В математической логике теория категорична, если она имеет ровно одну модель ( с точностью до изоморфизма ) . [a] Такую теорию можно рассматривать как определяющую свою модель, однозначно характеризующую структуру модели.
В логике первого порядка категоричными могут быть только теории с конечной моделью. Логика высшего порядка содержит категоричные теории с бесконечной моделью. Например, аксиомы Пеано второго порядка категоричны, имея единственную модель, областью определения которой является множество натуральных чисел
В теории моделей понятие категоричной теории уточняется относительно мощности . Теория является κ - категоричной (или категоричной по κ ), если она имеет ровно одну модель мощности κ с точностью до изоморфизма. Теорема категоричности Морли — это теорема Майкла Д. Морли (1965), утверждающая, что если теория первого порядка в счетном языке категорична в некоторой несчетной мощности , то она категорична во всех несчетных мощностях.
Сахарон Шелах (1974) распространил теорему Морли на несчетные языки: если мощность языка равна κ , а теория категорична в некотором несчетном кардинале, большем или равном κ , то она категорична во всех мощностях, больших κ .
Освальд Веблен в 1904 году определил теорию как категоричную, если все ее модели изоморфны. Из определения выше и теоремы Лёвенгейма–Скулема следует , что любая теория первого порядка с моделью бесконечной мощности не может быть категоричной. Затем сразу же подводится к более тонкому понятию κ -категоричности, которое спрашивает: для каких кардиналов κ существует ровно одна модель мощности κ данной теории T с точностью до изоморфизма? Это глубокий вопрос, и значительный прогресс был достигнут только в 1954 году, когда Ежи Лось заметил, что, по крайней мере, для полных теорий T над счетными языками с по крайней мере одной бесконечной моделью он мог найти только три способа для T быть κ -категоричным при некотором κ :
Другими словами, он заметил, что во всех случаях, которые он мог придумать, κ -категоричность в любом несчетном кардинале подразумевала κ -категоричность во всех других несчетных кардиналах. Это наблюдение стимулировало большое количество исследований в 1960-х годах, в конечном итоге достигших кульминации в знаменитом результате Майкла Морли о том, что это фактически единственные возможности. Впоследствии теория была расширена и уточнена Сахароном Шелахом в 1970-х годах и позже, что привело к теории устойчивости и более общей программе теории классификации Шелаха .
Не так много естественных примеров теорий, которые категоричны в некотором несчетном кардинале. Известные примеры включают:
Существуют также примеры теорий, которые категоричны относительно ω , но не категоричны относительно несчетных кардиналов. Простейшим примером является теория отношения эквивалентности с ровно двумя классами эквивалентности , оба из которых бесконечны. Другим примером является теория плотных линейных порядков без конечных точек; Кантор доказал, что любой такой счетный линейный порядок изоморфен рациональным числам: см. теорему Кантора об изоморфизме .
Каждая категорическая теория является полной . [1] Однако обратное утверждение неверно. [2]
Любая теория T, категоричная в некотором бесконечном кардинале κ, очень близка к завершению. Точнее, тест Лоса–Воота утверждает, что если выполнимая теория не имеет конечных моделей и категорична в некотором бесконечном кардинале κ, по крайней мере равном мощности ее языка, то теория завершена. Причина в том, что все бесконечные модели являются эквивалентными в первом порядке некоторой модели кардинала κ по теореме Лёвенгейма–Сколема , и поэтому все они эквивалентны, поскольку теория категорична в κ . Следовательно, теория завершена, поскольку все модели эквивалентны. Необходимо предположение, что теория не имеет конечных моделей. [3]
