Причинно-следственная система

Система, в которой выход зависит только от прошлых и текущих входов

В теории управления каузальная система ( также известная как физическая или неантиципативная система ) — это система , в которой выход зависит от прошлых и текущих входов, но не от будущих входов, т. е. выход зависит только от входов для значений . ${\displaystyle y(t_{0})}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle t\leq t_{0}}$

Идея о том, что выход функции в любой момент времени зависит только от прошлых и настоящих значений входных данных, определяется свойством, которое обычно называют причинностью . Система, которая имеет некоторую зависимость от входных данных из будущего (в дополнение к возможной зависимости от прошлых или текущих входных данных), называется некаузальной или акаузальной системой , а система, которая зависит исключительно от будущих входных данных, является антикаузальной системой . Обратите внимание, что некоторые авторы определили антикаузальную систему как систему, которая зависит исключительно от будущих и настоящих входных данных или, проще говоря, как систему, которая не зависит от прошлых входных данных. ^[1]

Классически природа или физическая реальность считались причинной системой. Физика, включающая специальную или общую теорию относительности , требует более тщательных определений причинности, как подробно описано в Причинность (физика) .

Причинность систем также играет важную роль в цифровой обработке сигналов , где фильтры конструируются так, чтобы они были причинными, иногда изменяя некаузальную формулировку, чтобы устранить отсутствие причинности, чтобы она стала реализуемой. Для получения дополнительной информации см. причинный фильтр .

Для каузальной системы импульсный отклик системы должен использовать только настоящие и прошлые значения входа для определения выхода. Это требование является необходимым и достаточным условием для того, чтобы система была каузальной, независимо от линейности. Обратите внимание, что аналогичные правила применяются как к дискретным, так и к непрерывным случаям. Согласно этому определению, не требующему будущих значений входа, системы должны быть каузальными для обработки сигналов в реальном времени. ^[2]

Математические определения

Определение 1: Системное отображение в является причинным тогда и только тогда, когда для любой пары входных сигналов и любого выбора , такого, что ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x_{1}(t)}$ ${\displaystyle x_{2}(t)}$ ${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle x_{1}(t)=x_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0},}$

соответствующие выходы удовлетворяют

${\displaystyle y_{1}(t)=y_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0}.}$

Определение 2: Предположим, что есть импульсная реакция любой системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением с постоянным коэффициентом. Система является причинной тогда и только тогда, когда ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle h(t)=0,\quad \forall \ t<0}$

в противном случае это не является причинно-следственным.

Примеры

Следующие примеры предназначены для систем с входом и выходом . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Примеры причинно-следственных систем

• Система без памяти

${\displaystyle y\left(t\right)=1-x\left(t\right)\cos \left(\omega t\right)}$

• Система с поддержкой памяти

${\displaystyle y\left(t\right)=1+x\left(t\right)\cos \left(\omega t\right)}$

• Авторегрессионный фильтр

${\displaystyle y\left(t\right)=\int _{0}^{\infty }x(t-\tau )e^{-\beta \tau }\,d\tau }$

Примеры некаузальных (акаузальных) систем

${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\sin(t+\tau )x(\tau )\,d\tau }$

• Центральная скользящая средняя

${\displaystyle y_{n}={\frac {1}{2}}\,x_{n-1}+{\frac {1}{2}}\,x_{n+1}}$

Примеры антикаузальных систем

${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{\infty }x(t+\tau )\,d\tau }$

• Взгляд вперед

${\displaystyle y_{n}=x_{n+1}}$

Смотрите также

• Причинно-следственная модель

Ссылки

1. Гамильтон , Х.Дж. (2011). «Генерация и интерпретация временных правил принятия решений». Международный журнал компьютерных информационных систем и приложений промышленного управления . 3. arXiv : 1004.3334 .
2. Макклеллан, Джеймс Х.; Шефер, Рональд У.; Йодер, Марк А. (2015). DSP Первое, Второе издание . Pearson Education. стр. 151. ISBN 978-0136019251.

• Оппенгейм, Алан В.; Вилски, Алан С.; Наваб, Хамид; совместно с С. Хамидом (1998). Сигналы и системы . Pearson Education. ISBN 0-13-814757-4.