катушка Гельмгольца

Устройство из двух кольцевых катушек, создающее однородное магнитное поле

Катушка Гельмгольца

Схематическое изображение катушки Гельмгольца

Катушка Гельмгольца — это устройство для создания области почти однородного магнитного поля , названное в честь немецкого физика Германа фон Гельмгольца . Оно состоит из двух электромагнитов на одной оси, переносящих равный электрический ток в одном направлении. Помимо создания магнитных полей, катушки Гельмгольца также используются в научных приборах для устранения внешних магнитных полей, таких как магнитное поле Земли.

Когда пара двух электромагнитов катушки Гельмгольца переносит равный электрический ток в противоположном направлении, это известно как антикатушка Гельмгольца , которая создает область почти однородного градиента магнитного поля и используется для создания магнитных ловушек в экспериментах по атомной физике.

Пучок катодных лучей в вакуумной трубке, изогнутый в окружность катушкой Гельмгольца.

Описание

Пара Гельмгольца состоит из двух идентичных круглых магнитных катушек, которые расположены симметрично вдоль общей оси, по одной с каждой стороны экспериментальной области, и разделены расстоянием, равным радиусу катушки. Каждая катушка несет равный электрический ток в одном и том же направлении. ^[1] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle R}$

Установка , которая определяет пару Гельмгольца, минимизирует неоднородность поля в центре катушек, в смысле установки ^[2] (имея в виду, что первая ненулевая производная такова, как объяснено ниже), но оставляет около 7% вариации напряженности поля между центром и плоскостями катушек. Немного большее значение уменьшает разницу в поле между центром и плоскостями катушек за счет ухудшения однородности поля в области вблизи центра, как измерено . ^[3] ${\displaystyle h=R}$ ${\displaystyle \partial ^{2}B/\partial x^{2}=0}$ ${\displaystyle \partial ^{4}B/\partial x^{4}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \partial ^{2}B/\partial x^{2}}$

Когда пара катушек Гельмгольца переносит равный электрический ток в противоположном направлении, они создают область почти однородного градиента магнитного поля. Это известно как антикатушка Гельмгольца и используется для создания магнитных ловушек для экспериментов по атомной физике.

В некоторых приложениях катушка Гельмгольца используется для нейтрализации магнитного поля Земли , создавая область с напряженностью магнитного поля, гораздо более близкой к нулю. ^[4]

Математика

Линии магнитного поля в плоскости, делящей пополам контуры тока. Обратите внимание, что поле приблизительно однородно между парой катушек. (На этом рисунке катушки расположены одна рядом с другой: ось горизонтальна.)

Индукция магнитного поля вдоль оси, проходящей через центр катушек; z  = 0 — точка посередине расстояния между катушками

Контуры, показывающие величину магнитного поля вблизи пары катушек, с одной катушкой вверху и другой внизу. Внутри центрального «осьминога» поле находится в пределах 1% от своего центрального значения B ₀ . Восемь контуров соответствуют величинам поля 0,5  B ₀ , 0,8  B ₀ , 0,9  B ₀ , 0,95  B ₀ , 0,99  B ₀ , 1,01  B ₀ , 1,05  B ₀ и 1,1  B ₀ .

Расчет точного магнитного поля в любой точке пространства математически сложен и включает в себя изучение функций Бесселя . Вдоль оси пары катушек все проще, и удобно думать о разложении в ряд Тейлора напряженности поля как функции , расстояния от центральной точки пары катушек вдоль оси. По симметрии члены нечетного порядка в разложении равны нулю. Расположив катушки так, чтобы начало координат было точкой перегиба для напряженности поля, обусловленной каждой катушкой в ​​отдельности, можно гарантировать, что член порядка также равен нулю, и, следовательно, ведущий непостоянный член имеет порядок . Точка перегиба для простой катушки расположена вдоль оси катушки на расстоянии от ее центра. Таким образом, местоположения для двух катушек равны . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x^{4}}$ ${\displaystyle R/2}$ ${\displaystyle x=\pm R/2}$

Расчет, подробно описанный ниже, дает точное значение магнитного поля в центральной точке. Если радиус равен R , число витков в каждой катушке равно n , а ток через катушки равен I , то магнитное поле B в средней точке между катушками будет дано как

${\displaystyle B={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}nI}{R}},}$

где - проницаемость свободного пространства ( ) . ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}}}$

Вывод

Начнем с формулы для осевого поля, создаваемого одиночным проволочным контуром, которая сама выводится из закона Био-Савара : ^[5]

${\displaystyle B_{1}(x)={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2(R^{2}+x^{2})^{3/2}}}=\xi (x){\frac {\mu _{0}I}{2R}}.}$

Здесь

${\displaystyle \mu _{0}\;}$= константа проницаемости = ${\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}}=1.257\times 10^{-6}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}},}$

${\displaystyle I\;}$= ток катушки, в амперах ,

${\displaystyle R\;}$= радиус катушки, в метрах,

${\displaystyle x\;}$= расстояние катушки, по оси, до точки, в метрах,

${\displaystyle \xi (x)=[1+(x/R)^{2}]^{-3/2}\;}$— безразмерный коэффициент, зависящий от расстояния.

Катушки Гельмгольца состоят из n витков провода, поэтому эквивалентный ток в одновитковой катушке в n раз больше тока I в n -витковой катушке. Подстановка nI вместо I в приведенной выше формуле дает поле для n -витковой катушки:

${\displaystyle B_{1}(x)=\xi (x){\frac {\mu _{0}nI}{2R}}.}$

Для коэффициент расстояния можно разложить в ряд Тейлора следующим образом: ${\displaystyle x\ll R}$ ${\displaystyle \xi (x)=[1+(x/R)^{2})]^{-3/2}\;}$

${\displaystyle \xi (x)=1-{\frac {3}{2}}(x/R)^{2}+{\mathcal {O}}((x/R)^{4}).}$

В паре Гельмгольца две катушки расположены в точке , поэтому напряженность поля B в любой точке будет равна: ${\displaystyle x=\pm R/2}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B(x)&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left[\xi (x-R/2)+\xi (x+R/2)\right]\\&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left([1+(x/R-1/2)^{2}]^{-3/2}+[1+(x/R+1/2)^{2}]^{-3/2}\right)\\\end{aligned}}}$

Точки вблизи центра (на полпути между двумя катушками) имеют , а ряд Тейлора имеет вид : ${\displaystyle x\ll R}$ ${\displaystyle \xi (x-R/2)+\xi (x+R/2)}$

${\displaystyle (16{\sqrt {5}})/25-(x/R)^{4}(2304{\sqrt {5}})/3125+{\mathcal {O}}((x/R)^{6})\approx 1.43-1.65(x/R)^{4}+{\mathcal {O}}((x/R)^{6})}$.

В паре анти-Гельмгольца напряженность поля B в любой точке будет равна: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B(x)&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left[\xi (x-R/2)-\xi (x+R/2)\right]\\&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left([1+(x/R-1/2)^{2}]^{-3/2}-[1+(x/R+1/2)^{2}]^{-3/2}\right)\\\end{aligned}}}$

Точки вблизи центра (на полпути между двумя катушками) имеют , а ряд Тейлора имеет вид: ${\displaystyle x\ll R}$ ${\displaystyle \xi (x-R/2)-\xi (x+R/2)}$

${\displaystyle (x/R)(96{\sqrt {5}})/125-(x/R)^{3}(512{\sqrt {5}})/625+{\mathcal {O}}((x/R)^{5})\approx 1.72(x/R)-1.83(x/R)^{3}+{\mathcal {O}}((x/R)^{5})}$.

Изменяющееся во времени магнитное поле

Большинство катушек Гельмгольца используют постоянный ток для создания статического магнитного поля. Многие приложения и эксперименты требуют изменяющегося во времени магнитного поля. Эти приложения включают тесты восприимчивости к магнитному полю, научные эксперименты и биомедицинские исследования (взаимодействие между магнитным полем и живой тканью). Требуемые магнитные поля обычно являются либо импульсными, либо непрерывными синусоидальными. Диапазон частот магнитного поля может быть любым от почти постоянного тока (0 Гц) до многих килогерц или даже мегагерц (МГц). Драйвер катушки Гельмгольца переменного тока необходим для создания требуемого изменяющегося во времени магнитного поля. Драйвер усилителя формы сигнала должен иметь возможность выводить большой переменный ток для создания магнитного поля.

Напряжение и ток драйвера

${\displaystyle I=\left({\frac {5}{4}}\right)^{3/2}\left({\frac {BR}{\mu _{0}n}}\right)}$

Используйте приведенное выше уравнение в разделе математики для расчета тока катушки для требуемого магнитного поля B.

где проницаемость свободного пространства или ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}}=1.257\times 10^{-6}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}},}$

${\displaystyle I\;}$= ток катушки, в амперах,

${\displaystyle R\;}$= радиус катушки, в метрах,

n = количество витков в каждой катушке.

Использование функционального генератора и усилителя формы сильноточного сигнала для генерации высокочастотного магнитного поля Гельмгольца

Затем рассчитайте необходимое напряжение усилителя драйвера катушки Гельмгольца: ^[6]

${\displaystyle V=I{\sqrt {{\bigl [}\omega {\bigl (}L_{1}+L_{2}{\bigr )}{\bigr ]}^{2}+{\bigl (}R_{1}+R_{2}{\bigr )}^{2}}}}$

где

• I — пиковый ток,
• ω — угловая частота или ω = 2 πf ,
• L ₁ и L ₂ — индуктивности двух катушек Гельмгольца, а
• R ₁ и R ₂ — сопротивления двух катушек.

Высокочастотный последовательный резонанс

Генерация статического магнитного поля относительно проста; сила поля пропорциональна току. Генерация высокочастотного магнитного поля более сложна. Катушки являются индукторами, и их импеданс увеличивается пропорционально частоте. Чтобы обеспечить ту же напряженность поля на удвоенной частоте, требуется удвоенное напряжение на катушке. Вместо того, чтобы напрямую управлять катушкой высоким напряжением, для обеспечения высокого напряжения можно использовать последовательный резонансный контур. ^[7] Последовательно с катушками добавляется последовательный конденсатор. Емкость выбирается для резонанса катушки на желаемой частоте. Остается только паразитное сопротивление катушки. Этот метод работает только на частотах, близких к резонансной частоте; для генерации поля на других частотах требуются другие конденсаторы. Резонансная частота катушки Гельмгольца, , и значение конденсатора, C, приведены ниже. ^[6] ${\displaystyle f_{0}}$

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {\left(L_{1}+L_{2}\right)C}}}}}$

${\displaystyle C={\frac {1}{\left(2\pi f_{0}\right)^{2}\left(L_{1}+L_{2}\right)}}}$

Катушки Максвелла

Катушки Гельмгольца (обручи) на трех перпендикулярных осях, использовавшиеся для нейтрализации магнитного поля Земли внутри вакуумного бака в эксперименте с электронным пучком в 1957 году

Для улучшения однородности поля в пространстве внутри катушек можно добавить дополнительные катушки вокруг внешней стороны. Джеймс Клерк Максвелл показал в 1873 году, что третья катушка большего диаметра, расположенная посередине между двумя катушками Гельмгольца с расстоянием между катушками, увеличенным от радиуса катушки до, может уменьшить дисперсию поля на оси до нуля вплоть до шестой производной положения. Иногда это называют катушкой Максвелла . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}R}$

Смотрите также

• Соленоид
• Массив Хальбаха
• Магнитная бутылка имеет ту же структуру, что и катушки Гельмгольца, но с магнитами, разнесенными дальше друг от друга, так что поле расширяется в середине, захватывая заряженные частицы с расходящимися линиями поля. Если одну катушку перевернуть, она образует ловушку- касп , которая также захватывает заряженные частицы. ^[8]
• Катушки Гельмгольца были разработаны и изготовлены для испытательной лаборатории электромагнитных композитов Армейской исследовательской лаборатории в 1993 году для испытания композитных материалов на воздействие низкочастотных магнитных полей. ^[9]

Ссылки

1. Рамсден, Эдвард (2006). Датчики Холла: теория и применение (2-е изд.). Амстердам: Elsevier/Newnes. стр. 195. ISBN 978-0-75067934-3.
2. Катушка Гельмгольца в единицах СГСАрхивировано 24 марта 2012 г. на Wayback Machine
3. "Электромагнетизм". Архивировано из оригинала 2011-06-03 . Получено 2007-11-20 .
4. "Магнитометр поля Земли: катушка Гельмгольца" Ричарда Вотица 2004 Архивировано 28 июня 2007 г. на archive.today
5. «Магнитное поле токового контура».
6. Yang, KC. "Высокочастотные катушки Гельмгольца генерируют магнитные поля". EDN . Получено 27.01.2016 .
7. "Высокочастотная электромагнитная резонансная катушка". www.accelinstruments.com . Получено 25.02.2016 .
8. "ログイン - группа АСАКУСА МУСАСИ" .
9. J, DeTroye, David; J, Chase, Ronald (ноябрь 1994 г.). «Расчет и измерение полей катушек Гельмгольца». Архивировано из оригинала 2 июня 2018 г. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Внешние ссылки

• Поле на оси идеальной катушки Гельмгольца
• Аксиальное поле реальной пары катушек Гельмгольца
• Поля катушек Гельмгольца Франца Крафта, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Кевин Кунс (2007) Расчет магнитного поля внутри плазменной камеры, использует эллиптические интегралы и их производные для вычисления внеосевых полей, из PBworks .
• DeTroye, David J.; Chase, Ronald J. (ноябрь 1994 г.), Расчет и измерение полей катушек Гельмгольца (PDF) , Армейская исследовательская лаборатория, ARL-TN-35, архив (PDF) из оригинала 18 апреля 2013 г.
• Магнитные поля катушек Архивировано 2015-04-30 на Wayback Machine
• http://physicalx.pr.erau.edu/HelmholtzCoils/