Энергетический каскад

Передача энергии между масштабами движения

Визуализация потока турбулентной струи, выполненная с помощью лазерно-индуцированной флуоресценции . Струя демонстрирует широкий диапазон масштабов длины, что является предпосылкой для появления каскада энергии при моделировании турбулентности.

В механике сплошной среды энергетический каскад подразумевает передачу энергии от больших масштабов движения к малым масштабам (называется прямым энергетическим каскадом ) или передачу энергии от малых масштабов к большим масштабам (называется обратным энергетическим каскадом ). Такая передача энергии между различными масштабами требует, чтобы динамика системы была нелинейной . Строго говоря, каскад требует, чтобы передача энергии была локальной по масштабу (только между флуктуациями почти одинакового размера), вызывая каскадный водопад из бассейна в бассейн без дальних передач через область масштаба.

Большие вихри имеют малые вихри
, которые питаются их скоростью,
а маленькие вихри имеют меньшие вихри
и так далее до вязкости.

— Льюис Ф. Ричардсон , 1922 ^[1]

Эта концепция играет важную роль в изучении развитой турбулентности . Она была памятно выражена в этой поэме Льюиса Ф. Ричардсона в 1920-х годах. Каскады энергии также важны для ветровых волн в теории волновой турбулентности .

Рассмотрим, например, турбулентность, создаваемую потоком воздуха вокруг высотного здания: содержащие энергию вихри, создаваемые разделением потока, имеют размеры порядка десятков метров. Где-то ниже по течению рассеивание за счет вязкости происходит, в основном, в вихрях в микромасштабах Колмогорова : порядка миллиметра для данного случая. На этих промежуточных масштабах нет ни прямого воздействия на поток, ни существенного количества вязкого рассеивания, но есть чистая нелинейная передача энергии от больших масштабов к малым.

Этот промежуточный диапазон масштабов, если он присутствует, называется инерционным поддиапазоном . Динамика в этих масштабах описывается с помощью самоподобия или предположений — для замыкания турбулентности — о статистических свойствах потока в инерционном поддиапазоне. Пионерской работой был вывод Андреем Колмогоровым в 1940-х годах ожидаемого спектра волновых чисел в инерционном поддиапазоне турбулентности.

Спектры в инерционной подобласти турбулентного течения

Схематическая иллюстрация производства, каскада энергии и диссипации в энергетическом спектре турбулентности.

Самые большие движения, или вихри, турбулентности содержат большую часть кинетической энергии , тогда как самые маленькие вихри ответственны за вязкую диссипацию кинетической энергии турбулентности. Колмогоров выдвинул гипотезу, что когда эти масштабы хорошо разделены, промежуточный диапазон масштабов длины будет статистически изотропным, и что его характеристики в равновесии будут зависеть только от скорости, с которой кинетическая энергия рассеивается в малых масштабах. Диссипация - это фрикционное преобразование механической энергии в тепловую энергию . Скорость диссипации, , может быть записана в терминах флуктуирующих скоростей деформации в турбулентном потоке и кинематической вязкости жидкости, v . Она имеет размерность энергии на единицу массы в секунду. В равновесии производство кинетической энергии турбулентности в больших масштабах движения равно диссипации этой энергии в малых масштабах. ${\displaystyle \varepsilon }$

Энергетический спектр турбулентности

Энергетический спектр турбулентности E ( k ) связан со средней кинетической энергией турбулентности на единицу массы следующим образом ^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\overline {u_{i}u_{i}}}\right)=\int _{0}^{\infty }E(k)\;dk,}$

где u _i — компоненты флуктуирующей скорости, черта сверху обозначает среднее по ансамблю, подразумевается суммирование по i , а k — волновое число . Таким образом, энергетический спектр E ( k ) представляет собой вклад в кинетическую энергию турбулентности волновых чисел от k до k  + d k . Самые большие вихри имеют низкое волновое число, а самые маленькие — высокое.

Поскольку диффузия является лапласианом скорости, скорость диссипации можно записать через энергетический спектр следующим образом:

${\displaystyle \varepsilon =2\nu \int _{0}^{\infty }k^{2}E(k)\;dk,}$

где ν — кинематическая вязкость жидкости. Из этого уравнения снова можно заметить, что диссипация в основном связана с высокими волновыми числами (маленькие вихри), хотя кинетическая энергия связана в основном с низкими волновыми числами (большие вихри).

Спектр энергии в инерционном поддиапазоне

Передача энергии от низких волновых чисел к высоким волновым числам является энергетическим каскадом. Эта передача переносит кинетическую энергию турбулентности от больших масштабов к малым, где вязкое трение рассеивает ее. В промежуточном диапазоне масштабов, так называемом инерционном поддиапазоне, гипотезы Колмогорова приводят к следующей универсальной форме для энергетического спектра:

${\displaystyle E(k)=C\varepsilon ^{2/3}k^{-5/3}.}$

Обширный массив экспериментальных данных подтверждает этот результат в широком диапазоне условий. Экспериментально наблюдается значение C = 1,5 . ^[2]

Результат был впервые независимо сформулирован Александром Обуховым в 1941 году. ^[3] Результат Обухова эквивалентен преобразованию Фурье результата Колмогорова 1941 года ^[4] для функции турбулентной структуры. ^[5] ${\displaystyle E(k)\sim k^{-5/3}}$

Спектр колебаний давления

Колебания давления в турбулентном потоке могут быть охарактеризованы аналогичным образом. Среднеквадратичное колебание давления в турбулентном потоке может быть представлено спектром давления π ( k ):

${\displaystyle {\overline {p^{2}}}=\int _{0}^{\infty }\pi (k)\;dk.}$

Для случая турбулентности без градиента средней скорости (изотропная турбулентность) спектр в инерционном поддиапазоне определяется выражением

${\displaystyle \pi (k)=\alpha \rho ^{2}\varepsilon ^{4/3}k^{-7/3},}$

где ρ — плотность жидкости, а α = 1,32 C ² = 2,97. ^[6] Градиент скорости среднего потока ( сдвиговой поток ) создает дополнительный, аддитивный вклад в спектр давления инерционного поддиапазона, который изменяется как k ^−11/3 ; но поведение k ^−7/3 является доминирующим при более высоких волновых числах. ^[7]

Спектр возмущений, вызванных турбулентностью, на свободной поверхности жидкости

Колебания давления под свободной поверхностью жидкости могут вызывать флуктуационные смещения поверхности жидкости, которые на малых длинах волн модулируются поверхностным натяжением. Это взаимодействие свободной поверхности и турбулентности также может быть охарактеризовано спектром волновых чисел . Если δ — мгновенное смещение поверхности от ее среднего положения, среднеквадратичное смещение может быть представлено спектром смещения G ( k ) как:

${\displaystyle {\overline {\delta ^{2}}}=\int _{0}^{\infty }G(k)\;dk.}$

Трехмерную форму спектра давления можно объединить с уравнением Юнга–Лапласа, чтобы показать, что: ^[8]

${\displaystyle G(k)\propto k^{-19/3}.}$

Экспериментальное наблюдение этого закона k ^−19/3 было получено путем оптических измерений поверхности турбулентных свободных струй жидкости. ^[8]

Примечания

1. Ричардсон, Льюис Фрай (1922). Прогнозирование погоды с помощью числовых процессов. Бостон: Cambridge University Press. стр. 66. ISBN 9780511618291. Получено 23.02.2019 .
2. Pope, SB (2000). Турбулентные потоки . Cambridge University Press.
3. Обухов, AM (1941). «Спектральное распределение энергии в турбулентном потоке». Докл. АН СССР . 32 : 22–24.
4. Колмогоров, А. Н. (1941). «Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса». Докл. АН СССР . 31 : 99–101.
5. Яглом, AM (1994). «АН Колмогоров как механик жидкости и основатель школы в исследовании турбулентности». Annual Review of Fluid Mechanics . 26 : 1–23. doi : 10.1146/annurev.fl.26.010194.000245 .
6. Джордж, В. К.; Бойтер, П. Д. и Арндт, Р. А. (ноябрь 1984 г.). «Спектры давления в турбулентных свободных сдвиговых потоках». Журнал механики жидкости . 148 : 155–191. Bibcode : 1984JFM...148..155G. doi : 10.1017/S0022112084002299. S2CID  119938972.
7. Хок, Мохаммад Майнул; Митра, Субхасиш; Эванс, Джеффри М.; Парик, Вишну; Джоши, Джьештхарадж Б. (ноябрь 2018 г.). «Влияние пузырька на спектры давления турбулентного потока колеблющейся решетки при низком числе Тейлора-Рейнольдса». Химико-техническая наука . 190 : 28–39. doi :10.1016/j.ces.2018.05.048.
8. Bhunia, SK; Lienhard V, JH (декабрь 1994 г.). «Эволюция возмущений поверхности и разбрызгивание турбулентных струй жидкости». Journal of Fluids Engineering . 116 (4): 721–727. doi :10.1115/1.2911841.

Ссылки

• Chorin, AJ (1994), Вихревость и турбулентность , Прикладные математические науки, т. 103, Springer, ISBN 978-0-387-94197-4
• Фалкович, Г.; Шринивасан, К. Р. (2006), «Уроки гидродинамической турбулентности», Physics Today , 59 (4): 43–49, Bibcode : 2006PhT....59d..43F, doi : 10.1063/1.2207037
• Фриш, У. (1995), Турбулентность: наследие А. Н. Колмогорова , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45713-2
• Ньюэлл, А.С.; Рампф, Б. (2011), «Волновая турбулентность», Annual Review of Fluid Mechanics , 43 (1): 59–78, Bibcode : 2011AnRFM..43...59N, doi : 10.1146/annurev-fluid-122109-160807
• Ричардсон, Л. Ф. (1922), Прогноз погоды с помощью численного процесса , Cambridge University Press, OCLC  3494280

Внешние ссылки

• Г. Фалькович (ред.). «Каскад и масштабирование». Scholarpedia .