Категория буровой установки

В теории категорий категория оснастки (также известная как бимоноидальная категория или 2-оснастка ) — это категория, снабженная двумя моноидальными структурами , одна из которых распределяется по другой.

Определение

Категория буровой установки определяется категорией оборудования: ${\displaystyle \mathbf {C} }$

• симметричная моноидальная структура ${\displaystyle (\mathbf {C} ,\oplus ,O)}$
• моноидальная структура ${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes ,I)}$
• распределение естественных изоморфизмов: и ${\displaystyle \delta _{A,B,C}:A\otimes (B\oplus C)\simeq (A\otimes B)\oplus (A\otimes C)}$ ${\displaystyle \delta '_{A,B,C}:(A\oplus B)\otimes C\simeq (A\otimes C)\oplus (B\otimes C)}$
• уничтожающие (или поглощающие ) естественные изоморфизмы: и ${\displaystyle a_{A}:O\otimes A\simeq O}$ ${\displaystyle a'_{A}:A\otimes O\simeq O}$

Эти структуры должны удовлетворять ряду условий согласованности. ^{[1] [2]}

Примеры

• Множество , категория множеств с дизъюнктным объединением как и декартовым произведением как . Такие категории, в которых мультипликативная моноидальная структура является категориальным произведением, а аддитивная моноидальная структура — копроизведением, называются дистрибутивными категориями . ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \otimes }$
• Vect — категория векторных пространств над полем, с прямой суммой как и тензорным произведением как . ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \otimes }$

Строгий

Требование, чтобы все изоморфизмы, вовлеченные в определение категории оснастки, были строгими, не дает полезного определения, поскольку подразумевает равенство , которое сигнализирует о вырожденной структуре. Однако возможно превратить большинство вовлеченных изоморфизмов в равенства. ^[1] ${\displaystyle A\oplus B=B\oplus A}$

Категория оснастки является полустрогой, если две вовлеченные моноидальные структуры являются строгими, оба ее аннигилятора являются равенствами, а один из ее дистрибьюторов является равенством. Любая категория оснастки эквивалентна полустрогой. ^[3]

Ссылки

1. Kelly, GM (1974). "Теоремы когерентности для слабых алгебр и для дистрибутивных законов". Категория Семинар . Заметки лекций по математике. Том 420. С. 281–375. doi :10.1007/BFb0063106. ISBN 978-3-540-37270-7.
2. Лаплаза, Мигель Л. (1972). "Связность для дистрибутивности" (PDF) . В GM Kelly; M. Laplaza; G. Lewis; Saunders Mac Lane (ред.). Связность в категориях . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 281. Springer Berlin Heidelberg. pp. 29–65. doi :10.1007/BFb0059555. ISBN 978-3-540-05963-9. Получено 15.01.2020 .
3. Гийу, Бертран (2010). «Стриктификация категорий, слабо обогащенных в симметричных моноидальных категориях». Теория и приложения категорий . 24 (20): 564–579. arXiv : 0909.5270 .

• Категория буровой установки в n Lab