Категориальная квантовая механика

Квантовая механика, изложенная в терминах теории категорий

Категориальная квантовая механика — это изучение квантовых основ и квантовой информации с использованием парадигм из математики и компьютерных наук , в частности, теории моноидальных категорий . Примитивными объектами изучения являются физические процессы и различные способы их составления. Она была впервые предложена в 2004 году Сэмсоном Абрамски и Бобом Коке . Категориальная квантовая механика — это запись 18M40 в MSC2020 .

Математическая установка

Математически базовая установка охвачена кинжальной симметричной моноидальной категорией : композиция морфизмов моделирует последовательную композицию процессов, а тензорное произведение описывает параллельную композицию процессов. Роль кинжала заключается в назначении каждому состоянию соответствующего теста. Затем их можно украсить дополнительной структурой для изучения различных аспектов. Например:

• Компактная категория кинжала позволяет различать «вход» и «выход» процесса. В диаграммном исчислении она позволяет изгибать провода, что позволяет менее ограниченную передачу информации. В частности, она допускает запутанные состояния и измерения и дает элегантные описания протоколов, таких как квантовая телепортация . ^[1] В квантовой теории ее компактная замкнутость связана с изоморфизмом Чоя-Ямилковского (также известным как дуальность процесс-состояние ), в то время как структура кинжала фиксирует способность брать сопряженные линейные отображения.
• Рассматривая только морфизмы, которые являются полностью положительными отображениями , можно также обрабатывать смешанные состояния , что позволяет изучать квантовые каналы категориально. ^[2]
• Провода всегда двусторонние (и их никогда нельзя разделить на Y-образные), что отражает теоремы квантовой механики о запрете клонирования и удаления .
• Специальные коммутативные кинжальные алгебры Фробениуса моделируют тот факт, что определенные процессы производят классическую информацию, которая может быть клонирована или удалена, тем самым фиксируя классическую коммуникацию . ^[3]
• В ранних работах кинжальные бипродукты использовались для изучения как классической коммуникации , так и принципа суперпозиции . Позднее эти две функции были разделены. ^[4]
• Дополнительные алгебры Фробениуса воплощают принцип дополнительности , который с большим успехом используется в квантовых вычислениях, например, в ZX-исчислении . ^[5]

Значительная часть математической основы этого подхода взята из «Австралийской теории категорий», в частности из работ Макса Келли и М. Л. Лаплазы ^[6], Андре Джояла и Росса Стрита [ ^7], А. Карбони и Р. Ф. К. Уолтерса ^{[8] и Стива Лэка [9]} . Современные учебники включают « Категории для квантовой теории» ^[10] и «Изображение квантовых процессов» ^[11] .

Диаграммное исчисление

Одной из наиболее примечательных особенностей категориальной квантовой механики является то, что композиционная структура может быть точно описана с помощью струнных диаграмм . ^[12]

Иллюстрация диаграммного исчисления: протокол квантовой телепортации , смоделированный в категориальной квантовой механике.

Эти диаграммные языки можно проследить до графической нотации Пенроуза , разработанной в начале 1970-х годов. ^[13] Диаграммные рассуждения использовались ранее в квантовой информатике в модели квантовых цепей , однако в категориальной квантовой механике примитивные вентили, такие как вентиль CNOT , возникают как композиты более базовых алгебр, что приводит к гораздо более компактному исчислению. ^[14] В частности, ZX-исчисление возникло из категориальной квантовой механики как диаграммный аналог обычных линейных алгебраических рассуждений о квантовых вентилях . ZX-исчисление состоит из набора генераторов, представляющих общие квантовые вентили Паули и вентиль Адамара , оснащенных набором графических правил перезаписи, управляющих их взаимодействием. Хотя стандартный набор правил перезаписи еще не установлен, было доказано, что некоторые версии являются полными , что означает, что любое уравнение, которое выполняется между двумя квантовыми цепями, представленными в виде диаграмм, может быть доказано с использованием правил перезаписи. ^[15] ZX-исчисление использовалось, например, для изучения квантовых вычислений, основанных на измерениях .

Отрасли деятельности

Аксиоматизация и новые модели

Одним из главных успехов программы исследований категориальной квантовой механики является то, что из, казалось бы, слабых абстрактных ограничений на композиционную структуру оказалось возможным вывести множество квантово-механических явлений. В отличие от более ранних аксиоматических подходов, которые были направлены на реконструкцию квантовой теории гильбертова пространства из разумных предположений, эта позиция, не нацеленная на полную аксиоматизацию, может привести к новым интересным моделям, описывающим квантовые явления, которые могут быть полезны при создании будущих теорий. ^[16]

Полнота и репрезентативность результатов

Существует несколько теорем, связывающих абстрактную установку категориальной квантовой механики с традиционными установками квантовой механики.

• Полнота диаграммного исчисления: равенство морфизмов может быть доказано в категории конечномерных гильбертовых пространств тогда и только тогда, когда оно может быть доказано на графическом языке кинжальных компактных замкнутых категорий. ^[17]
• Кинжальные коммутативные алгебры Фробениуса в категории конечномерных гильбертовых пространств соответствуют ортогональным базисам . ^[18] Версия этого соответствия также имеет место в произвольной размерности. ^[19]
• Некоторые дополнительные аксиомы гарантируют, что скаляры встраиваются в поле комплексных чисел , а именно существование конечных кинжальных бипроизведений и кинжальных уравнителей, четкость и ограничение мощности скаляров. ^[20]
• Некоторые дополнительные аксиомы поверх предыдущих гарантируют, что кинжальная симметричная моноидальная категория вкладывается в категорию гильбертовых пространств, а именно, если каждый кинжальный моник является кинжальным ядром. В этом случае скаляры образуют инволютивное поле вместо того, чтобы просто вкладываться в него. Если категория компактна, вложение попадает в конечномерные гильбертовы пространства. ^[21]
• Шесть аксиом полностью характеризуют категорию гильбертовых пространств, выполняя программу реконструкции. ^[22] Две из этих аксиом касаются кинжала и тензорного произведения, третья касается бипроизведений.
• Специальные кинжальные коммутативные алгебры Фробениуса в категории множеств и отношений соответствуют дискретным абелевым группоидам . ^[23]
• Нахождение дополнительных базисных структур в категории множеств и отношений соответствует решению комбинаторных задач с использованием латинских квадратов . ^[24]
• Кинжальные коммутативные алгебры Фробениуса на кубитах должны быть либо специальными, либо антиспециальными, что связано с тем фактом, что максимально запутанные трехчастичные состояния являются SLOCC -эквивалентными либо состоянию GHZ , либо W. ^[25]

Категориальная квантовая механика как логика

Категориальную квантовую механику можно также рассматривать как теоретико-типовую форму квантовой логики , которая, в отличие от традиционной квантовой логики, поддерживает формальные дедуктивные рассуждения. ^[26] Существует программное обеспечение, которое поддерживает и автоматизирует эти рассуждения.

Существует еще одна связь между категориальной квантовой механикой и квантовой логикой, поскольку подобъекты в категориях ядра кинжала и категориях дополненного кинжала-бипродукта образуют ортомодулярные решетки . ^{[27] [28]} Фактически, первая установка допускает логические квантификаторы , существование которых никогда не рассматривалось удовлетворительным образом в традиционной квантовой логике.

Категориальная квантовая механика как основа квантовой механики

Категориальная квантовая механика позволяет описывать более общие теории, чем квантовая теория. Это позволяет изучать, какие особенности выделяют квантовую теорию в отличие от других нефизических теорий, что, как мы надеемся, дает некоторое представление о природе квантовой теории. Например, структура допускает краткое композиционное описание игрушечной теории Спеккенса , что позволяет точно определить, какой структурный ингредиент заставляет ее отличаться от квантовой теории. ^[29]

Категориальная квантовая механика и DisCoCat

Фреймворк DisCoCat применяет категориальную квантовую механику к обработке естественного языка . ^[30] Типы предгрупповой грамматики интерпретируются как квантовые системы, т. е. как объекты компактной категории кинжала . Грамматические производные интерпретируются как квантовые процессы, например, переходный глагол принимает свой субъект и объект в качестве входных данных и производит предложение в качестве выходных данных. Функциональные слова , такие как определители, предлоги, относительные местоимения, координаторы и т. д., могут быть смоделированы с использованием тех же алгебр Фробениуса , которые моделируют классическую коммуникацию. ^{[31] [32]} Это можно понимать как моноидальный функтор от грамматики к квантовым процессам, формальная аналогия, которая привела к развитию квантовой обработки естественного языка . ^[33]

Смотрите также

• ZX-исчисление
• Диаграмма струны
• Прикладная теория категорий
• Квантовые основы

Ссылки

1. Абрамски, Сэмсон ; Коек, Боб (2004). "Категорическая семантика квантовых протоколов". Труды 19-й конференции IEEE по логике в компьютерных науках (LiCS'04) . IEEE. arXiv : quant-ph/0402130 .
2. Селинджер, П. (2005). «Компактные закрытые категории Dagger и полностью положительные отображения». Труды 3-го Международного семинара по квантовым языкам программирования, Чикаго, 30 июня–1 июля .
3. Coecke, B.; Pavlovic, D. (2007). "16. Квантовые измерения без сумм §16.2 Категориальная семантика". Математика квантовых вычислений и технологий . Тейлор и Фрэнсис. стр. 567–604. arXiv : quant-ph/0608035 . ISBN 9781584889007.
4. Coecke, B.; Perdrix, S. (2012). "Окружающая среда и классические каналы в категориальной квантовой механике". Труды 19-й ежегодной конференции EACSL по логике компьютерных наук (CSL) . Lecture Notes in Computer Science. Том 6247. Springer. arXiv : 1004.1598 . doi :10.2168/LMCS-8(4:14)2012. S2CID  16833406.
5. Coecke, B.; Duncan, R. (2011). «Взаимодействующие квантовые наблюдаемые». Труды 35-го Международного коллоквиума по автоматам, языкам и программированию (ICALP) . Конспект лекций по информатике. Том 5126. С. 298–310. arXiv : 0906.4725 . doi :10.1088/1367-2630/13/4/043016. S2CID  14259278.
6. Келли, GM; Лаплаза, ML (1980). «Согласованность для компактных замкнутых категорий». Журнал чистой и прикладной алгебры . 19 : 193–213. doi : 10.1016/0022-4049(80)90101-2 .
7. Джоял, А.; Стрит , Р. (1991). «Геометрия тензорного исчисления I». Успехи математики . 88 (1): 55–112. doi : 10.1016/0001-8708(91)90003-P .
8. Карбони, А.; Уолтерс, RFC (1987). «Декартовы бикатегории I». Журнал чистой и прикладной алгебры . 49 (1–2): 11–32. дои : 10.1016/0022-4049(87)90121-6 .
9. Лэк, С. (2004). «Составление PROP». Теория и применение категорий . 13 : 147–163.
10. Heunen, C.; Vicary, J. (2019). Категории для квантовой теории. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-873961-6.
11. Coecke, B.; Kissinger, A. (2017). Изображение квантовых процессов. Cambridge University Press. Bibcode :2017pqp..book.....C. ISBN 978-1-107-10422-8.
12. Coecke, B. (2010). «Квантовый изобразительный мир». Contemporary Physics . 51 (1): 59–83. arXiv : 0908.1787 . Bibcode : 2010ConPh..51...59C. doi : 10.1080/00107510903257624. S2CID  752173.
13. Пенроуз, Р. (1971). «Применение отрицательных размерных тензоров». В Welsh, D. (ред.). Комбинаторная математика и ее приложения. Труды конференции, состоявшейся в Математическом институте, Оксфорд, 7–10 июля 1969 г. Academic Press. стр. 221–244. OCLC  257806578.
14. Бэкенс, Мириам (2014). «ZX-исчисление завершено для квантовой механики стабилизатора». Новый журнал физики . 16 (9): 093021. arXiv : 1307.7025 . Bibcode : 2014NJPh...16i3021B. doi : 10.1088/1367-2630/16/9/093021. ISSN  1367-2630. S2CID  27558474.
15. Жандель, Эммануэль; Пердрикс, Саймон; Вильмарт, Рено (31.05.2017). «Полная аксиоматизация ZX-исчисления для квантовой механики Клиффорда+T». arXiv : 1705.11151 [quant-ph].
16. Baez, JC (2004). «Квантовые затруднения: перспектива теории категорий». В Rickles, D.; French, S. (ред.). Структурные основы квантовой гравитации . Oxford University Press. стр. 240–266. arXiv : quant-ph/0404040 . ISBN 978-0-19-926969-3.
17. Selinger, P. (2011). «Конечномерные гильбертовы пространства полны для компактных замкнутых категорий кинжала». Electronic Notes in Theoretical Computer Science . 270 (1): 113–9. CiteSeerX 10.1.1.749.4436 . doi :10.1016/j.entcs.2011.01.010. 
18. Coecke, B.; Pavlovic, D.; Vicary, J. (2013). «Новое описание ортогональных базисов». Математические структуры в информатике . 23 (3): 555–567. arXiv : 0810.0812 . CiteSeerX 10.1.1.244.6490 . doi :10.1017/S0960129512000047. S2CID  12608889. 
19. Абрамски, С.; Хойнен, К. (2010). "H*-алгебры и неунитальные алгебры Фробениуса: первые шаги в бесконечномерной категоричной квантовой механике". Лекции Клиффорда, Труды симпозиумов AMS по прикладной математике . arXiv : 1011.6123 .появиться (2010).
20. Vicary, J. (2011). "Полнота кинжальных категорий и комплексные числа". Журнал математической физики . 52 (8): 082104. arXiv : 0807.2927 . Bibcode : 2011JMP....52h2104V. doi : 10.1063/1.3549117. S2CID  115154127.
21. Хойнен, К. (2008). «Теорема вложения для категорий Гильберта». Теория и приложения категорий . 22 : 321–344. arXiv : 0811.1448 .
22. Хойнен, К.; Корнелл, А. (2022). "Аксиомы для категории гильбертовых пространств". Труды Национальной академии наук . 119 (9): e2117024119. arXiv : 2109.07418 . Bibcode : 2022PNAS..11917024H. doi : 10.1073 /pnas.2117024119 . PMC 8892366. PMID  35217613. 
23. Павлович, Д. (2009). «Квантовые и классические структуры в недетерминированных вычислениях». Квантовое взаимодействие. QI 2009. Заметки лекций по информатике. Том 5494. Springer. С. 143–157. arXiv : 0812.2266 . doi :10.1007/978-3-642-00834-4_13. ISBN 978-3-642-00834-4. S2CID  11615031.(2009).
24. Эванс, Дж.; Дункан, Р.; Лэнг, А.; Панангаден, П. (2009). «Классификация всех взаимно несмещенных баз в Rel». arXiv : 0909.4453 [quant-ph].
25. Coecke, B.; Kissinger, A. (2010). «Композиционная структура многочастичной квантовой запутанности». Труды 37-го Международного коллоквиума по автоматам, языкам и программированию (ICALP) . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 6199. Springer. pp. 297–308. arXiv : 1002.2540 .
26. Дункан, Р. (2006). Типы для квантовых вычислений (PDF) (PhD). Оксфордский университет. CiteSeerX 10.1.1.122.134 . uk.bl.ethos.483690. 
27. Хойнен, К.; Якобс, Б. (2009). «Квантовая логика в категориях кинжального ядра». Заказ . 27 (2): 177–212. arXiv : 0902.2355 . doi : 10.1007/s11083-010-9145-5. S2CID  2760251.
28. Хардинг, Дж. (2009). «Связь между квантовой логикой и категориальной квантовой механикой». Международный журнал теоретической физики . 48 (3): 769–802. Bibcode :2009IJTP...48..769H. CiteSeerX 10.1.1.605.9683 . doi :10.1007/s10773-008-9853-4. S2CID  13394885. 
29. Coecke, B.; Edwards, B.; Spekkens, RW (2011). «Фазовые группы и происхождение нелокальности для кубитов». Electronic Notes in Theoretical Computer Science . 270 (2): 15–36. arXiv : 1003.5005 . doi : 10.1016/j.entcs.2011.01.021. S2CID  27998267., появиться (2010).
30. Коек, Боб; Садрзаде, Мехрнуш; Кларк, Стивен (2010-03-23). ​​«Математические основы композиционно-распределительной модели смысла». arXiv : 1003.4394 [cs.CL].
31. Садрзаде, Мехрнуш; Кларк, Стивен; Коек, Боб (2013-12-01). «Анатомия Фробениуса значений слов I: относительные местоимения субъекта и объекта». Журнал логики и вычислений . 23 (6): 1293–1317. arXiv : 1404.5278 . doi : 10.1093/logcom/ext044. ISSN  0955-792X.
32. Садрзаде, Мехрнуш; Кларк, Стивен; Коек, Боб (2016). «Анатомия значений слов по Фробениусу II: притяжательные относительные местоимения». Журнал логики и вычислений . 26 (2): 785–815. arXiv : 1406.4690 . doi : 10.1093/logcom/exu027.
33. Коек, Боб; де Феличе, Джованни; Мейханецидис, Константинос; Туми, Алексис (2020-12-07). «Основы краткосрочной квантовой обработки естественного языка». arXiv : 2012.03755 [quant-ph].