Категория Вальдхаузен

В математике категория Вальдхаузена — это категория C , снабженная некоторыми дополнительными данными, что позволяет построить спектр K-теории C с помощью так называемой S-конструкции . Она названа в честь Фридгельма Вальдхаузена , который ввел это понятие (под термином категория с корасслоениями и слабыми эквивалентностями ) для распространения методов алгебраической K-теории на категории не обязательно алгебраического происхождения, например, на категорию топологических пространств .

Определение

Пусть C — категория, co( C ) и we( C ) — два класса морфизмов в C , называемые корасслоениями и слабыми эквивалентностями соответственно. Тройка ( C , co( C ), we( C )) называется категорией Вальдхаузена , если она удовлетворяет следующим аксиомам, мотивированным аналогичными свойствами для понятий корасслоений и слабых гомотопических эквивалентностей топологических пространств:

• C имеет нулевой объект , обозначаемый 0;
• изоморфизмы включены как в co( C ), так и в we( C );
• co( C ) и we( C ) замкнуты относительно композиции;
• для каждого объекта A ∈ C единственное отображение 0 → A является корасслоением, т.е. является элементом co( C );
• co( C ) и we( C ) в определенном смысле совместимы с pushouts .

Например, если является кофибрацией и является любым отображением, то должен существовать pushout , и естественное отображение должно быть кофибрацией: ${\displaystyle \scriptstyle A\,\rightarrowtail \,B}$ ${\displaystyle \scriptstyle A\,\to \,C}$ ${\displaystyle \scriptstyle B\,\cup _{A}\,C}$ ${\displaystyle \scriptstyle C\,\rightarrowtail \,B\,\cup _{A}\,C}$

Отношения с другими понятиями

В алгебраической K-теории и гомотопической теории существует несколько понятий категорий, снабженных некоторыми указанными классами морфизмов. Если C имеет структуру точной категории , то, определяя we( C ) как изоморфизмы, co( C ) как допустимые мономорфизмы, получаем структуру категории Вальдхаузена на C . Оба вида структуры могут быть использованы для определения K-теории C , используя Q-конструкцию для точной структуры и S -конструкцию для структуры Вальдхаузена. Важным фактом является то, что полученные пространства K-теории гомотопически эквивалентны.

Если C — модельная категория с нулевым объектом, то полной подкатегории кофибрантных объектов в C можно придать структуру Вальдхаузена.

S-конструкция

S-конструкция Вальдхаузена производит из категории Вальдхаузена C последовательность комплексов Кана , которая образует спектр . Пусть обозначает пространство петель геометрической реализации . Тогда группа ${\displaystyle S_{n}(C)}$ ${\displaystyle K(C)}$ ${\displaystyle |S_{*}(C)|}$ ${\displaystyle S_{*}(C)}$

${\displaystyle \pi _{n}K(C)=\pi _{n+1}|S_{*}(C)|}$

является n -й K -группой C . Таким образом, это дает способ определить высшие K -группы. Другим подходом для высшей K -теории является Q-конструкция Квиллена .

Строительством занимался Фридхельм Вальдхаузен .

категории биВальдхаузен

Категория C снабжена бирасслоениями, если она имеет корасслоения и ее противоположная категория C ^OP также имеет их. В этом случае мы обозначаем расслоения C ^OP через quot( C ). В этом случае C является бивальдаузеновой категорией , если C имеет бирасслоения и слабые эквивалентности такие, что и ( C , co( C ), we) и ( C ^OP , quot( C ), we ^OP ) являются категориями Вальдхаузена.

Категории Вальдхаузена и биВальдхаузена связаны с алгебраической K-теорией . Там много интересных категорий являются сложными биВальдхаузеновыми категориями. Например: Категория ограниченных цепных комплексов на точной категории . Категория функторов, когда является так. И если задана диаграмма , то является хорошей сложной биВальдхаузеновой категорией, когда является. ${\displaystyle \scriptstyle C^{b}({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle S_{n}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Ar} (\Delta ^{n})\,\to \,{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle I}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}^{I}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}}$

Ссылки

• Вальдхаузен, Фридхельм (1985), «Алгебраическая K-теория пространств», Алгебраическая и геометрическая топология (Нью-Брансуик, Нью-Джерси, 1983 (PDF) , Lecture Notes in Mathematics, т. 1126, Берлин: Springer, стр. 318–419, doi :10.1007/BFb0074449, ISBN 978-3-540-15235-4, МР  0802796
• C. Weibel, K-book, введение в алгебраическую K-теорию — http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html
• Г. Гаркуша, Системы диаграммных категорий и К-теория — https://arxiv.org/abs/math/0401062
• Сагаве, С. (2004). «Об алгебраической K-теории категорий моделей». Журнал чистой и прикладной алгебры . 190 (1–3): 329–340. doi :10.1016/j.jpaa.2003.11.002.
• Лурье, Якоб , Высшая К-теория ∞-категорий (Лекция 16) (PDF)

Смотрите также

• Полное пространство Сигала

Внешние ссылки

• "S-конструкция Вальдхаузена". nLab .