В математике , в частности в теории категорий , категория малых категорий , обозначаемая Cat , — это категория , объектами которой являются все малые категории , а морфизмами — функторы между категориями. Cat на самом деле можно рассматривать как 2-категорию с естественными преобразованиями, служащими 2-морфизмами .
Начальный объект Cat — пустая категория 0 , которая является категорией без объектов и без морфизмов. [1] Конечный объект — это конечная категория или тривиальная категория 1 с одним объектом и морфизмом. [2]
Категория Cat сама по себе является большой категорией , и, следовательно, не является объектом самой себя. Чтобы избежать проблем, аналогичных парадоксу Рассела, нельзя образовать «категорию всех категорий». Но можно образовать квазикатегорию (то есть объекты и морфизмы просто образуют конгломерат ) всех категорий.
Категория Cat имеет забывчивый функтор U в категорию колчана Quiv :
Этот функтор забывает тождественные морфизмы данной категории, и он забывает композиции морфизмов. Левый сопряженный этого функтора — функтор F , переводящий Quiv в соответствующие свободные категории :
