двум окружностям. $d>r_{1}+r_{2}$
Если они касаются внешне в одной точке ( ) – имеют одну точку внешнего касания – то они имеют две внешние касательные и одну внутреннюю касательную, а именно общую касательную линию. Эта общая касательная линия имеет кратность два, так как она разделяет окружности (одну слева, одну справа) для любой ориентации (направления). $d=r_{1}+r_{2}$
Если окружности пересекаются в двух точках ( ), то у них нет внутренних двойных касательных и две внешние двойные касательные (их нельзя разделить, так как они пересекаются, следовательно, нет внутренних двойных касательных). $|r_{1}-r_{2}|<d<r_{1}+r_{2}$
Если окружности соприкасаются внутренне в одной точке ( ) – имеют одну точку внутреннего касания – то у них нет внутренних двойных касательных и есть одна внешняя двойная касательная, а именно общая касательная, которая имеет кратность два, как и выше. $d=|r_{1}-r_{2}|$
Если одна окружность полностью находится внутри другой ( ), то у них нет двухкасательных, поскольку касательная к внешней окружности не пересекает внутреннюю окружность, или наоборот, касательная к внутренней окружности является секущей к внешней окружности. $d<|r_{1}-r_{2}|$

Наконец, если две окружности идентичны, то любая касательная к окружности является общей касательной и, следовательно, (внешней) двойной касательной, так что существует множество двойных касательных окружности.

Далее, понятие двухкасательных линий может быть распространено на окружности с отрицательным радиусом (то же геометрическое место точек, но рассматриваемое «изнутри наружу»), и в этом случае, если радиусы имеют противоположные знаки (один круг имеет отрицательный радиус, а другой — положительный), внешние и внутренние центры подобия и внешние и внутренние двухкасательные меняются местами, в то время как если радиусы имеют одинаковый знак (оба радиуса положительные или оба отрицательные), «внешний» и «внутренний» имеют один и тот же обычный смысл (изменение одного знака меняет их, поэтому изменение обоих знаков меняет их обратно). $x^{2}+y^{2}=(-r)^{2},$

Бикасательные линии также могут быть определены, когда один или оба круга имеют нулевой радиус. В этом случае круг с нулевым радиусом является двойной точкой, и, таким образом, любая линия, проходящая через него, пересекает точку с кратностью два, следовательно, является «касательной». Если один круг имеет нулевой радиус, бикасательная линия — это просто линия, касательная к кругу и проходящая через точку, и учитывается с кратностью два. Если оба круга имеют нулевой радиус, то бикасательная линия — это линия, которую они определяют, и учитывается с кратностью четыре.

Обратите внимание, что в этих вырожденных случаях внешний и внутренний гомотетические центры, как правило, все еще существуют (внешний центр находится на бесконечности, если радиусы равны), за исключением случаев, когда окружности совпадают, в этом случае внешний центр не определен, или если обе окружности имеют нулевой радиус, в этом случае внутренний центр не определен.

Приложения

Проблема с ремнем

Внутренние и внешние касательные линии полезны при решении задачи о ремне , которая заключается в вычислении длины ремня или веревки, необходимой для плотного прилегания к двум шкивам. Если ремень рассматривается как математическая линия пренебрежимо малой толщины, и если предполагается, что оба шкива лежат в одной и той же плоскости, задача сводится к суммированию длин соответствующих сегментов касательной линии с длинами дуг окружностей, охватываемых ремнем. Если ремень обернут вокруг колес так, что они пересекаются, то внутренние сегменты касательной линии являются релевантными. И наоборот, если ремень обернут снаружи вокруг шкивов, то внешние сегменты касательной линии являются релевантными; этот случай иногда называют задачей о шкиве .

Касательные линии к трем окружностям: теорема Монжа

Для трех окружностей, обозначенных как $C 1$ , $C 2$ и $C 3$ , имеется три пары окружностей ( $C 1 C 2$ , $C 2 C 3$ и $C 1 C 3$ ). Поскольку каждая пара окружностей имеет два центра гомеотезии, всего имеется шесть центров гомеотезии . Гаспар Монж показал в начале 19 века, что эти шесть точек лежат на четырех прямых, каждая из которых имеет три коллинеарные точки.

Проблема Аполлония

Многие частные случаи задачи Аполлония включают нахождение окружности, касающейся одной или нескольких прямых. Простейший из них — построение окружностей, касающихся трех данных прямых ( задача LLL ). Чтобы решить эту задачу, центр любой такой окружности должен лежать на биссектрисе угла любой пары прямых; для каждого пересечения двух прямых существует две биссектрисы угла. Пересечения этих биссектрис дают центры окружностей решения. Всего существует четыре таких окружности: вписанная окружность треугольника, образованного пересечением трех прямых, и три вписанные окружности.

Общую задачу Аполлония можно преобразовать в более простую задачу об окружности, касающейся одной окружности и двух параллельных прямых (сама по себе частный случай частного случая LLC ). Чтобы добиться этого, достаточно масштабировать две из трех данных окружностей до тех пор, пока они не коснутся, т. е. не станут касательными. Инверсия в их точке касания относительно окружности соответствующего радиуса преобразует две касающиеся данные окружности в две параллельные прямые, а третью данную окружность — в еще одну окружность. Таким образом, решения можно найти, сдвигая окружность постоянного радиуса между двумя параллельными прямыми до тех пор, пока она не коснется преобразованной третьей окружности. Повторная инверсия дает соответствующие решения исходной задачи.

Обобщения

Понятие касательной к одной или нескольким окружностям можно обобщить несколькими способами. Во-первых, сопряженное отношение между точками касания и касательными линиями можно обобщить до точек полюса и полярных линий , в которых точки полюса могут находиться где угодно, а не только на окружности окружности. Во-вторых, объединение двух окружностей является особым ( приводимым ) случаем кривой четвертой степени , а внешние и внутренние касательные линии являются бикасательными к этой кривой четвертой степени. Общая кривая четвертой степени имеет 28 бикасательных.

Третье обобщение рассматривает касательные окружности, а не касательные прямые; касательную прямую можно рассматривать как касательную окружность бесконечного радиуса. В частности, внешние касательные прямые к двум окружностям являются предельными случаями семейства окружностей, которые внутренне или внешне касаются обеих окружностей, в то время как внутренние касательные прямые являются предельными случаями семейства окружностей, которые внутренне касаются одной и внешне касаются другой из двух окружностей. ^[5]

В геометрии Мёбиуса или инверсной геометрии линии рассматриваются как окружности, проходящие через точку «в бесконечности», и для любой линии и любой окружности существует преобразование Мёбиуса , которое отображает одну в другую. В геометрии Мёбиуса касание между прямой и окружностью становится частным случаем касания между двумя окружностями. Эта эквивалентность распространяется далее в геометрии сфер Ли .

Радиус и касательная перпендикулярны в точке окружности и гиперболически-ортогональны в точке единичной гиперболы . Параметрическое представление единичной гиперболы через радиус-вектор равно $p (a) = (cosh a, sinh a)$ . Производная $p (a)$ указывает в направлении касательной в точке $p (a)$ и равна Радиус и касательная гиперболически ортогональны в точке $a ,$ поскольку $p$ $($ $a$ $)$ и ⁠ ⁠ являются отражениями друг друга в асимптоте $y$ $=$ $x$ единичной гиперболы. При интерпретации как расщепленно -комплексных чисел (где $jj$ $= +1$ ) эти два числа удовлетворяют ${\tfrac {dp}{da}}=(\sinh a,\cosh a).$ ${\tfrac {dp}{da}}$ $jp(a)={\tfrac {dp}{da}}.$

Ссылки

^ "Нахождение касательных к окружности с помощью линейки". Stack Exchange . 15 августа 2015 г.
^ Александр Богомольный «Когда четырехугольник можно вписать?» в Cut-the-knot
^ Пол Кункель. "Касательные окружности". Whistleralley.com . Получено 29-09-2008 .
^ Либескинд, Шломо (2007), Евклидова и трансформационная геометрия: дедуктивное исследование , стр. 110–112( электронная копия , стр. 110, в Google Books )
^ Кункель, Пол (2007), «Проблема касания Аполлония: три взгляда» (PDF) , Бюллетень BSHM: Журнал Британского общества истории математики , 22 (1): 34–46, doi : 10.1080/17498430601148911, S2CID 122408307

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. "Касательные линии к одной окружности". MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. "Касательные линии к двум окружностям". MathWorld .