Квадратно-треугольное число

Целое число, которое является как полным квадратом, так и треугольным числом

Квадратное треугольное число 36, изображенное как треугольное число и как квадратное число.

В математике квадратно -треугольное число (или треугольно-квадратное число ) — это число, которое является одновременно треугольным числом и квадратным числом . Существует бесконечно много квадратных треугольных чисел; первые несколько из них:

0, 1, 36,1225 ,41 616 ,1 413 721 ,48 024 900 ,1 631 432 881 ,55 420 693 056 ,1 882 672 131 025 (последовательность A001110 в OEIS )

Явные формулы

Запишите для y квадратное треугольное число, а для сторон соответствующего квадрата и треугольника запишите и , так что ${\displaystyle N_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s_{k}}$ ${\displaystyle t_{k}}$

${\displaystyle \displaystyle N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.}$

Определим треугольный корень треугольного числа как . Из этого определения и квадратной формулы, ${\displaystyle N={\tfrac {n(n+1)}{2}}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \displaystyle n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}.}$

Следовательно, является треугольным ( является целым числом) тогда и только тогда, когда является квадратным. Следовательно, квадратное число также является треугольным тогда и только тогда, когда является квадратным, то есть существуют числа и такие, что . Это пример уравнения Пелля с . Все уравнения Пелля имеют тривиальное решение для любого ; это называется нулевым решением и индексируется как . Если обозначает -е нетривиальное решение любого уравнения Пелля для конкретного , то можно показать методом спуска, что следующим решением будет ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 8N+1}$ ${\displaystyle M^{2}}$ ${\displaystyle 8M^{2}+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x^{2}-8y^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$ ${\displaystyle n=8}$ ${\displaystyle x=1,y=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})=(1,0)}$ ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}x_{k+1}&=2x_{k}x_{1}-x_{k-1},\\y_{k+1}&=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}.\end{aligned}}}$

Следовательно, существует бесконечно много решений любого уравнения Пелля, для которого существует одно нетривиальное решение, которое верно, когда не является квадратом. Первое нетривиальное решение, когда легко найти: оно равно . Решение уравнения Пелля для дает квадратное треугольное число и его квадратные и треугольные корни следующим образом: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=8}$ ${\displaystyle (3,1)}$ ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$ ${\displaystyle n=8}$

${\displaystyle \displaystyle s_{k}=y_{k},\quad t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},\quad N_{k}=y_{k}^{2}.}$

Следовательно, первое квадратное треугольное число, полученное из , равно , а следующее, полученное из , равно . ${\displaystyle (3,1)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 6\cdot (3,1)-(1,0)-(17,6)}$ ${\displaystyle 36}$

Последовательности и являются последовательностями OEIS OEIS : A001110 , OEIS : A001109 и OEIS : A001108 соответственно. ${\displaystyle N_{k}}$ ${\displaystyle s_{k}}$ ${\displaystyle t_{k}}$

В 1778 году Леонард Эйлер определил явную формулу ^{[1] [2] : 12–13}

${\displaystyle \displaystyle N_{k}=\left({\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.}$

Другие эквивалентные формулы (полученные путем расширения этой формулы), которые могут быть удобны, включают:

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4k}-2+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{4k}\right)\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(17+12{\sqrt {2}}\right)^{k}-2+\left(17-12{\sqrt {2}}\right)^{k}\right).\end{aligned}}}$

Соответствующие явные формулы для и следующие: ^{[2] : 13} ${\displaystyle s_{k}}$ ${\displaystyle t_{k}}$

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}},\\t_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}+\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}-2}{4}}.\end{aligned}}}$

Рекуррентные соотношения

Существуют рекуррентные соотношения для квадратных треугольных чисел, а также для сторон квадрата и треугольника, участвующих в этом. Имеем ^{[3] : (12)}

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,&{\text{with }}N_{0}&=0{\text{ and }}N_{1}=1;\\N_{k}&=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},&{\text{with }}N_{0}&=0{\text{ and }}N_{1}=1.\end{aligned}}}$

У нас есть ^{[1] [2] : 13}

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&=6s_{k-1}-s_{k-2},&{\text{with }}s_{0}&=0{\text{ and }}s_{1}=1;\\t_{k}&=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,&{\text{with }}t_{0}&=0{\text{ and }}t_{1}=1.\end{aligned}}}$

Другие характеристики

Все квадратные треугольные числа имеют вид , где — подходящая дробь к разложению непрерывной дроби , квадратный корень из 2 . ^[4] ${\displaystyle b^{2}c^{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {b}{c}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

А. В. Сильвестр дал краткое доказательство того, что существует бесконечно много квадратных треугольных чисел: Если -е треугольное число является квадратным, то таковым является и большее -е треугольное число, поскольку: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$ ${\displaystyle 4n(n+1)}$

${\displaystyle \displaystyle {\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=4\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,\left(2n+1\right)^{2}.}$

Левая часть этого уравнения имеет форму треугольного числа, а правая часть является квадратом, поскольку является произведением трех квадратов. ^[5]

Производящая функция для квадратных треугольных чисел: ^[6]

${\displaystyle {\frac {1+z}{(1-z)\left(z^{2}-34z+1\right)}}=1+36z+1225z^{2}+\cdots }$

Смотрите также

• Задача о пушечном ядре , о числах, которые одновременно являются квадратными и квадратно-пирамидальными
• Шестая степень , числа, которые одновременно являются квадратными и кубическими.

Примечания

1. Dickson, Leonard Eugene (1999) [1920]. История теории чисел . Т. 2. Провиденс: Американское математическое общество. стр. 16. ISBN 978-0-8218-1935-7.
2. Эйлер, Леонард (1813). "Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (Легкое правило для диофантовых задач, которые должны быть быстро решены целыми числами)". Mémoires de l'Académie des Sciences de St.-Pétersbourg (на латыни). 4 : 3–17 . Получено 11 мая 2009 г. Согласно записям, он был представлен в Санкт-Петербургскую академию 4 мая 1778 г.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Квадратное треугольное число». MathWorld .
4. Болл, WW Rouse ; Коксетер, HSM (1987). Математические развлечения и эссе . Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 59. ISBN 978-0-486-25357-2.
5. Pietenpol, JL; Sylwester, AV; Just, Erwin; Warten, RM (февраль 1962 г.). «Элементарные задачи и решения: E 1473, Квадратно-треугольные числа». American Mathematical Monthly . 69 (2). Mathematical Association of America: 168–169. doi : 10.2307/2312558. ISSN  0002-9890. JSTOR  2312558.
6. Плуфф, Саймон (август 1992 г.). «1031 Производящая функция» (PDF) . Университет Квебека, Лаборатория комбинаторной и математической информатики. п. А.129. Архивировано из оригинала (PDF) 20 августа 2012 г. Проверено 11 мая 2009 г.

Внешние ссылки

• Треугольные числа, которые также являются квадратными при разрезании узла
• Вайсштейн, Эрик В. «Квадратное треугольное число». MathWorld .
• Решение Майкла Даммета