Квадратно-интегрируемая функция

Функция, квадрат абсолютной величины которой имеет конечный интеграл

В математике квадратично -интегрируемая функция , также называемая квадратично-интегрируемой функцией или функцией или квадратично- суммируемой функцией , ^[1] является действительной или комплексной измеримой функцией, для которой интеграл квадрата абсолютной величины конечен. Таким образом, квадратично-интегрируемость на действительной прямой определяется следующим образом. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} {\text{ square integrable}}\quad \iff \quad \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty }$

Можно также говорить о квадратичной интегрируемости на ограниченных интервалах, например, для . ^[2] ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a\leq b}$

${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {C} {\text{ square integrable on }}[a,b]\quad \iff \quad \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty }$

Эквивалентное определение состоит в том, чтобы сказать, что квадрат самой функции (а не ее абсолютного значения) интегрируем по Лебегу . Чтобы это было верно, интегралы положительной и отрицательной частей действительной части должны быть конечными, как и интегралы мнимой части.

Вектор пространства (классов эквивалентности) квадратично интегрируемых функций (относительно меры Лебега) образует пространство с Среди пространств класс квадратично интегрируемых функций уникален тем, что он совместим со скалярным произведением , что позволяет определить такие понятия, как угол и ортогональность. Вместе с этим скалярным произведением квадратично интегрируемые функции образуют гильбертово пространство , поскольку все пространства полны относительно своих соответствующих -норм . ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p=2.}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$

Часто этот термин используется не для обозначения конкретной функции, а для классов эквивалентности функций, которые равны почти всюду .

Характеристики

Интегрируемые квадратом функции (в упомянутом смысле, в котором «функция» на самом деле означает класс эквивалентности функций, которые равны почти всюду) образуют пространство скалярного произведения со скалярным произведением, заданным как где $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{A}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x}$$

• ${\displaystyle f}$и являются квадратично интегрируемыми функциями, ${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle {\overline {f(x)}}}$является комплексно сопряженным числом ${\displaystyle f(x),}$
• ${\displaystyle A}$— это множество, по которому выполняется интегрирование: в первом определении (данном во введении выше) — , во втором — . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Так как , квадратная интегрируемость означает то же самое, что сказать ${\displaystyle |a|^{2}=a\cdot {\overline {a}}}$ $${\displaystyle \langle f,f\rangle <\infty .\,}$$

Можно показать, что квадратично интегрируемые функции образуют полное метрическое пространство относительно метрики, индуцированной скалярным произведением, определенным выше. Полное метрическое пространство также называется пространством Коши , потому что последовательности в таких метрических пространствах сходятся тогда и только тогда, когда они являются пространствами Коши . Пространство, которое является полным относительно метрики, индуцированной нормой, является банаховым пространством . Следовательно, пространство квадратично интегрируемых функций является банаховым пространством относительно метрики, индуцированной нормой, которая, в свою очередь, индуцирована скалярным произведением. Поскольку у нас есть дополнительное свойство скалярного произведения, это, в частности, гильбертово пространство , потому что пространство является полным относительно метрики, индуцированной скалярным произведением.

Это внутреннее пространство продукта обычно обозначается и многократно сокращается как Примечание, которое обозначает набор квадратично интегрируемых функций, но никакое выделение метрики, нормы или внутреннего продукта не указывается этим обозначением. Набор вместе с конкретным внутренним продуктом определяет внутреннее пространство продукта. ${\displaystyle \left(L_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}\right)}$ ${\displaystyle L_{2}.}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}}$

Пространство квадратично интегрируемых функций — это пространство , в котором ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p=2.}$

Примеры

Функция , определенная на , входит в , но не входит в ^[1]. Функция, определенная на , интегрируема с квадратом. ^[3] ${\displaystyle {\tfrac {1}{x^{n}}},}$ ${\displaystyle (0,1),}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle n<{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$ ${\displaystyle [1,\infty ),}$

Ограниченные функции, определенные на , являются квадратично интегрируемыми. Эти функции также являются функциями для любого значения ^[3] ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle L^{p},}$ ${\displaystyle p.}$

Не примеры

Функция определена на , где значение при произвольно. Более того, эта функция не находится в для любого значения в ^[3] ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [1,\infty ).}$

Смотрите также

• Внутреннее пространство продукта
• ${\displaystyle L^{p}}$пространство  – Функциональные пространства, обобщающие конечномерные p-нормированные пространства

Ссылки

1. Тодд, Роуленд. "L^2-Функция". MathWorld--A Wolfram Web Resource .
2. Джованни Сансоне (1991). Ортогональные функции . Dover Publications. стр. 1–2. ISBN 978-0-486-66730-0.
3. "Lp Functions" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2020-10-24 . Получено 2020-01-16 .