Квадратично замкнутое поле

В математике квадратично замкнутое поле — это поле характеристики , не равной 2, в котором каждый элемент имеет квадратный корень . ^{[1] [2]}

Примеры

• Поле комплексных чисел квадратично замкнуто; в более общем случае любое алгебраически замкнутое поле квадратично замкнуто.
• Поле действительных чисел не является квадратично замкнутым, поскольку не содержит квадратного корня из −1.
• Объединение конечных полей при n  ≥ 0 квадратично замкнуто, но не алгебраически замкнуто. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {F} _{5^{2^{n}}}}$
• Поле конструктивных чисел квадратично замкнуто, но не алгебраически замкнуто. ^[4]

Характеристики

• Поле квадратично замкнуто тогда и только тогда, когда оно имеет универсальный инвариант, равный 1.
• Каждое квадратично замкнутое поле является пифагоровым полем , но не наоборот (например, R является пифагоровым); однако каждое неформально действительное пифагоровое поле является квадратично замкнутым. ^[2]
• Поле квадратично замкнуто тогда и только тогда, когда его кольцо Витта–Гротендика изоморфно Z при отображении размерности. [ ^3]
• Формально действительное евклидово поле E не является квадратично замкнутым (так как −1 не является квадратом в E ), но квадратичное расширение E ( √ −1 ) является квадратично замкнутым. ^[4]
• Пусть E / F — конечное расширение , где E квадратично замкнуто. Либо −1 является квадратом в F и F квадратично замкнуто, либо −1 не является квадратом в F и F является евклидовым. Эта «теорема о спуске» может быть выведена из теоремы Диллера–Дресса . ^[5]

Квадратичное замыкание

Квадратичным замыканием поля F называется квадратично замкнутое поле, содержащее F , которое вкладывается в любое квадратично замкнутое поле, содержащее F. Квадратичное замыкание для любого заданного F может быть построено как подполе алгебраического замыкания F ^alg поля F , как объединение всех итерированных квадратичных расширений F в F ^alg . ^[4]

Примеры

• Квадратичным замыканием R является C. ^[4 ]
• Квадратичным замыканием является объединение . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {F} _{5}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{5^{2^{n}}}}$
• Квадратичное замыкание Q — это поле комплексных конструктивных чисел .

Ссылки

1. Лэм (2005) стр. 33
2. Rajwade (1993) стр. 230
3. Lam (2005) стр. 34
4. Lam (2005) стр. 220
5. Лэм (2005) стр.270

• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том 67. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2. MR  2104929. Zbl  1068.11023.
• Раджваде, AR (1993). Квадраты . Серия заметок лекций Лондонского математического общества. Том 171. Cambridge University Press . ISBN 0-521-42668-5. Збл  0785.11022.